Puasona sadalījuma kalkulators - Aprēķiniet notikumu varbūtības

Kas ir Puasona sadalījuma kalkulators?

Puasona sadalījuma kalkulators nosaka varbūtību, ka noteiktā laika vai telpas intervālā notiks noteikts notikumu skaits, ja zināms, cik bieži notikumi vidēji notiek. To izmanto, kad notikumi notiek pa vienam, neatkarīgi cits no cita un ar nemainīgu vidējo intensitāti. Tipiski piemēri ir zvanu skaits, ko zvanu centrs saņem stundā, vai drukas kļūdu skaits lapā.

Puasona sadalījuma formula

Puasona sadalījums nosaka varbūtību, ka notiks tieši k notikumi, ja vidējā intensitāte ir λ (grieķu burts lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Katrs simbols nozīmē:

• λ (lambda) — vidējais notikumu skaits vienā intervālā. Tas ir vienīgais sadalījuma parametrs.
• k — precīzs notikumu skaits, kura varbūtība tiek aprēķināta. Tam jābūt veselam skaitlim, kas ir 0 vai lielāks.
• e — Eilera skaitlis, fiksēta konstante, kas aptuveni vienāda ar 2,71828.
• k! — “k faktoriāls”, visu veselo skaitļu reizinājums no 1 līdz k. Piemēram, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Pēc vienošanās 0! = 1.

Formulai nepieciešami tikai λ un k. Atšķirībā no binomiālā sadalījuma tai nav nepieciešams kopējais mēģinājumu skaits.

Kā aprēķināt Puasona varbūtību

1. Izvēlieties λ — vidējo notikumu skaitu pētāmajā intervālā.
2. Izvēlieties k — precīzu notikumu skaitu, kuram jānosaka varbūtība.
3. Kāpiniet e līdz negatīvam λ: iegūstiet e^(−λ).
4. Kāpiniet λ līdz k pakāpei: iegūstiet λ^k.
5. Aprēķiniet k!, tas ir, k faktoriālu.
6. Sareiziniet 3. un 4. soļa rezultātus, pēc tam daliet ar 5. soļa rezultātu.

Iegūtais skaitlis ir varbūtība no 0 līdz 1. Reiziniet to ar 100, lai izteiktu to procentos.

Aprēķina piemērs

Zvanu centrs stundā saņem vidēji 5 zvanus (λ = 5). Kāda ir varbūtība, ka noteiktā stundā tas saņems tieši 3 zvanus (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Reiziniet: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Daliet ar 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Varbūtība, ka šajā stundā būs tieši 3 zvani, ir aptuveni 0,140 jeb 14%.

Vairāk piemēru

Kur izmanto Puasona sadalījumu

Puasona sadalījums modelē retu, neatkarīgu notikumu skaitu. Biežākie lietojumi:

• Zvanu centri un klientu apkalpošana: prognozē, cik zvanu vai tērzēšanas sarunu ieradīsies stundā.
• Ražošana: novērtē brāķu skaitu produktu partijā.
• Apdrošināšana: novērtē, cik atlīdzību pieteikumu tiks iesniegts noteiktā periodā.
• Bioloģija un medicīna: modelē mutāciju skaitu vai retu slimību izplatību.
• Fizika: apraksta radioaktīvo sabrukšanu, kad katrs atoms sabrūk neatkarīgi ar nemainīgu vidējo intensitāti.
• Satiksme un tīklu inženierija: novērtē transportlīdzekļu ierašanos krustojumā vai pieprasījumu nonākšanu serverī.

Puasona sadalījuma izmantošanas nosacījumi

Puasona sadalījums ir piemērots situācijai tikai tad, ja ir spēkā visi šie nosacījumi:

• Notikumi notiek pa vienam; divi notikumi nevar notikt tieši vienā un tajā pašā brīdī.
• Notikumi notiek neatkarīgi — viens notikums nepadara nākamo ne vairāk, ne mazāk ticamu.
• Vidējā intensitāte λ pētāmajā intervālā paliek nemainīga.

Ja intensitāte laika gaitā mainās vai notikumi mēdz grupēties, vienkāršais Puasona sadalījums datus labi neaprakstīs.

Puasona sadalījums un saistītie sadalījumi

• Binomiālais sadalījums: to izmanto, ja ir noteikts mēģinājumu skaits un zināma izdošanās varbūtība katrā mēģinājumā, piemēram, metot monētu 20 reizes. Puasona sadalījums ir robežgadījums, uz kuru binomiālais sadalījums pāriet, kad mēģinājumu skaits kļūst ļoti liels un izdošanās varbūtība vienā mēģinājumā tuvojas nullei, bet to reizinājums saglabājas aptuveni vienāds ar λ.
• Normālais sadalījums: lielām λ vērtībām, aptuveni virs 20, Puasona sadalījums ir līdzīgs zvanveida normālajam sadalījumam ar vidējo vērtību λ un dispersiju λ.
• Eksponenciālais sadalījums: Puasona sadalījums skaita, cik notikumu notiek fiksētā intervālā, savukārt eksponenciālais sadalījums apraksta gaidīšanas laiku starp šiem notikumiem.

Piezīme par vēsturi

Franču matemātiķis Simēons Denī Puasons ieviesa šo sadalījumu 1837. gadā grāmatā par varbūtību, kas piemērota tiesu spriedumiem. Sākumā tas piesaistīja maz uzmanības. Tā izmantojums pieauga 20. gadsimta sākumā, kad tādi statistiķi kā Ladislavs Bortkēvičs un Ronalds Fišers to piemēroja reāliem skaitliskiem datiem, tostarp slavenam pētījumam par Prūsijas karavīriem, kurus nogalināja zirgu spērieni.

Biežāk uzdotie jautājumi

Ko lambda (λ) nozīmē Puasona sadalījumā? Lambda ir pētāmajā intervālā sagaidāmais vidējais notikumu skaits. Tā ir arī sadalījuma dispersija, tāpēc lielāka λ nozīmē gan lielāku vidējo skaitu, gan lielāku iespējamo rezultātu izkliedi.

Vai k vai λ var būt negatīvs skaitlis vai daļa? λ jābūt lielākam par 0, bet tas var būt decimālskaitlis, piemēram, 2,5 notikumi stundā. k jābūt veselam skaitlim 0 vai lielākam, jo tas skaita faktiskus notikumus; tas nevar būt negatīvs vai daļskaitlis.

Ar ko Puasona sadalījums atšķiras no binomiālā sadalījuma? Binomiālajam sadalījumam nepieciešams noteikts mēģinājumu skaits un nemainīga izdošanās varbūtība katrā mēģinājumā. Puasona sadalījumam nepieciešama tikai vidējā intensitāte, un tas darbojas ar notikumiem, kas principā varētu notikt jebkādu reižu skaitu.

Kad tā vietā jāizmanto normālais sadalījums? Ja λ ir liela, parasti lielāka par aptuveni 20, normālais sadalījums ar tādu pašu vidējo vērtību un dispersiju cieši aproksimē Puasona sadalījumu un bieži ir ērtāk ar to rēķināt ar roku.

Kāpēc kalkulators dažkārt rāda skaitli zinātniskajā pierakstā? Rezultāti parasti tiek rādīti ar sešām zīmēm aiz komata. Ja varbūtība ir mazāka par 0,0001, sešas zīmes aiz komata to noapaļotu līdz 0,000000 un slēptu tās patieso mazo vērtību, tāpēc kalkulators tā vietā pārslēdzas uz zinātnisko pierakstu. Ja λ = 20 un k = 1, tas rāda 4.122307e-8, kas nozīmē 0,00000004122307.

Vai kalkulators pieņemto vērtību diapazonam nosaka ierobežojumus? Jā. λ jābūt lielākam par 0 un ne lielākam par 700, bet k jābūt veselam skaitlim no 0 līdz 1000. Ārpus šīm robežām kalkulators rāda kļūdu. Ierobežojumi nodrošina, ka rezultāts paliek datora glabājamo skaitļu diapazonā un diagrammā ir pārskatāms stabiņu skaits.

Vai Puasona sadalījums pieļauj vairāk nekā vienu notikumu vienlaikus? Nē. Modelis pieņem, ka notikumi notiek pa vienam. Ja divi notikumi regulāri notiek kopā, datiem labāk atbilst cits sadalījums.

Atsauces

1. Puassons, Simēons Denī. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Parīze, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. Ņujorka: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH Statistical Methods e-rokasgrāmata, sadaļa 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp un Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.