산술 수열 생성기 및 계산기 - 무료 도구

산술 수열이란?

산술 수열은 각 항이 바로 앞 항에 일정한 양을 더해 구해지는 수의 목록입니다. 이 일정한 양을 공차라고 합니다. 수열 2, 5, 8, 11, 14에서는 각 항이 앞 항보다 3만큼 크므로 공차는 3입니다. 산술 수열은 등차 수열이라고도 합니다.

산술 수열 생성기는 다음 세 값으로 이러한 목록을 만듭니다.

• 첫째 항(a₁): 시작하는 수입니다.
• 공차(d): 다음 항을 구하기 위해 각 항에 더하는 일정한 양입니다. 양수이면 수열이 증가하고, 음수이면 감소합니다.
• 항의 개수(n): 수열에 나타나는 수의 개수입니다.

산술 수열을 전개하면 다음과 같습니다. a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d, …, a₁ + (n − 1)d까지입니다.

산술 수열 공식

산술 수열의 n번째 항을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

• aₙ은 n번째 위치에 있는 항의 값입니다.
• a₁은 첫째 항입니다.
• n은 1부터 세었을 때 항의 위치입니다.
• d는 공차입니다.

(n − 1)이 나타나는 이유는 첫째 항에는 아직 공차를 더하지 않았기 때문입니다. 둘째 항에는 공차를 한 번, 셋째 항에는 두 번 더하며, 이후에도 같은 방식으로 더합니다. n번째 항에서는 공차를 (n − 1)번 더했습니다.

산술 수열의 합 공식

산술 수열의 첫 n개 항의 합은 다음과 같습니다.

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ은 첫 n개 항의 합이고, aₙ은 그 합에 포함되는 마지막 항입니다. 첫째 항과 마지막 항, 둘째 항과 끝에서 둘째 항 등을 짝지으면 항상 같은 두 항의 합이 나오므로 이 공식이 성립합니다. 이 두 항의 합에 항의 개수의 절반을 곱하면 전체 합이 됩니다.

마지막 항을 미리 알 필요가 없는 동치 형태는 다음과 같습니다.

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

이 공식은 수학자 카를 프리드리히 가우스의 이름과 관련이 있습니다. 가우스는 어린 시절 짝짓기 방법을 사용해 1부터 100까지의 수를 몇 초 만에 더했다고 전해집니다. 합이 각각 101인 50쌍의 합은 모두 5,050입니다.

계산 예시

첫째 항을 5, 공차를 3, 항의 개수를 6으로 설정합니다.

수열은 5, 8, 11, 14, 17, 20입니다. 합은 (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75입니다.

산술 수열 계산기 사용 방법

1. 첫째 항(a₁)을 입력합니다. 양수, 음수 또는 영을 입력할 수 있으며 소수를 포함할 수도 있습니다.
2. 공차(d)를 입력합니다. 양수, 음수, 영 또는 소수일 수 있습니다.
3. 항의 개수(n)를 입력합니다. 1부터 10,000까지의 정수여야 합니다. 소수를 입력하면 가장 가까운 정수로 반올림됩니다.
4. 세 필드를 모두 입력하면 수열, 항의 개수 및 합이 즉시 표시됩니다. 별도의 버튼을 누를 필요는 없습니다.
5. 수열 복사를 선택하면 전체 항 목록이 복사됩니다.
6. 지우기를 선택하면 세 필드가 모두 비워지고 처음부터 다시 시작할 수 있습니다.

입력 규칙

첫째 항과 공차에는 소수와 음수를 포함한 모든 실수를 입력할 수 있습니다. 항의 개수는 온전한 항을 세는 것이므로 항의 일부만 포함할 수는 없습니다. 입력란은 소수 입력을 가장 가까운 정수로 반올림합니다. 예를 들어 10.5를 입력하면 항의 개수가 11이 됩니다. 그다음 개수는 1 이상 10,000 이하여야 합니다. 영, 음수 또는 10,000을 초과하는 개수를 입력하면 수열 대신 오류가 표시됩니다. 10,000이라는 제한이 있는 이유는 더 긴 목록을 만들고 표시하면 웹 브라우저가 느려질 수 있기 때문입니다.

산술 수열의 활용

산술 수열은 일정한 간격으로 일정한 양만큼 변하는 것을 나타냅니다. US$100에서 시작해 매달 US$25씩 더하는 저축 계획은 산술 수열을 따릅니다. 즉 100, 125, 150, 175 등입니다. 카운트다운 타이머, 일정한 간격으로 배치된 회의 시간, 컴퓨터 프로그램에서 사용하는 행 및 열 인덱스도 같은 패턴을 따릅니다. 학생들은 초등 대수에서 패턴을 공부할 때 산술 수열을 흔히 사용합니다. 공차가 일정하므로 목록의 규칙을 쉽게 파악하고 확인할 수 있기 때문입니다.

관련된 패턴으로는 등비 수열이 있습니다. 등비 수열에서는 일정한 양을 더하는 대신 일정한 비율을 곱해 각 항을 구합니다. 예를 들면 2, 6, 18, 54입니다. 등비 수열은 산술 수열의 일정하고 직선적인 변화와 달리 복리처럼 시간이 지날수록 빨라지는 증가를 나타냅니다.

역사

산술 수열은 수학에서 연구된 가장 오래된 패턴 중 하나입니다. 1650년경의 이집트 문서인 린드 수학 파피루스에는 등차 수열을 사용해 물품을 나누는 문제가 들어 있습니다. 고대 바빌로니아 문헌에도 그보다 이른 시기의 비슷한 패턴이 나타납니다. 이후 유클리드를 비롯한 그리스 수학자들은 300년경 이러한 수열에 관한 형식적 증명을 제시했으며, 이 내용은 오늘날에도 가르쳐지고 있습니다.

자주 묻는 질문

산술 수열을 쉽게 설명하면 무엇인가요?

다음 수를 구할 때마다 같은 양을 더하는 수의 목록입니다. 2, 5, 8, 11에서는 그 양이 3입니다.

앞의 항을 모두 나열하지 않고 n번째 항을 어떻게 구하나요?

공식 aₙ = a₁ + (n − 1) × d를 사용하면 임의의 항을 바로 구할 수 있습니다. 3에서 시작하고 공차가 7인 수열에서 50번째 항은 3 + (49 × 7) = 346입니다.

산술 수열과 등비 수열의 차이는 무엇인가요?

산술 수열은 매번 같은 값을 더합니다. 예를 들면 2, 5, 8, 11입니다. 등비 수열은 매번 같은 값을 곱합니다. 예를 들면 2, 6, 18, 54입니다.

산술 수열에 음수를 사용할 수 있나요?

네. 첫째 항, 공차 또는 둘 다 음수일 수 있습니다. 수열 -10, -6, -2, 2, 6의 공차는 4입니다. 100, 90, 80, 70과 같은 카운트다운의 공차는 -10입니다.

수의 목록에서 공차를 어떻게 구하나요?

어떤 항이든 그다음 항에서 빼면 됩니다. d = a₂ − a₁입니다. 7, 12, 17, 22에서는 12 − 7 = 5이고, 17 − 12도 5이므로 이 수열이 등차 수열임을 확인할 수 있습니다.

이 계산기가 생성할 수 있는 항의 최대 개수는 얼마인가요?

최대 10,000개입니다. 훨씬 긴 목록을 표시하면 웹 브라우저가 느려질 수 있기 때문에 이 제한이 있습니다.