t検定計算ツール - 無料オンライン統計分析ツール

t検定とは何か？

t検定は、数値の集合の平均が別の平均または固定値と意味のある差があるかどうかを調べる統計手法です。スチューデントのt検定とも呼ばれます。研究者は、処置群と対照群など2つの群を比較したり、1つの群を既知の基準と比較したりするために使用します。

この検定では、t統計量と呼ばれる数値が算出されます。t統計量が0から大きく離れている場合、平均値には実際に差があることが示唆されます。t統計量が0に近い場合、その差は単なる偶然のばらつきである可能性があります。

t検定の種類

この計算機は、3種類のt検定に対応しています。

• 1標本t検定：1つの標本の平均を、既知または仮定した値と比較します。
• 2標本t検定：2つの独立した標本の平均を比較します。たとえば、別々の2つの集団を比較します。この計算機では、2群の分散が等しいとは仮定しないウェルチのt検定を使用します。
• 対応のあるt検定：同じ対象から得られた2組の測定値を比較します。たとえば、処置前と処置後のスコアを比較します。

このt検定計算機の使い方

1. 検定の種類（1標本、2標本、対応あり）を選択します。
2. データを入力します。
   • 1標本：標本の値をコンマで区切って入力し、比較対象とする母平均を入力します。
   • 2標本：2つの標本を、それぞれコンマで区切ったリストとして入力します。
   • 対応あり：ペアを (x1,y1)、(x2,y2) のような形式で入力します。
3. 有意水準を設定します。一般的には0.05です。この計算機はこの値を使用しません。p値を表示し、判断は利用者に委ねます。
4. データが十分に入力されると、t統計量、自由度、p値がすぐに表示されます。押すボタンはありません。

有意性を判断するには、p値を有意水準と比較します。p値が有意水準以下であれば、その差は統計的に有意とみなされます。

t検定の公式

1標本t検定の公式

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

$\bar{x}$は標本平均、$\mu_0$は検定対象の値、$s$は標本標準偏差、$n$は標本サイズです。自由度：$df = n - 1$。

2標本t検定の公式（ウェルチの検定）

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

自由度はウェルチ・サタースウェイトの式から求めます。

$$df = \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1 - 1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2 - 1}}$$

この公式では通常、整数ではない自由度が得られます。

対応のあるt検定の公式

$$t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}$$

$\bar{d}$は各ペア間の差の平均、$s_d$はそれらの差の標準偏差、$n$はペア数です。自由度：$df = n - 1$。

t検定の計算方法：計算例

ある製造業者は、バッテリーが平均50時間持続すると主張しています。検査担当者が9個のバッテリーを調べ、次の持続時間を時間単位で記録しました。

51、49、52、48、50、47、53、49、51

手順1：仮説を設定する。 帰無仮説：真の平均は50時間である。対立仮説：真の平均は50時間ではない。

手順2：標本平均を求める。

$$\bar{x} = \frac{51+49+52+48+50+47+53+49+51}{9} = 50.00$$

手順3：標本標準偏差を求める。 平均からの偏差は1、-1、2、-2、0、-3、3、-1、1です。二乗すると、1、1、4、4、0、9、9、1、1となり、その合計は30です。

$$s = \sqrt{\frac{30}{9-1}} = \sqrt{3.75} \approx 1.94$$

手順4：t統計量を求める。

$$t = \frac{50.00 - 50}{1.94 / \sqrt{9}} = 0.00$$

手順5：自由度を求める。

$$df = 9 - 1 = 8$$

手順6：p値を求める。 $t = 0$かつ$df = 8$の場合、両側検定のp値は1.00です。

手順7：結論を出す。 1.00は0.05より大きいため、バッテリーの平均寿命が50時間と異なることを示す十分な証拠はありません。

t検定の前提

t検定で信頼できる結果を得るには、いくつかの条件が概ね満たされている必要があります。

• 正規性：特に標本が小さい場合、データは概ね釣鐘型の分布になっている必要があります。
• 独立性：各観測値が他の観測値に影響を与えない必要があります。
• 無作為抽出：データは、研究対象の母集団から無作為に抽出した標本に由来する必要があります。

対応のあるt検定では、これらの条件は生の得点ではなく、ペア間の差に適用されます。標本が大きく、概ね30を超える場合、データが完全な釣鐘型でなくても、中心極限定理と呼ばれる統計的性質により、t検定の精度は概ね保たれます。

t検定の代替手法

上記の前提が満たされない場合は、代わりに別の検定を使用できます。

• マン・ホイットニーのU検定：2標本t検定に代わるノンパラメトリック検定です。
• ウィルコクソンの符号付順位検定：対応のあるt検定に代わるノンパラメトリック検定です。
• 分散分析（ANOVA）：2群だけでなく、3群以上の平均を一度に比較します。

t検定の歴史

ウィリアム・シーリー・ゴセットは、ダブリンのギネス醸造所で化学者として働いていた1908年にt検定を開発しました。ギネス社は職員が自分の名前で研究を発表することを認めていなかったため、ゴセットは「スチューデント」という筆名を使いました。これが、この手法がスチューデントのt検定と呼ばれることが多い理由です。彼は、少数の標本だけを使って、醸造原料の小規模なロットが品質基準を満たしているかを判断するためにこの手法を作りました。

よくある質問

t検定は何に使われますか？

t検定は、標本の平均が別の平均または固定値と有意に異なるかどうかを調べます。医学、心理学、教育、ビジネス研究で広く使われています。

1標本、2標本、対応のあるt検定はいつ使いますか？

標本平均を既知の値と比較するには、1標本t検定を使います。別々で互いに関係のない2つの群を比較するには、2標本t検定を使います。同じ対象を2回測定する場合、たとえば処置前と処置後に測定する場合は、対応のあるt検定を使います。

t検定とz検定の違いは何ですか？

t検定は、標本が小さい場合、または母標準偏差が未知の場合に使います。z検定は、母標準偏差が既知で、標本が大きい場合に使います。実際には、母標準偏差が事前に分かっていることはまれなため、t検定のほうがはるかに頻繁に使われます。

t検定のp値はどのように解釈しますか？

p値は、実際には本当の差がない場合に、これほど大きい、またはそれ以上の差が観測される確率です。通常は0.05以下の小さいp値であれば、観測された差が偶然だけで生じた可能性は低いことが示唆されます。

ウェルチのt検定とは何ですか？

ウェルチのt検定は、2群の分散が等しいことを必要としない2標本t検定の一種です。この計算機は、2群のばらつきが同程度かどうかにかかわらず精度が保たれるため、2標本検定には常にウェルチの方法を使用します。

t検定における自由度とは何ですか？

自由度は、標本サイズに基づく数値で、p値を求める際に使うt分布の正確な形を決めます。1標本t検定または対応のあるt検定では、自由度は標本サイズから1を引いた値です。ウェルチの2標本t検定では、通常、整数ではない値になる公式を使います。

参考文献

1. Gosset, W. S.（1908）。「The Probable Error of a Mean」。Biometrika、6(1)、1–25。
2. NIST/SEMATECH『統計手法の電子ハンドブック』第1.3.6.7.2節、「スチューデントのt分布の臨界値」。