이항 분포 계산기 - 무료 확률 도구

이항분포 계산기란 무엇인가?

이항분포 계산기는 각 시행의 성공 확률이 같고 시행들이 서로 독립적일 때, 정해진 횟수의 시행에서 정확히 특정 횟수만큼 성공할 확률을 계산합니다. 통계학, 품질 관리, 의학 및 반복되는 예·아니요 사건을 연구하는 모든 분야에서 사용됩니다.

기본 개념은 이항분포입니다. 이항분포는 각 시행에서 성공과 실패처럼 두 가지 결과만 나올 때, 반복 시행에서 성공 횟수를 세기 위한 확률 모형입니다.

이항분포 공식

n번의 시행에서 정확히 k번 성공할 확률은 다음과 같습니다.

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

• n — 시행 횟수입니다.
• k — 확률을 구할 성공 횟수입니다.
• p — 한 번의 시행에서 성공할 확률이며, 0과 1 사이의 값입니다.
• $\binom{n}{k}$ — 이항계수로, n번의 시행에서 k번 성공을 선택하는 서로 다른 방법의 수입니다. 값은 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$입니다.

모든 시행은 독립적이어야 합니다. 즉, 한 시행의 결과가 다른 시행의 가능성을 바꾸지 않아야 하며 성공 확률 p는 모든 시행에서 같아야 합니다. 동전 한 번 던지기처럼 두 가지 결과가 가능한 단일 시행을 베르누이 시행이라고 합니다. 이항분포는 n개의 베르누이 시행을 합산해 얻는 분포입니다.

이항 확률 계산 방법

1. n, k, p를 적습니다.
2. 이항계수 $\binom{n}{k}$를 계산합니다. 이는 n번의 시행 중 k번의 성공을 배치하는 방법의 수입니다.
3. p를 k제곱합니다.
4. (1 − p)를 (n − k)제곱합니다.
5. 세 수치를 서로 곱합니다.

이 페이지의 계산기는 이 단계를 자동으로 처리합니다. n, p, k를 입력하면 P(X = k)를 소수 여섯째 자리까지 반올림한 소수로 보여 주며, 0번부터 n번까지 가능한 모든 성공 횟수의 확률을 나타내는 막대 차트도 함께 표시합니다. 시행 횟수 n은 1 이상이어야 하고, k는 0과 n 사이여야 합니다.

계산 예시

예시 1: 동전 던지기

공정한 동전을 10번 던집니다. 앞면이 정확히 3번 나올 확률은 얼마일까요?

• n = 10, p = 0.5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• 결과: 120 × 0.125 × 0.0078125 ≈ 0.1172, 즉 약 11.72%입니다.

예시 2: 품질 관리

한 공장에서 제품 100개를 검사합니다. 각 제품이 불량일 확률은 2%입니다. 100개가 모두 불량이 아닐 확률은 얼마일까요?

• n = 100, p = 0.02, k = 0
• k = 0이므로 공식은 $(1-p)^n = 0.98^{100}$으로 간단해집니다.
• 결과: ≈ 0.1326, 즉 약 13.26%입니다.

예시 3: 질병 검사

한 도시에서 인구의 0.1%를 감염시키는 질병에 대해 1,000명을 검사합니다(p = 0.001). 1,000명 중 정확히 5명이 감염되었을 확률은 얼마일까요?

• n = 1000, p = 0.001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• 결과: 8,250,291,250,200 × 1e-15 × 0.3695 ≈ 0.00305, 즉 약 0.30%입니다(정확한 값은 0.0030488, 즉 0.30488%).

평균과 분산

모수가 n과 p인 이항분포에서는 다음과 같습니다.

• 평균(기댓값): E(X) = np
• 분산: Var(X) = np(1 − p)
• 표준편차: σ = √[np(1 − p)]

평균은 여러 번 반복했을 때 예상되는 평균 성공 횟수를 나타냅니다. 예시 1에서 평균은 10 × 0.5 = 앞면 5번입니다.

이항분포가 적용되는 경우

다음 네 가지 조건이 모두 충족되는 상황에만 이항분포를 적용할 수 있습니다.

1. 시행 횟수 n이 미리 정해져 있습니다.
2. 각 시행에는 성공과 실패라는 두 가지 결과만 있습니다.
3. 성공 확률 p가 모든 시행에서 같습니다.
4. 시행들은 서로 독립적입니다.

비복원으로 카드 더미에서 카드를 뽑으면 카드를 한 장 제거할 때 다음에 뽑을 카드의 확률이 바뀌므로 독립 조건이 깨집니다. 이런 경우에는 초기하분포를 사용합니다.

관련 분포

• 푸아송 분포: 이항분포를 근사하는 데 사용합니다. 이 근사는 시행 횟수가 많고 성공 확률이 낮을 때 사용할 수 있습니다. 예시 3의 질병 사례처럼 드문 사건을 모델링할 때 흔히 쓰입니다.
• 정규분포: n이 크면 이항분포는 대략 종 모양이 되며, 평균이 np이고 분산이 np(1 − p)인 정규분포로 근사할 수 있습니다. 일반적인 기준은 np와 n(1 − p)가 모두 5보다 커야 한다는 것이며, 둘 다 10 이상이면 근사가 더 정확합니다.
• 초기하분포: 유한 모집단에서 비복원으로 표본을 추출할 때 이항분포 대신 사용됩니다.

자주 묻는 질문

이항분포 계산기는 무엇을 계산하는가?

이항분포 계산기는 성공 확률이 p인 n번의 독립 시행에서 정확히 k번 성공할 확률을 공식 P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)로 계산합니다.

이항분포와 정규분포의 차이는 무엇인가?

이항분포는 이산분포이므로 성공 횟수가 정수로만 나타납니다. 정규분포는 연속분포입니다. n이 크면 이항분포는 평균 np와 분산 np(1 − p)를 갖는 정규곡선으로 근사할 수 있습니다.

p가 0 또는 1일 수 있는가?

그렇습니다. p = 0이면 어떤 시행도 성공할 수 없으므로 P(X = 0) = 1입니다. p = 1이면 모든 시행이 성공하므로 P(X = n) = 1입니다. 이 경우 k의 다른 모든 값에 대한 확률은 0입니다.

이항분포와 베르누이분포는 어떤 관계인가?

베르누이분포는 두 가지 결과가 있는 단일 시행(n = 1)을 설명합니다. 이항분포는 n개의 독립적인 베르누이 시행을 합한 것이므로, 베르누이분포는 n = 1인 이항분포에 해당합니다.

계산기는 많은 시행 횟수도 처리할 수 있습니까?

네. 계산기는 표준 배정밀도 수를 사용합니다. n이 작을 때는 이항계수에 p의 거듭제곱과 1 − p의 거듭제곱을 직접 곱합니다. 이항계수가 수 형식으로 나타내기에 너무 커지거나 거듭제곱이 너무 작아지면, 로그를 더하는 방식으로 바꾸고 마지막에 그 합을 다시 원래 값으로 되돌립니다. 결과는 항상 유한한 확률로 유지됩니다. 예를 들어 n = 5,000, p = 0.5, k = 2,500이면 약 0.011283을 반환합니다. n이 매우 클 때는 정규분포 근사나 푸아송 근사도 흔히 쓰입니다.

이항계수는 어떻게 계산하는가?

이항계수 C(n, k)는 순서와 관계없이 n개 중에서 k개를 고르는 방법의 수를 나타냅니다. 이는 n! / (k! × (n − k)!)과 같으며, 누적 곱과 나눗셈을 단계별로 반복해 구할 수도 있어 매우 큰 계승을 직접 다루지 않아도 됩니다.

참고 문헌

1. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.6.18 Binomial Distribution. 이항분포 — 확률질량함수 C(n, x) pˣ (1 − p)ⁿ⁻ˣ, 평균 np, 표준편차 √(np(1 − p)).
2. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 4.6 Poisson Distribution. 푸아송 분포 — p가 작고 n이 클 때 푸아송 분포로 이항분포를 근사할 수 있습니다.
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 7.3 Using the Central Limit Theorem. 이항분포의 정규 근사 — 정규 근사에는 np > 5이고 nq > 5이어야 하며, 둘 다 10 이상이면 더 정확합니다. 평균은 np입니다.