이항 분포 계산기 - 무료 확률 도구

이항분포 계산기란 무엇인가?

이항분포 계산기는 각 시행의 성공 확률이 같고 시행들이 서로 독립적일 때, 정해진 횟수의 시행에서 정확히 특정 횟수만큼 성공할 확률을 계산합니다. 통계학, 품질 관리, 의학 및 반복되는 예·아니요 사건을 연구하는 모든 분야에서 사용됩니다.

기본 개념은 이항분포입니다. 이항분포는 각 시행에서 성공과 실패처럼 두 가지 결과만 나올 때, 반복 시행에서 성공 횟수를 세기 위한 확률 모형입니다.

이항분포 공식

n번의 시행에서 정확히 k번 성공할 확률은 다음과 같습니다.

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

• n — 시행 횟수입니다.
• k — 확률을 구할 성공 횟수입니다.
• p — 한 번의 시행에서 성공할 확률이며, 0과 1 사이의 값입니다.
• $\binom{n}{k}$ — 이항계수로, n번의 시행에서 k번 성공을 선택하는 서로 다른 방법의 수입니다. 값은 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$입니다.

모든 시행은 독립적이어야 합니다. 즉, 한 시행의 결과가 다른 시행의 가능성을 바꾸지 않아야 하며 성공 확률 p는 모든 시행에서 같아야 합니다. 동전 한 번 던지기처럼 두 가지 결과가 가능한 단일 시행을 베르누이 시행이라고 합니다. 이항분포는 n개의 베르누이 시행을 합산해 얻는 분포입니다.

이항 확률 계산 방법

1. n, k, p를 적습니다.
2. 이항계수 $\binom{n}{k}$를 계산합니다. 이는 n번의 시행 중 k번의 성공을 배치하는 방법의 수입니다.
3. p를 k제곱합니다.
4. (1 − p)를 (n − k)제곱합니다.
5. 세 수치를 서로 곱합니다.

이 페이지의 계산기는 이 단계를 자동으로 수행합니다. n, p, k를 입력하면 P(X = k)와 함께 0부터 n번 성공까지 가능한 모든 결과의 확률을 보여 주는 막대그래프를 표시합니다.

풀이 예시

예시 1: 동전 던지기

공정한 동전을 10번 던집니다. 앞면이 정확히 3번 나올 확률은 얼마일까요?

• n = 10, p = 0.5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• 결과: 120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172, 즉 약 11.72%입니다.

예시 2: 품질 관리

한 공장에서 제품 100개를 검사합니다. 각 제품이 불량일 확률은 2%입니다. 100개가 모두 불량이 아닐 확률은 얼마일까요?

• n = 100, p = 0.02, k = 0
• k = 0이므로 공식은 $(1-p)^n = 0.98^{100}$으로 간단해집니다.
• 결과: ≈ 0.1326, 즉 약 13.26%입니다.

예시 3: 질병 검사

한 도시에서 인구의 0.1%를 감염시키는 질병에 대해 1,000명을 검사합니다(p = 0.001). 1,000명 중 정확히 5명이 감염되었을 확률은 얼마일까요?

• n = 1000, p = 0.001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• 결과: 8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305, 즉 약 0.30%입니다(정확한 값은 0.0030488, 즉 0.30488%).

평균과 분산

모수가 n과 p인 이항분포에서는 다음과 같습니다.

• 평균(기댓값): E(X) = np
• 분산: Var(X) = np(1 − p)
• 표준편차: σ = √[np(1 − p)]

평균은 여러 번 반복했을 때 예상되는 평균 성공 횟수를 나타냅니다. 예시 1에서 평균은 10 × 0.5 = 앞면 5번입니다.

계산기에 입력할 수 있는 값

• n은 1 이상의 정수여야 합니다. 소수로 입력하면 가장 가까운 정수인 시행 횟수로 반올림되므로 10.9는 11로 처리됩니다.
• p는 양 끝값을 포함하여 0과 1 사이여야 합니다.
• k는 0 이상의 정수여야 하며 n보다 클 수 없습니다. 5번의 시행에서 8번 성공하는 것은 불가능하므로 계산기는 숫자 대신 오류를 표시합니다.

입력란을 하나라도 비워 두면 계산기는 값을 추측하지 않고 결과와 차트를 표시하지 않습니다.

이항분포가 적용되는 경우

다음 네 가지 조건이 모두 충족되는 상황에만 이항분포를 적용할 수 있습니다.

1. 시행 횟수 n이 미리 정해져 있습니다.
2. 각 시행에는 성공과 실패라는 두 가지 결과만 있습니다.
3. 성공 확률 p가 모든 시행에서 같습니다.
4. 시행들은 서로 독립적입니다.

비복원으로 카드 더미에서 카드를 뽑으면 카드를 한 장 제거할 때 다음에 뽑을 카드의 확률이 바뀌므로 독립 조건이 깨집니다. 이런 경우에는 초기하분포를 사용합니다.

관련 분포

• 푸아송분포: n이 크고 p가 작아 평균 성공 횟수(np)가 적당한 수준으로 유지될 때 이항분포를 근사하는 데 사용됩니다. 예시 3의 질병 발생처럼 드문 사건을 모형화할 때 흔히 사용됩니다.
• 정규분포: n이 크고 p가 0이나 1에 너무 가깝지 않으면 이항분포는 대략 종 모양이 되며, 평균 np와 분산 np(1 − p)를 갖는 정규분포로 근사할 수 있습니다.
• 초기하분포: 유한 모집단에서 비복원으로 표본을 추출할 때 이항분포 대신 사용됩니다.

자주 묻는 질문

이항분포 계산기는 무엇을 계산하는가?

이항분포 계산기는 성공 확률이 p인 n번의 독립 시행에서 정확히 k번 성공할 확률을 공식 P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)로 계산합니다.

이항분포와 정규분포의 차이는 무엇인가?

이항분포는 이산분포이므로 성공 횟수가 정수로만 나타납니다. 정규분포는 연속분포입니다. n이 크면 이항분포는 평균 np와 분산 np(1 − p)를 갖는 정규곡선으로 근사할 수 있습니다.

p가 0 또는 1일 수 있는가?

그렇습니다. p = 0이면 어떤 시행도 성공할 수 없으므로 P(X = 0) = 1입니다. p = 1이면 모든 시행이 성공하므로 P(X = n) = 1입니다. 이 경우 k의 다른 모든 값에 대한 확률은 0입니다.

이항분포와 베르누이분포는 어떤 관계인가?

베르누이분포는 두 가지 결과가 있는 단일 시행(n = 1)을 설명합니다. 이항분포는 n개의 독립적인 베르누이 시행을 합한 것이므로, 베르누이분포는 n = 1인 이항분포에 해당합니다.

계산기가 부정확해지기 전에 n은 얼마까지 커질 수 있는가?

계산기는 표준 배정밀도 연산을 사용합니다. 공식의 세 부분을 직접 곱하며, 이항계수가 배정밀도로 저장할 수 있는 최대 수를 넘어서면 로그로 전환합니다. 이는 k가 n/2에 가까울 때 n = 1,000 부근에서 발생합니다. 그보다 큰 값에서도 결과는 정확하게 유지됩니다. 약 1e-308보다 작은 확률은 배정밀도로 저장할 수 없으므로 0으로 표시됩니다.

이항계수는 어떻게 계산하는가?

이항계수 C(n, k)는 순서와 관계없이 n개 항목 중 k개를 선택하는 방법의 수를 셉니다. 값은 n! / (k! × (n − k)!)입니다. 계산기는 한 인자를 곱하고 다음 인자로 나누는 과정을 단계적으로 수행하므로 전체 팩토리얼을 저장할 필요가 없습니다. n이 매우 클 때는 이러한 인자들의 로그를 대신 합산합니다.

참고 문헌

1. "Binomial Distribution." 위키백과, 위키미디어 재단. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., 외. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.