Jauna-Laplasa vienādojuma risinātājs | Saskarsmes spiediens

Kas ir Janga–Laplāsa vienādojums?

Janga–Laplāsa vienādojums ir šķidrumu mehānikas formula, kas nosaka spiediena starpību abpus izliektai saskarnei starp diviem šķidrumiem, piemēram, ūdens piliena virsmai vai ziepju burbulim. Tas parāda, ka šī spiediena starpība ir atkarīga no šķidruma virsmas spraiguma un no tā, cik stipri izliekta ir saskarne. Vienādojums izskaidro, kāpēc pilienos un burbuļos rodas paaugstināts spiediens un kāpēc mazākiem pilieniem un burbuļiem iekšējais spiediens ir lielāks nekā lielākiem.

Tas nosaukts Tomasa Janga un Pjēra Simona Laplāsa vārdā, kuri šo sakarību aprakstīja 1800. gadu sākumā.

Janga–Laplāsa vienādojuma formula

Vienādojuma vispārīgā forma ir:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ ir spiediena starpība pāri saskarnei, izteikta paskālos (Pa)
• $\gamma$ (gamma) ir šķidruma virsmas spraigums, izteikts ņūtonos uz metru (N/m)
• $R_1$ un $R_2$ ir divi galvenie virsmas izliekuma rādiusi, izteikti metros (m)

Virsmas izliekums dažādos virzienos ir atšķirīgs. $R_1$ un $R_2$ raksturo izliekumu divos savstarpēji perpendikulāros virzienos. Sfērai, piemēram, pilienam vai burbulim, $R_1$ ir vienāds ar $R_2$, tāpēc formula vienkāršojas līdz:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Zīmju konvencija

Izliektas saskarnes ieliektajā pusē, proti, tajā pusē, no kuras virsma izliekas prom, spiediens vienmēr ir lielāks. Pilienam vai burbulim tas nozīmē, ka iekšējais spiediens ir lielāks par ārējo spiedienu. Rādiusu uzskata par pozitīvu, ja tā izliekuma centrs atrodas augstāka spiediena pusē. Ja virsma vienā virzienā izliekas pretēji, šo rādiusu uzskata par negatīvu. Seglveida saskarnei, piemēram, šķidruma kaklam starp diviem saskarē esošiem graudiem, viens rādiuss ir pozitīvs, bet otrs — negatīvs, tāpēc abi locekļi daļēji kompensē viens otru.

Šis kalkulators izmanto tikai pozitīvus rādiusus.

Īpašie gadījumi

• Plakana virsma: rādiusam augot uz bezgalību, tā loceklis formulā tuvojas nullei. Pilnīgi plakanai saskarnei spiediena starpības nav.
• Cilindrs: gara cilindriska virsma, piemēram, šķidruma strūkla, kas izplūst no sprauslas, ir izliekta tikai vienā virzienā. Viens no rādiusiem ir cilindra rādiuss, bet otrs garenvirzienā ir bezgalīgs, tāpēc formula vienkāršojas līdz $\Delta P = \gamma / R$. Tā ir puse no spiediena starpības, kāda ir tāda paša rādiusa sfērai.
• Ļoti mazi mērogi: zem aptuveni 10 līdz 20 nanometriem nozīmīgi kļūst papildu efekti, piemēram, līnijas spriegums, un vienkāršais vienādojums vairs nav pietiekami precīzs.

Kā aprēķināt spiediena starpību, izmantojot Janga–Laplāsa vienādojumu

1. Atrodiet šķidruma virsmas spraigumu N/m vienībās tajā temperatūrā, kas jūs interesē. Temperatūrai paaugstinoties, virsmas spraigums samazinās.
2. Izmēriet vai novērtējiet pirmo galveno izliekuma rādiusu $R_1$ metros.
3. Izmēriet vai novērtējiet otro galveno izliekuma rādiusu $R_2$ metros. Sfērai izmantojiet tādu pašu vērtību kā $R_1$. Cilindram bezgalības vietā izmantojiet ļoti lielu skaitli.
4. Reiziniet virsmas spraigumu ar $1/R_1$ un $1/R_2$ summu. Rezultāts ir spiediena starpība paskālos.

Visas vērtības saglabājiet SI mērvienībās. Piemēram, milimetru jaukšana ar metriem maina rezultātu tūkstoš reižu.

Aprēķina piemērs

Ņemsim sfērisku ūdens pilienu ar rādiusu 1 milimetrs (0,001 m) un virsmas spraigumu 0,072 N/m, kas ir tipiska vērtība ūdenim istabas temperatūras tuvumā.

Tā kā piliens ir sfērisks, $R_1 = R_2 = R$, tāpēc:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Spiediens piliena iekšienē ir par 144 Pa lielāks nekā apkārtējā gaisa spiediens. Salīdzinājumā ar parasto atmosfēras spiedienu, kas ir aptuveni 101 325 Pa, tas ir maz, taču efekts strauji pieaug, pilienam sarūkot. Pilienam, kura rādiuss ir desmitreiz mazāks — 0,1 mm, spiediena starpība ir desmitreiz lielāka: 1 440 Pa. Pilienā, kura rādiuss ir 0,01 mm, tā sasniedz 14 400 Pa jeb vairāk nekā 14% no atmosfēras spiediena.

Kur vienādojumu izmanto

• Pilieni un burbuļi: lielāks spiediens mazos pilienos veicina Ostvalda nobriešanu — procesu, kurā mazie pilieni emulsijā sarūk, bet lielie aug, jo to saturs difundē no augsta spiediena apgabala uz zema spiediena apgabalu.
• Kapilārā darbība: izliektā virsma šaurā caurulē velk šķidrumu uz augšu. Tāpēc ūdens paceļas papīra dvieļos un šaurās stikla caurulēs.
• Elpošana: sīkie gaisa maisiņi plaušās, ko sauc par alveolām, uzvedas kā mazi burbuļi. Pārklājums, ko sauc par plaušu surfaktantu, samazina virsmas spraigumu, lai mazās alveolas nesabruktu vienādojuma prognozētā spiediena ietekmē. Priekšlaikus dzimušiem mazuļiem, kuriem nav pietiekami daudz surfaktanta, tādēļ var rasties elpošanas traucējumi.
• Tintes drukāšana: printera sprauslas veido desmitiem mikrometru platus pilienus, kuros izliekuma radītais spiediens ir pietiekami liels, lai ietekmētu tintes izplūšanu no sprauslas.
• Materiālzinātne: instrumenti, kas mēra šķidrumu spēju samitrināt virsmu un plānu pārklājumu uzvedību, izmanto šo vienādojumu, lai saistītu piliena formu ar tā virsmas enerģiju.

Vēsture

Cilvēki novēroja šķidrumu pacelšanos šaurās caurulēs ilgi pirms tam, kad kāds izskaidroja, kāpēc tas notiek. 1700. gadu sākumā Frānsiss Hoksbijs eksperimentāli parādīja, ka šaurākas caurules izraisa lielāku kapilāro pacēlumu, bet 1718. gadā Džeimss Žirēns aprakstīja šo pacēlumu kā apgriezti proporcionālu caurules diametram.

Tomass Jangs izskaidroja pamatā esošo fiziku 1805. gada darbā, ieviešot virsmas spraigumu kā šķidruma īpašību un sasaistot to ar spiedienu pāri izliektām virsmām, lai gan viņa apraksts lielākoties bija kvalitatīvs. 1806. gadā Pjērs Simons Laplāss, izmantojot diferenciālrēķinus, izstrādāja matemātisko formu un neatkarīgi nonāca pie tās pašas sakarības. Viņu kopīgais darbs kļuva par Janga–Laplāsa vienādojumu. Vēlāki zinātnieki, tostarp Karls Frīdrihs Gauss un Žozefs Plato, 1800. gados pārbaudīja un paplašināja šo teoriju.

Biežāk uzdotie jautājumi

Ko aprēķina Janga–Laplāsa vienādojums? Tas aprēķina spiediena starpību pāri izliektai saskarnei starp diviem šķidrumiem, pamatojoties uz šķidruma virsmas spraigumu un saskarnes izliekumu.

Kāpēc spiediens mazākā pilienā ir lielāks? Virsmas spraigums velk gar piliena malu, un šis vilces spēks pieaug proporcionāli rādiusam. Laukums, pret kuru jāiedarbojas spiedienam, pieaug proporcionāli rādiusa kvadrātam. Līdzsvarojot šos lielumus, iegūst $\Delta P = 2\gamma/R$, tāpēc spiediena starpība ir apgriezti proporcionāla rādiusam: ja rādiusu samazina uz pusi, spiediena starpība divkāršojas.

Kā temperatūra ietekmē vienādojumu? Temperatūra maina virsmas spraiguma vērtību, un, temperatūrai paaugstinoties, virsmas spraigums samazinās. Ūdenim virsmas spraigums samazinās no aptuveni 0,073 N/m pie 20 °C līdz aptuveni 0,063 N/m pie 80 °C, kas atbilst samazinājumam par aptuveni 0,17 mN/m uz katru Celsija grādu. Virsmas spraigums istabas temperatūrā ir lielāks nekā karstam ūdenim, tāpēc istabas temperatūras vērtības izmantošana karstā sistēmā pārvērtē spiediena starpību.

Vai vienādojums darbojas arī citām formām, ne tikai sfērām? Jā. Vispārīgā forma ar diviem atsevišķiem rādiusiem $R_1$ un $R_2$ attiecas uz jebkuru izliektu virsmu, tostarp elipsoīdiem un seglveida saskarnēm. Tikai vienkāršotā forma $2\gamma/R$ ir ierobežota ar sfērām.

Ar ko Janga–Laplāsa vienādojums atšķiras no Janga vienādojuma? Janga–Laplāsa vienādojums nosaka izliektas saskarnes radīto spiediena starpību. Janga vienādojums, atsevišķa sakarība, ko arī izstrādāja Tomass Jangs, nosaka piliena saskares leņķi vietā, kur tas saskaras ar cietu virsmu, pamatojoties uz trīs iesaistīto materiālu virsmas enerģijām. Tie apraksta dažādas lietas un dažkārt tiek izmantoti kopā, lai analizētu uz virsmas esošu pilienu.

Cik mazs var būt piliens, pirms vienādojums vairs nedarbojas? Vienādojums saglabā precizitāti līdz aptuveni 1 mikrometram. Zem aptuveni 10 līdz 20 nanometriem kļūst nozīmīgi papildu spēki, ko vienādojums neņem vērā, tostarp līnijas spraigums un molekulāra mēroga spēki starp virsmām, tāpēc ir vajadzīgi detalizētāki modeļi.

Atsauces

1. Young, T. (1805). “An Essay on the Cohesion of Fluids.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Supplement to Book 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. un Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. un Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. izdevums). Wiley-Interscience.