아치 계산기 - 반지름, 경간 및 높이 계산

아치 계산기란?

아치 계산기는 원형 아치의 반지름, 현 길이, 높이 중 임의의 두 값을 바탕으로 나머지 치수를 계산합니다. 또한 호의 길이와 아치 면적도 계산합니다. 건축가, 시공자, 취미 제작자는 곡선 형태의 출입구, 창문, 교량, 정원 구조물을 계획할 때 이 계산기를 사용합니다.

주요 아치 치수

원형 아치는 원의 가장자리에서 잘라 낸 부분입니다. 다음 다섯 가지 측정값으로 그 형태를 나타냅니다.

• 반지름: 원의 중심에서 아치 곡선 위 임의의 점까지의 거리입니다.
• 현 길이: 아치 양쪽 아래 끝점 사이의 직선 수평 거리이며, 너비라고도 합니다.
• 아치 높이: 스프링선(양쪽 끝점을 잇는 수평선)에서 아치의 가장 높은 점까지의 수직 거리입니다.
• 호의 길이: 아치의 곡선을 따라 한쪽 끝점에서 다른 쪽 끝점까지 측정한 거리입니다.
• 아치 면적: 아치와 스프링선 사이에 둘러싸인 곡선 영역의 면적입니다.

아치 치수 공식

이 공식은 하나의 원에서 떼어 낸 호로 이루어진 원형 아치에 적용됩니다. 대부분의 출입구, 창, 다리 아치는 높이가 반지름을 넘지 않습니다. 이 계산기는 높이가 반지름보다 크고 반지름의 두 배 이하인 더 높은 말굽형 아치도 다룹니다. 말굽형 아치는 곡선이 반원보다 크므로 양쪽 끝이 안쪽으로 되돌아옵니다.

높이 공식(반지름과 현 길이로 계산)

$\text{높이} = \text{반지름} - \sqrt{\text{반지름}^2 - \left(\frac{\text{현 길이}}{2}\right)^2}$

반지름과 현 길이가 양수이고 현 길이 ≤ 2 × 반지름일 때 성립합니다. 이 공식은 주어진 반지름과 현 길이에 맞는 두 아치 중 낮은 쪽을 구하므로, 반환되는 높이는 반지름을 넘지 않습니다. 계산기는 같은 값을 주는 변형된 식 (현 길이/2)² ÷ (반지름 + √(반지름² − (현 길이/2)²))으로 계산하며, 이 식은 매우 얕은 아치에서도 정확도를 유지합니다.

반지름 공식(현 길이와 높이로 계산)

$\text{반지름} = \frac{\text{현 길이}^2}{8 \times \text{높이}} + \frac{\text{높이}}{2}$

현 길이와 높이가 양수일 때 유효합니다.

현 길이 공식(반지름과 높이로 계산)

$\text{현 길이} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{반지름} \times \text{상승고} - \text{상승고}^2}$

반지름과 높이가 양수이고 높이 ≤ 2 × 반지름일 때 성립합니다. 높이가 반지름보다 크면 말굽형 아치가 됩니다. 높이가 반지름의 정확히 두 배이면 원이 닫히고 현 길이는 0이 됩니다.

호의 길이 공식

$\text{호의 길이} = \text{반지름} \times \theta$

여기서 θ(세타)는 아치의 곡선이 원의 중심에서 그리는 중심각이며 단위는 라디안입니다. 계산기는 인수가 두 개인 아크탄젠트 atan2로 이 값을 구합니다. atan2는 θ가 π보다 큰 말굽형 아치를 포함한 모든 아치 모양에서 동작합니다.

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{지간}}{2},\ \text{반지름} - \text{상승고}\right)$

높이가 반지름 이하일 때는 이 식이 더 간단한 다음 식과 같은 각도를 줍니다.

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{지간}}{2 \times \text{반지름}}\right)$

아치 면적 공식

$\text{아치 면적} = \frac{1}{2} \times \text{반지름}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

이 식은 부채꼴의 넓이에서 두 반지름 사이의 삼각형 넓이를 뺀 값입니다. 풀어 쓰면 다음과 같습니다.

$\text{아치 면적} = \frac{1}{2} \times \text{반지름}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{지간} \times (\text{반지름} - \text{상승고})$

말굽형 아치에서는 반지름 − 높이가 음수이므로 삼각형 항을 빼는 대신 더합니다.

아치 계산기 사용 방법

계산기는 계산하지 못한 치수에 따라 세 가지 모드를 제공합니다.

높이 계산(반지름과 현 길이를 알고 있는 경우): 반지름과 현 길이를 입력합니다. 계산기는 높이, 호의 길이, 아치 면적을 반환합니다.

반지름 계산(현 길이와 높이를 알고 있는 경우): 현 길이와 높이를 입력합니다. 계산기는 반지름, 호의 길이, 아치 면적을 반환합니다.

현 길이 계산(반지름과 높이를 알고 있는 경우): 반지름과 높이를 입력합니다. 계산기는 현 길이, 호의 길이, 아치 면적을 반환합니다.

계산기는 실제 아치를 만들 수 없는 입력을 거부합니다. 현 길이는 반지름의 두 배를 초과할 수 없고, 높이도 반지름의 두 배를 초과할 수 없으며, 모든 치수는 양수여야 합니다. 값이 이 규칙 중 하나를 어기면 오류 메시지가 표시됩니다.

계산 예시

예시 1: 출입구 아치

출입구 아치의 현 길이는 36인치 (91.4 cm)이고 높이는 12인치 (30.5 cm)입니다.

반지름 = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13.5 + 6 = 19.5인치 (49.5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19.5) = 2 × arcsin(0.9231) = 2 × 1.176 = 2.352라디안

호의 길이 = 19.5 × 2.352 = 45.86인치 (116 cm)

아치 면적 = (0.5 × 19.5² × 2.352) − (0.5 × 36 × (19.5 − 12)) = 447.18 − 135 = 312.18제곱인치 (2,010 cm²)

예시 2: 정원 아치

정원 아치의 반지름은 4피트 (1.2 m)이고 현 길이는 6피트 (1.8 m)입니다.

높이 = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2.6458 = 1.35피트 (0.411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0.75) = 2 × 0.848 = 1.696라디안

호의 길이 = 4 × 1.696 = 6.78피트 (2.07 m)

아치 면적 = (0.5 × 4² × 1.696) − (0.5 × 6 × (4 − 1.3542)) = 13.57 − 7.94 = 5.63제곱피트 (0.523 m²)

예시 3: 교량 아치

교량 아치의 현 길이는 50피트 (15 m)이고 높이는 15피트 (4.57 m)입니다.

반지름 = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7.5 = 20.83 + 7.5 = 28.33피트 (8.63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28.33) = 2 × arcsin(0.8824) = 2 × 1.081 = 2.162라디안

호의 길이 = 28.33 × 2.162 = 61.25피트 (18.7 m)

아치 면적 = (0.5 × 28.33² × 2.162) − (0.5 × 50 × (28.33 − 15)) = 867.67 − 333.33 = 534.34제곱피트 (49.6 m²)

예시 4: 말굽형 아치

장식용 말굽형 아치의 반지름은 10 인치 (25 cm)이고 높이는 15 인치 (38.1 cm)입니다. 높이가 반지름보다 크므로 곡선은 반원보다 큽니다.

현 길이 = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17.32 인치 (44 cm)

θ = 2 × atan2(8.66, 10 − 15) = 2 × atan2(8.66, −5) = 4.189 라디안(240°)

호의 길이 = 10 × 4.189 = 41.89 인치 (106 cm)

아치 면적 = 0.5 × 10² × (4.189 − sin 4.189) = 50 × (4.1888 + 0.8660) = 50 × 5.0548 = 252.74 제곱인치 (1,630 cm²)

아치 계산의 일반적인 용도

시공자는 아치 치수를 사용해 콘크리트 아치용 거푸집을 자르고, 조적 아치용 벽돌 또는 석재 본을 배치하며, 아치형 천장의 곡률을 계획합니다. 교량 설계자는 현 길이, 높이, 반지름을 사용해 하중 분포와 여유 공간의 균형을 맞춥니다. 복원 작업에서는 역사적 아치를 수리하거나 재건할 때 정확한 기하를 맞추기 위해 같은 공식을 사용합니다. 정원사와 DIY 제작자는 아치형 트렐리스, 출입구, 장식용 개구부를 만들 때 이 공식을 활용합니다.

이 계산기는 하나의 원에서 잘라 낸 호로 형성된 원형 아치만 다룹니다. 타원형, 포물선형, 고딕형, 현수선형 아치는 서로 다른 곡선을 따르므로 다른 공식이 필요합니다.

아치의 간략한 역사

고대 메소포타미아의 시공자들은 기원전 2500년경부터 초기 아치와 비슷한 형태를 사용했습니다. 그러나 대부분은 진정한 곡선 아치가 아니라, 각 층이 아래층보다 바깥으로 돌출되도록 돌을 쌓는 캔틸레버식 돌쌓기로 만들어졌습니다. 로마인은 반원형 아치를 표준 건축 방식으로 발전시켜 수로, 교량, 콜로세움 같은 건축물에 사용했습니다. 중세 유럽의 시공자들은 뾰족한 고딕 아치를 발전시켜 더 높고 가벼운 구조물을 지을 수 있게 했습니다. 이후 건축가들은 정확한 비율에 기반한 반원형으로 돌아갔으며, 오늘날에는 강철과 철근 콘크리트 같은 현대 재료로 아치가 훨씬 더 긴 거리를 가로지를 수 있습니다.

자주 묻는 질문

아치에서 높이와 전체 높이는 어떻게 다른가?

높이는 스프링선에서 아치 곡선의 꼭대기까지의 수직 거리입니다. 전체 높이는 때때로 개구부의 총 높이를 뜻하며, 스프링선 아래의 직선 벽 높이도 포함합니다.

이 계산기는 모든 아치 유형에 사용할 수 있는가?

아니요. 원의 일부처럼 생긴 원형 아치에만 사용할 수 있습니다. 타원형, 포물선형, 고딕형, 현수선형 아치는 서로 다른 곡선을 따르므로 별도의 공식이 필요합니다.

반원형 아치에서 현 길이와 반지름은 어떤 관계인가?

반원형 아치에서는 반지름이 현 길이의 절반이고, 높이는 반지름과 같습니다. 아치는 정확히 원의 절반을 이룹니다.

현 길이는 왜 반지름의 두 배보다 클 수 없는가?

현 길이가 반지름의 두 배이면 이미 해당 반지름에서 가능한 가장 넓은 아치인 반원이 만들어집니다. 더 넓은 현 길이는 원 안에 들어갈 수 없습니다.

높이가 반지름보다 클 수 있나요?

예, 클 수 있습니다. 높이가 반지름과 반지름의 두 배 사이이면 반원보다 큰 말굽형 아치가 됩니다. 높이는 원의 전체 높이인 반지름의 두 배를 넘을 수 없습니다. 높이 계산 모드에서 이 도구는 항상 낮은 쪽 아치를 반환하므로, 반환되는 높이는 반지름을 넘지 않습니다.

계산기는 어떤 단위를 사용하는가?

일관된 단위라면 무엇이든 사용할 수 있습니다. 인치, 피트, 미터, 센티미터 등이 가능합니다. 모든 값을 같은 단위로 입력하면 결과도 같은 단위로 표시되며, 면적은 해당 단위의 제곱으로 표시됩니다.