箱ひげ図計算ツール - 無料の箱ひげ図生成器

箱ひげ図とは何か？

箱ひげ図（ボックス・アンド・ウィスカー・プロットとも呼ばれます）は、最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値という5つの値を使って数値の集合を要約するグラフです。すべてのデータ点を列挙せずに、データの大部分がどこに位置するかを示し、外れ値と呼ばれる異常な値を見つけやすくします。

箱ひげ図は、複数の数値グループをひと目で比較できるため、統計、科学、ビジネスレポートでよく使われます。

5数要約

箱ひげ図は、データを小さい順から大きい順に並べ替えた後で計算する5つの数値から作られます。

• 最小値：外れ値ではない最小の値です。
• 第1四分位数（Q1）：データのおよそ4分の1がこの値未満になる値。
• 中央値（Q2）：データセットの中央の値。
• 第3四分位数（Q3）：データのおよそ4分の3がこの値未満になる値。
• 最大値：外れ値ではない最大の値です。

グラフの箱はQ1からQ3まで広がります。箱の内部の線は中央値を示します。ひげと呼ばれる細い線が箱から最小値と最大値の方向へ伸びます。外れ値は、ひげの外側に別々の点として描かれます。

箱ひげ図の公式

n個の値を昇順に並べたデータセットの場合：

中央値

$$\text{中央値} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{if } n \text{ が奇数の場合} \\ \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{if } n \text{ が偶数の場合} \end{cases}$$

四分位数。 並べ替えたデータを下半分と上半分に分けます。nが奇数の場合は、中央値そのものをどちらの半分からも除きます。そのうえで：

$$Q_1 = \text{下半分の中央値}, \qquad Q_3 = \text{上半分の中央値}$$

これは排他的手法と呼ばれることがよくあります。ほかの手法もあり、小さなデータセットではQ1とQ3がわずかに異なることがありますが、この計算機では排他的手法を使用しています。

四分位範囲（IQR）

$$IQR = Q_3 - Q_1$$

フェンスとひげ。 フェンスは外れ値との境界を示します。フェンスは、四分位数からIQRの1.5倍外側にあります：

$$\text{下側フェンス} = Q_1 - 1.5 \times IQR, \qquad \text{上側フェンス} = Q_3 + 1.5 \times IQR$$

ひげは、ちょうどフェンスの位置で止まるわけではありません。ひげは、フェンスの内側にある最も極端なデータ点で止まります：

$$\text{下側のひげ} = \min\{x_i : x_i \geq \text{下側フェンス}\}, \qquad \text{上側のひげ} = \max\{x_i : x_i \leq \text{上側フェンス}\}$$

**外れ値。**下側フェンス未満または上側フェンス超の値は外れ値であり、ひげに含めず、個別の点としてプロットします。

箱ひげ図の計算方法

1. データを小さい順から大きい順に並べます。
2. 中央値を求めます。個数が奇数なら中央の値、偶数なら中央にある2つの値の平均です。
3. Q1を求めます。データの下半分の中央値です（個数が奇数の場合、中央値そのものは除きます）。
4. Q3を求めます。同じ規則を使い、データの上半分の中央値を求めます。
5. IQRをQ3からQ1を引いて計算します。
6. IQRに1.5を掛けて、下側境界値と上側境界値を計算します。
7. 境界値の範囲外にある値を外れ値として示します。
8. 境界値の範囲内に残る値のうち、最小値と最大値をひげの端に設定します。

例

11個の値からなる次のデータセットを考えます：6、7、15、36、39、40、41、42、43、47、49。すでに並べ替えられています。

11個の値（奇数）では、中央値は6番目の値である40です。

下半分は6、7、15、36、39です（5個の値で、中央値は除外）。中央値は中央の値なので、Q1 = 15です。

上半分は41、42、43、47、49です。中央値は中央の値なので、Q3 = 43です。

IQR = 43 − 15 = 28。

下側フェンス = 15 − 1.5 × 28 = −27。上側フェンス = 43 + 1.5 × 28 = 85。データセットのすべての値が−27から85の間にあるため、外れ値はなく、ひげは実際の最小値と最大値まで伸びます：最小値 = 6、最大値 = 49。

次に、外れ値を含むデータセットと比較します：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、50。ここではQ1 = 3.5、Q3 = 9.5、IQR = 6であり、上側フェンスは9.5 + 1.5 × 6 = 18.5となります。50はこのフェンスを超えるため外れ値としてプロットされ、上ひげは50ではなく、フェンスの内側にある最大値11で止まります。

箱ひげ図の読み方

箱はデータの中央50%を表すため、箱が広い場合はデータの中央部分が広く分散しており、箱が狭い場合は密集しています。中央値の線が箱の一方の端に近い場合、データは長い側に偏っています。片方のひげがもう一方よりかなり長い場合、その側に向かってデータがより長く尾を引いていることを示します。ひげの外側にある点は外れ値であり、実際の極端な値やデータ上の誤りである可能性があるため、詳しく確認することがあります。

一般的な用途

箱ひげ図は、複数のクラスのテスト得点、2社の供給業者の配達時間、実験の測定値と対照群の測定値など、グループを横に並べて比較するために使われます。箱ひげ図は分布全体を5つの数値に要約するため、1つのグラフに複数の箱ひげ図を並べられ、元の数値を並べた表よりもグループ間のばらつきや典型的な値を比較しやすくなります。

箱ひげ図とほかのグラフの比較

ヒストグラムは分布の全体的な形をより詳しく示しますが、多数のグループを一度に比較する用途には向きません。バイオリンプロットは箱の周囲に密度曲線を加え、値がどこに集中しているかをより正確に示します。散布図は2つの変数の関係を示しますが、箱ひげ図ではそれを示せません。適切なグラフは目的によって異なり、グループの比較には箱ひげ図、1つの分布の形の詳細な確認にはヒストグラムまたはバイオリンプロット、関係の分析には散布図を使います。

歴史

統計学者のジョン・テューキーは、著書『探索的データ解析』の予備版で1970年に箱ひげ図を紹介しました。この本が1977年に正式に出版されると、広く知られるようになりました。テューキーは自分の版を概略プロットと呼びました。すでに、データの中央半分の広がりの1.5倍のフェンスを使い、それを超える点は外れ値として別に描いていました。1978年には、統計学者のマギル、テューキー、ラーセンが、中央値の周りの信頼区間を示すノッチ付きの版を説明しました。

よくある質問

箱ひげ図は何に使われますか？ 最小値、Q1、中央値、Q3、最大値を使って、数値の集合がどのように分散しているかを示し、外れ値の可能性がある値を見つけやすくします。1つのグラフで複数のグループを比較するときに特に役立ちます。

箱ひげ図はどのように読みますか？ 箱はQ1からQ3まで広がり、データの中央半分を表します。箱の内部の線は中央値です。ひげは外れ値ではない最も端の値まで伸び、ひげの外側にある値は別々の点として描かれます。

箱ひげ図で外れ値を特定するにはどうしますか？ Q1 − 1.5 × IQR未満、またはQ3 + 1.5 × IQRを超える値は外れ値です。

箱ひげ図とヒストグラムの違いは何ですか？ 箱ひげ図は分布を5つの数値と外れ値に要約するため、コンパクトでグループ比較に適しています。ヒストグラムは範囲ごとの値の度数を示し、1つの分布の形をより詳しく表します。

この計算機は小さなデータセットに対応していますか？ この計算機で5数要約を作成するには、少なくとも5個の数値が必要です。少数の値ではばらつきや外れ値を把握しにくいため、箱ひげ図はより大きなデータセットで使うほうが情報量が多くなります。

箱ひげ図が歪んで見える場合、それは何を意味しますか？ 中央値がQ1に近い場合、データは高い側に長い裾を持ちます。中央値がQ3に近い場合、データは低い側に長い裾を持ちます。

参考文献

1. 米国国立標準技術研究所。NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.3.7 Box Plot。NIST e-Handbook：箱ひげ図 — 箱はデータの中央50%にわたります。フェンスがある場合、ひげは内側のフェンスの内側にある最も極端な点で終わります。
2. 米国国立標準技術研究所。NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 7.1.6 What are outliers in the data?。NIST e-Handbook：外れ値 — 内側のフェンスはQ1 − 1.5 × IQRとQ3 + 1.5 × IQR。それを超える点が外れ値です。
3. Wickham, H.、Stryjewski, L.。40 years of boxplots（2011）。40年の箱ひげ図（PDF） — テューキーは1970年に箱ひげ図を紹介し、1977年に正式に発表しました。彼の概略プロットは1.5倍のフェンスを使っています。マギル、テューキー、ラーセンの1978年のノッチ付き箱ひげ図は、中央値の周りの信頼区間を示します。