Penyelesai Persamaan Kuadratik - Kira Punca ax² + bx + c = 0

Apakah persamaan kuadratik?

Persamaan kuadratik ialah persamaan dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$, dengan $a$, $b$ dan $c$ ialah nombor, serta $a$ bukan sifar. Penyelesai persamaan kuadratik pada halaman ini mencari nilai atau nilai-nilai $x$ yang menjadikan persamaan itu benar, menggunakan pekali $a$, $b$ dan $c$ yang dimasukkan oleh pengguna.

Jika $a$ ialah sifar, sebutan $x^2$ akan hilang dan persamaan itu menjadi linear, bukannya kuadratik. Oleh itu, kalkulator memerlukan $a \neq 0$ dan memaparkan ralat jika $a = 0$.

Rumus kuadratik

Setiap persamaan kuadratik dalam bentuk $ax^2 + bx + c = 0$ boleh diselesaikan menggunakan rumus kuadratik:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tanda $\pm$ mewakili dua pengiraan berasingan, iaitu satu dengan tanda tambah dan satu lagi dengan tanda tolak. Oleh sebab itu, persamaan kuadratik boleh mempunyai dua penyelesaian yang berbeza.

Ungkapan di bawah punca kuasa dua, $b^2 - 4ac$, dipanggil diskriminan. Biasanya, ungkapan ini ditulis sebagai $\Delta$ (huruf Yunani delta). Diskriminan sahaja menunjukkan bilangan penyelesaian nyata yang dimiliki persamaan itu, sebelum pengiraan selebihnya dilakukan.

Cara mengira punca

1. Tulis persamaan dalam bentuk piawai, $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Kenal pasti pekali $a$, $b$ dan $c$.
3. Kira diskriminan: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Jika $\Delta$ positif, kira kedua-dua punca menggunakan $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Jika $\Delta$ sifar, kira punca tunggal menggunakan $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Jika $\Delta$ negatif, persamaan itu tidak mempunyai punca nyata kerana nombor negatif tidak mempunyai punca kuasa dua nyata.

Kalkulator pada halaman ini melaksanakan langkah-langkah tersebut secara automatik. Kalkulator ini menerima pekali antara $-10^{10}$ hingga $10^{10}$ dan membundarkan hasil kepada bilangan tempat perpuluhan yang dipilih, daripada 0 hingga 10.

Maksud diskriminan

Kalkulator ini melaporkan "tiada punca nyata" apabila $\Delta$ negatif. Kalkulator ini tidak mengira punca kompleks (nombor yang melibatkan $i = \sqrt{-1}$).

Contoh pengiraan

Selesaikan $x^2 + 5x + 6 = 0$.

Di sini, $a = 1$, $b = 5$ dan $c = 6$.

Mula-mula, cari diskriminan:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Oleh sebab $\Delta$ positif, persamaan itu mempunyai dua punca nyata:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Hal ini boleh disemak dengan pemfaktoran: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, yang bernilai sifar apabila $x = -2$ atau $x = -3$.

Contoh kedua menunjukkan diskriminan negatif. Bagi $x^2 + x + 1 = 0$, $a = 1$, $b = 1$ dan $c = 1$, maka $\Delta = 1 - 4 = -3$. Oleh sebab $\Delta$ negatif, persamaan itu tidak mempunyai punca nyata.

Parabola, bucu dan paksi simetri

Graf $f(x) = ax^2 + bx + c$ ialah lengkung yang dipanggil parabola. Jika $a$ positif, parabola membuka ke atas dan mempunyai titik terendah. Jika $a$ negatif, parabola membuka ke bawah dan mempunyai titik tertinggi. Titik terendah atau tertinggi itu ialah bucu.

Bucu terletak pada:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Garis menegak melalui bucu, $x = -\dfrac{b}{2a}$, dipanggil paksi simetri kerana kedua-dua bahagian parabola saling mencerminkan merentasinya. Punca nyata persamaan itu ialah titik tempat parabola bersilang dengan paksi x, jadi punca-punca tersebut terletak pada kedua-dua belah paksi simetri pada jarak yang sama.

Kalkulator ini melukis parabola tersebut di sebelah hasil. Kalkulator menandakan bucu dan sebarang punca nyata pada lengkung itu serta meluaskan julat yang diplot apabila perlu supaya setiap punca kekal dalam paparan.

Penggunaan persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik menerangkan banyak situasi nyata. Dalam fizik, ketinggian objek yang dilontar mengikut masa mematuhi persamaan $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, dan penyelesaiannya untuk $t$ memberikan masa objek itu mendarat. Dalam kejuruteraan, bentuk parabola terdapat pada piring satelit dan kabel jambatan kerana cara bentuk tersebut memfokuskan atau mengagihkan daya. Dalam grafik komputer, program penjejakan sinar menyelesaikan persamaan kuadratik untuk mencari tempat sesuatu garis bersilang dengan sfera.

Sejarah ringkas

Ahli matematik Babylon telah menyelesaikan masalah kuadratik tertentu sekitar 2000 SM dengan menggunakan kaedah geometri, bukannya algebra. Ahli matematik Yunani seperti Euclid juga mengendalikan kuadratik secara geometri. Sekitar 600 M, ahli matematik India Brahmagupta memberikan rumus eksplisit untuk punca, termasuk penyelesaian negatif. Sekitar 800 M, ahli matematik Parsi al-Khwarizmi menerangkan kaedah sistematik untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dalam sebuah buku yang judulnya melahirkan perkataan "algebra". Bentuk simbolik moden rumus kuadratik menjadi piawai kemudian, apabila tatatanda algebra berkembang semasa zaman Renaissance.

Soalan lazim

Apakah yang berlaku jika saya memasukkan 0 bagi pekali a? Kalkulator memaparkan ralat kerana $a = 0$ menukarkan persamaan itu menjadi persamaan linear, $bx + c = 0$, yang diselesaikan dengan cara yang berbeza.

Mengapakah persamaan kadangkala tidak mempunyai punca nyata? Hal ini berlaku apabila diskriminan, $b^2 - 4ac$, negatif. Nombor negatif tidak mempunyai punca kuasa dua nyata, jadi rumus itu tidak dapat menghasilkan nilai nyata bagi $x$. Persamaan itu masih mempunyai dua punca kompleks, tetapi kalkulator ini tidak mengiranya.

Apakah perbezaan antara punca dengan penyelesaian? Tiada perbezaan. Kedua-dua perkataan merujuk kepada nilai $x$ yang menjadikan persamaan sama dengan sifar. "Punca" merujuk kepada tempat graf bertemu dengan paksi x; "penyelesaian" merujuk kepada algebra.

Berapa banyak tempat perpuluhan yang boleh saya pilih? Antara 0 hingga 10. Dua atau tiga tempat perpuluhan biasanya mencukupi untuk masalah harian.

Bolehkah saya memasukkan pekali yang sangat besar? Pekali mestilah antara $-10^{10}$ hingga $10^{10}$. Nilai di luar julat itu boleh menyebabkan ralat pembundaran dan akan ditolak.

Bolehkah kalkulator ini mencari punca kompleks? Tidak. Apabila diskriminan negatif, kalkulator ini melaporkan "tiada punca nyata" dan bukannya mengira nombor kompleks.

Rujukan

1. Persamaan Kuadratik – MathWorld
2. Perpustakaan Digital Fungsi Matematik NIST, §1.11, Algebra: Persamaan Kuadratik