수직 곡선 계산기 - 도로 및 고속도로 설계 도구

종단곡선 계산기란 무엇인가?

종단곡선 계산기는 두 도로 경사를 매끄럽게 연결하는 데 사용되는 포물선 곡선인 종단곡선의 표고, K값 및 주요 지점을 계산합니다. 경사가 급격히 바뀌는 각도로 도로가 만나는 대신, 종단곡선은 두 경사를 하나의 연속적인 곡선으로 연결합니다. 이를 통해 승차감이 좋아지고, 운전자가 안전하게 정지할 수 있을 만큼 앞을 멀리 볼 수 있으며, 물도 적절히 배수됩니다.

기술자는 고속도로, 도로, 철도, 공항 활주로와 주차장 같은 경사진 부지를 설계할 때 종단곡선을 사용합니다. 도로나 선로의 경사를 바꾸어야 하는 곳이라면 어디서든 종단곡선이 그 전환을 수행합니다.

볼록 종단곡선과 오목 종단곡선

종단곡선은 곡선 전후의 경사(종단경사)를 비교하는 방식에 따라 두 유형 중 하나입니다. 경사는 백분율로 표시합니다. 3% 경사는 이동 거리 100m마다 3m 상승합니다.

• 볼록 종단곡선: 초기 경사가 최종 경사보다 큽니다(g₁ > g₂). 도로는 올라간 뒤 높은 지점을 지나 내려가며, 언덕 꼭대기를 넘는 것과 같습니다.
• 오목 종단곡선: 초기 경사가 최종 경사보다 작습니다(g₁ < g₂). 도로는 내려간 뒤 낮은 지점을 지나 올라가며, 움푹 팬 곳의 바닥과 같습니다.
• 두 경사가 같으면 곡선이 필요하지 않습니다. 도로가 이미 직선이기 때문입니다.

볼록 종단곡선은 정지 시거에 가장 중요합니다. 운전자는 장애물에 부딪히기 전에 정지할 수 있도록 충분히 앞을 볼 수 있어야 합니다. 오목 종단곡선은 야간 전조등 시거와 배수에 가장 중요합니다. 낮은 지점에 물이 고이기 때문입니다.

주요 용어

• PVI(종단 교차점, Point of Vertical Intersection): 곡선이 없다면 두 직선 경사선이 만나는 지점입니다.
• PVC(종단 곡선 시작점, Point of Vertical Curvature): 곡선이 시작되는 지점입니다.
• PVT(종단 접선점, Point of Vertical Tangency): 곡선이 끝나는 지점입니다.
• K값: 곡선 길이를 경사 변화량으로 나눈 값입니다. 곡선이 얼마나 완만한지를 나타냅니다.
• 측점: 일반 좌표 대신 사용하는 도로 중심선을 따른 거리 측정값입니다. 이 계산기에서는 측점과 표고를 모두 미터 단위로 입력합니다.

곡선은 일반적으로 대칭입니다. PVC는 PVI보다 곡선 길이의 절반만큼 앞에 있고, PVT는 PVI보다 곡선 길이의 절반만큼 뒤에 있습니다.

종단곡선 공식

곡선 위 임의 지점의 표고는 이차 방정식(포물선 방정식)을 따릅니다.

$y = y_{PVC} + g_1 x + \frac{A x^2}{2L}$

• $y$ = PVC에서 거리 $x$만큼 떨어진 지점의 표고
• $y_{PVC}$ = PVC의 상승고
• $g_1$ = 소수로 표시한 초기 경사(3% 경사는 0.03)
• $A$ = 경사의 대수적 차이, $g_2 - g_1$(소수 형식)
• $L$ = 곡선 길이

K값 공식

$K = \frac{L}{|g_2 - g_1|}$

여기서 $g_1$과 $g_2$는 백분율입니다. K가 클수록 곡선이 더 평평하고 완만합니다. AASHTO의 「도로 및 가로의 기하학적 설계 정책」과 같은 설계 매뉴얼은 설계 속도와 곡선이 볼록 종단곡선인지 오목 종단곡선인지에 따라 고속도로의 최소 K값을 정합니다.

$g_1$이 $g_2$와 같으면 경사 변화가 0이므로 K는 정의되지 않습니다. 이 경우 계산기는 K값 대신 대시를 표시합니다. 차이가 0.0001% 미만인 경사도 같은 것으로 간주합니다.

PVC와 PVT

$Station_{PVC} = Station_{PVI} - \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVC} = Elevation_{PVI} - \frac{g_1 L}{200}$

$Station_{PVT} = Station_{PVI} + \frac{L}{2} \qquad Elevation_{PVT} = Elevation_{PVI} + \frac{g_2 L}{200}$

여기서 $g_1$과 $g_2$는 백분율이며, 200으로 나누면 백분율이 소수로 변환되고 곡선 길이의 절반에 적용됩니다.

최고점 또는 최저점

두 경사의 부호가 서로 반대이거나 한 경사가 정확히 0이면 곡선 위에 최고점(볼록 종단곡선) 또는 최저점(오목 종단곡선)이 존재합니다. PVC에서 이 지점까지의 거리는 다음과 같습니다.

$x = \frac{g_1 L}{g_1 - g_2}$

PVC 측점에 $x$를 더하면 최고점 또는 최저점의 측점을 구할 수 있으며, 위의 상승고 공식으로 그 상승고를 계산합니다. 두 경사의 부호가 같으면 이 지점은 PVC에서 PVT까지의 범위 밖에 놓입니다. 따라서 도로는 곡선 전체에서 계속 상승하거나 계속 하강하고, 계산기는 최고점이나 최저점이 없다고 표시합니다. 한 경사가 0이면 이 지점은 정확히 PVC 또는 PVT에 있습니다.

종단곡선 계산 방법

1. 초기 경사와 최종 경사를 입력합니다. 단위는 백분율입니다. 오르막 경사에는 양수를, 내리막 경사에는 음수를 사용합니다.
2. 곡선 길이를 입력합니다. 단위는 미터입니다.
3. PVI 측점과 PVI 표고를 입력합니다. 둘 다 미터 단위입니다.
4. 곡선 유형(볼록 종단곡선, 오목 종단곡선 또는 해당 없음), K값, PVC와 PVT의 측점 및 상승고를 확인합니다.
5. 경사의 부호가 서로 반대이거나 둘 중 하나가 0이면 계산기는 최고점 또는 최저점도 표시합니다.
6. 다른 지점의 표고를 구하려면 조회 측점을 입력합니다. 해당 측점이 곡선의 범위 밖에 있으면 공식이 PVC와 PVT 사이에서만 적용되므로, 계산기는 숫자를 표시하는 대신 범위 밖이라고 알립니다.

계산 예시: 볼록 종단곡선

도로가 3% 경사로 올라간 다음 -2% 경사로 내려갑니다. PVI는 측점 1000.00 m, 상승고 150.00 m에 있습니다. 곡선 길이는 400 m입니다.

K값: $K = 400 / |{-2} - 3| = 400 / 5 = 80.00$

PVC: 측점 $= 1000 - 400/2 = 800.00$m, 상승고 $= 150 - (3 \times 400)/200 = 144.00$m

PVT: 측점 $= 1000 + 400/2 = 1200.00$m, 상승고 $= 150 + (-2 \times 400)/200 = 146.00$m

최고점: 3과 −2의 부호가 서로 반대이므로 최고점이 존재합니다. $x = (3 \times 400)/(3-(-2)) = 1200/5 = 240$m가 PVC에서의 거리이므로, 최고점의 측점은 $800 + 240 = 1040.00$m입니다. 상승고는 $144 + (0.03)(240) + \dfrac{(-0.05)(240)^2}{2(400)} = 144 + 7.2 - 3.6 = 147.60$m입니다.

계산 예시: 오목 종단곡선

도로가 -3% 경사로 내려간 다음 2% 경사로 올라갑니다. PVI는 측점 500.00 m, 상승고 85.00 m에 있습니다. 곡선 길이는 200 m입니다.

K값: $K = 200 / |2-(-3)| = 200/5 = 40.00$

PVC: 측점 $= 400.00$m, 상승고 $= 85 - (-3 \times 200)/200 = 88.00$m

PVT: 측점 $= 600.00$m, 상승고 $= 85 + (2 \times 200)/200 = 87.00$m

최저점: $x = (-3 \times 200)/(-3-2) = -600/-5 = 120$m가 PVC에서의 거리이므로, 최저점의 측점은 $400 + 120 = 520.00$m입니다. 상승고는 $88 + (-0.03)(120) + \dfrac{(0.05)(120)^2}{2(200)} = 88 - 3.6 + 1.8 = 86.20$m입니다.

이 최저점에 지표수가 모이므로 배수구는 PVI가 아니라 이 지점에 설치합니다.

자주 묻는 질문

종단곡선 설계에서 K값이란 무엇인가? K값은 곡선 길이를 두 경사 사이의 절댓값 차이로 나눈 값입니다. 이는 경사가 1% 변하는 데 필요한 곡선 길이가 몇 미터인지 나타냅니다. K값이 클수록 곡선이 더 평평하고 완만합니다.

볼록 종단곡선과 오목 종단곡선 중 무엇이 필요한지 어떻게 알 수 있나요? 두 경사를 비교합니다. 초기 경사가 최종 경사보다 크면 볼록 종단곡선입니다. 초기 경사가 최종 경사보다 작으면 오목 종단곡선입니다. 경사가 같으면 곡선이 전혀 필요하지 않습니다.

초기 경사와 최종 경사가 같으면 어떻게 되나요? 도로가 이미 직선이므로 종단곡선이 필요하지 않습니다. 경사 변화가 0인 값으로 나누어야 하므로 K값은 정의되지 않으며, 계산기는 숫자 대신 대시를 표시합니다.

곡선의 최고점 또는 최저점은 어떻게 구하나요? 두 경사의 부호가 서로 반대이거나 한 경사가 0이면 최고점 또는 최저점이 존재합니다. PVC에서 이 지점까지의 거리는 $g_1 L / (g_1 - g_2)$입니다. 이 값을 PVC 측점에 더해 위치를 구한 다음, 곡선의 표고 공식으로 높이를 계산합니다. 두 경사의 부호가 같으면 이 지점은 곡선 밖에 놓이므로 최고점이나 최저점이 없습니다.

오목 종단곡선의 최저점이 배수에 중요한 이유는 무엇인가요? 양쪽에서 흘러내리는 물이 최저점에 모입니다. 실제 최저점이 아니라 PVI에 배수구를 설치하면 두 지점이 거의 같지 않기 때문에 도로에 물이 고일 수 있습니다.

조회 측점이 곡선 밖에 있을 수 있나요? 그럴 수 있습니다. 표고 공식은 PVC와 PVT 사이에서만 적용됩니다. 해당 범위 밖의 측점은 곡선상 표고가 정의되지 않으므로 계산기는 해당 측점이 곡선 밖에 있다고 표시합니다.