शंकूचे बाजूचे क्षेत्रफल कॅल्क्युलेटर - मोफत ऑनलाइन साधन

शंकूचे पार्श्व पृष्ठफळ

शंकूचे पार्श्व पृष्ठफळ म्हणजे त्याच्या वक्र बाजूच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ होय; सपाट वर्तुळाकार तळाचा समावेश यात केला जात नाही. याला पार्श्व पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ असेही म्हणतात. लंब वर्तुळाकार शंकूसाठी ते केवळ दोन मापनांवरून काढता येते: तळाची त्रिज्या आणि शंकूची उंची.

पार्श्व पृष्ठफळ म्हणजे काय?

शंकूला दोन पृष्ठभाग असतात: सपाट वर्तुळाकार तळ आणि तळापासून शिरोबिंदूपर्यंत (टोकदार टोकापर्यंत) उताराने जाणारा वक्र पृष्ठभाग. पार्श्व पृष्ठफळात केवळ वक्र भागाचा समावेश होतो. शंकूची एका तिरक्या कडेने छेद घेऊन तो सपाट पसरवला, तर पार्श्व पृष्ठभाग वर्तुळाच्या त्रिज्यखंडाच्या रूपात उलगडतो. त्या त्रिज्यखंडाचे क्षेत्रफळ शंकूच्या पार्श्व पृष्ठफळाइतके असते.

हे एकूण पृष्ठफळापेक्षा वेगळे आहे; एकूण पृष्ठफळात तळाचा पुन्हा समावेश केला जातो.

शंकूच्या पार्श्व पृष्ठफळाचे सूत्र

लंब वर्तुळाकार शंकूचे पार्श्व पृष्ठफळ L असे आहे:

$L = \pi r s$

• r ही वर्तुळाकार तळाची त्रिज्या आहे
• s ही तिरपी उंची आहे; म्हणजे तळाच्या कडेपासून शिरोबिंदूपर्यंतचे सरळ रेषेतील अंतर
• L हे पार्श्व पृष्ठफळ असून ते चौरस एककांत व्यक्त केले जाते

तिरपी उंची काढणे

बहुतेकांना शंकूची त्रिज्या आणि लंब उंची (h) माहीत असते. लंब उंची म्हणजे तळापासून शिरोबिंदूपर्यंतचे सरळ उभे अंतर; तिरपी उंची माहीत असेलच असे नाही. त्रिज्या, उंची आणि तिरपी उंची मिळून काटकोन त्रिकोण तयार होतो, म्हणून पायथागोरसच्या प्रमेयाने तिरपी उंची काढता येते:

$s = \sqrt{r^2 + h^2}$

संयुक्त सूत्र

हे तिरपी उंचीचे मूल्य पार्श्व पृष्ठफळाच्या सूत्रात बसवल्यास, केवळ त्रिज्या आणि उंची वापरणारे पूर्ण सूत्र मिळते:

$L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$

शंकूचे पार्श्व पृष्ठफळ कसे काढावे

1. तळाची त्रिज्या (r) मोजा किंवा नोंदवा.
2. तळापासून शिरोबिंदूपर्यंतची लंब उंची (h) मोजा किंवा नोंदवा.
3. तिरपी उंची काढा: $s = \sqrt{r^2 + h^2}$.
4. गुणाकार करा: $L = \pi \times r \times s$.
5. निकाल वाचा. हे गणक पूर्ण अचूकतेने गणना करतो आणि उत्तर चार दशांश स्थानांपर्यंत गोलाकार करून दाखवतो.

या पृष्ठावरील गणक ही पायरी आपोआप पूर्ण करतो. त्रिज्या आणि उंची प्रविष्ट केल्यावर तो शंकूच्या आकृतीसह पार्श्व पृष्ठफळ दाखवतो.

इनपुटचे नियम

त्रिज्या आणि उंची ऋण नसाव्यात. ऋण मूल्य प्रविष्ट केल्यास निकालाऐवजी त्रुटी संदेश दिसतो. शून्य मूल्याला परवानगी आहे. उंची शून्य असल्यास शंकू स्वतःच्या तळावर सपाट होतो, त्यामुळे तिरपी उंची त्रिज्येइतकी होते आणि सूत्र त्या तळाच्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ, $\pi r^2$, देते. त्रिज्या शून्य असल्यास शंकू एका सरळ रेषेत आकुंचित होतो आणि पार्श्व पृष्ठफळ ० असते.

उदाहरणासह गणना

त्रिज्या ३ m आणि उंची ४ m असलेला शंकू घ्या.

1. तिरपी उंची: $s = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ m
2. पार्श्व पृष्ठफळ: $L = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \approx 47.1239$ m²

दुसरे उदाहरण: त्रिज्या २ m आणि उंची १० m.

1. तिरपी उंची: $s = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.1980$ m
2. पार्श्व पृष्ठफळ: $L = \pi \times 2 \times 10.1980 \approx 64.0762$ m²

समान त्रिज्या असलेल्या अधिक उंच शंकूची तिरपी उंची अधिक असते, त्यामुळे तळाचा आकार समान असूनही त्याचे पार्श्व पृष्ठफळ मोठे असते.

पार्श्व पृष्ठफळ आणि एकूण पृष्ठफळ यांतील फरक

पार्श्व पृष्ठफळात तळाचा समावेश नसतो. एकूण पृष्ठफळात तो पुन्हा समाविष्ट केला जातो:

$A_{total} = \pi r s + \pi r^2$

केवळ वक्र पृष्ठभाग महत्त्वाचा असेल, उदाहरणार्थ शंकूच्या बाजूभोवती गुंडाळण्यासाठी किंवा लेप देण्यासाठी लागणाऱ्या साहित्याचे प्रमाण काढताना, फक्त पार्श्व पृष्ठफळ वापरा. तळही उघडा असेल आणि त्यावर आवरण घालायचे, रंग द्यायचा किंवा त्याचा हिशोब करायचा असेल, तेव्हा एकूण पृष्ठफळ वापरा.

ही गणना कुठे वापरली जाते

• उत्पादन: शंकूच्या आकाराच्या भागांसाठी, नरसाळ्यांसाठी किंवा दिव्यांच्या छत्र्यांसाठी लागणाऱ्या पत्र्याचे, कापडाचे किंवा लेपाचे प्रमाण ठरवणे.
• बांधकाम: शंकूच्या आकाराच्या छपरांसाठी किंवा शिखरांसाठी लागणारे साहित्य ठरवणे.
• पॅकेजिंग आणि डिझाइन: शंकूच्या आकाराच्या पात्रांसाठी कागद किंवा पुठ्ठ्याचा आकार ठरवणे.
• अभियांत्रिकी: एरोस्पेस आणि औद्योगिक डिझाइनमधील नाकाचे शंकू, हॉपर आणि इतर शंक्वाकार घटक.

इतिहास

प्राचीन ग्रीक गणितज्ञांनी शंकूंचा आणि त्यांना छेदल्यावर तयार होणाऱ्या वक्रांचा अभ्यास केला; या वक्रांना शंक्वाकार छेद म्हणतात. पर्गाचा अपोलोनियस याने या विषयावर विस्तृत ग्रंथ लिहिला. त्याचा प्रभाव पुढील अनेक शतकांपर्यंत भूमितिज्ञांनी शंकूंचे वर्णन कसे केले यावर राहिला. शंकूच्या पृष्ठफळाची सूत्रे त्याने आणि युक्लिडसारख्या त्याच्यापूर्वीच्या गणितज्ञांनी शोधून काढलेल्या याच भूमितीय संबंधांमधून थेट प्राप्त होतात.

वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न

शंकूच्या पार्श्व पृष्ठफळात आणि एकूण पृष्ठफळात काय फरक आहे? पार्श्व पृष्ठफळात केवळ वक्र बाजूचा समावेश असतो. एकूण पृष्ठफळ म्हणजे वक्र बाजू आणि वर्तुळाकार तळ यांची बेरीज: $A_{total} = \pi r s + \pi r^2$.

तिरपी उंची न मोजता शंकूचे पार्श्व पृष्ठफळ कसे काढाल? $L = \pi r \sqrt{r^2 + h^2}$ वापरा. पायथागोरसच्या प्रमेयाचा वापर करून हे सूत्र त्रिज्या आणि उंचीवरून तिरपी उंची आपोआप काढते.

निकाल कोणत्या एककांत व्यक्त केला जातो? इनपुटशी जुळणाऱ्या चौरस एककांत. त्रिज्या आणि उंची मीटरमध्ये असल्यास पार्श्व पृष्ठफळ चौरस मीटरमध्ये असेल; ती इंचांत असल्यास निकाल चौरस इंचांत असेल.

त्रिज्या आणि उंची वेगवेगळ्या एककांत असू शकतात का? नाही. ती प्रविष्ट करण्यापूर्वी दोन्ही लांबीच्या एकाच एककात असणे आवश्यक आहे; अन्यथा निकाल चुकीचा येईल.

मी ऋण संख्या प्रविष्ट केल्यास काय होते? गणक ती नाकारतो आणि त्रुटी दाखवतो, कारण शंकूची त्रिज्या किंवा उंची ऋण असू शकत नाही.

छिन्नकासाठी (टोक कापलेला शंकू) पार्श्व पृष्ठफळाचे सूत्र काय आहे? वरची त्रिज्या $r_1$ आणि खालची त्रिज्या $r_2$ असलेल्या छिन्नकासाठी: $L = \pi (r_1 + r_2) \sqrt{h^2 + (r_1 - r_2)^2}$. हे पूर्ण शंकूसाठीच्या सूत्रापेक्षा वेगळे सूत्र आहे.

संदर्भ

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld — Wolfram चे वेब साधन. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. "Lateral Surface Area of a Cone." CK-12 Foundation. https://www.ck12.org/geometry/lateral-surface-area-of-a-cone/
3. "Apollonius of Perga." Encyclopedia Britannica. https://www.britannica.com/biography/Apollonius-of-Perga