Penyelesai Persamaan Young-Laplace | Tekanan Antara Muka

Apakah persamaan Young-Laplace?

Persamaan Young-Laplace ialah formula dalam mekanik bendalir yang memberikan perbezaan tekanan pada antara muka melengkung antara dua bendalir, seperti permukaan titisan air atau gelembung sabun. Persamaan ini menunjukkan bahawa perbezaan tekanan bergantung pada tegangan permukaan bendalir dan tahap kelengkungan antara muka. Persamaan ini menerangkan sebab tekanan terkumpul di dalam titisan dan gelembung, serta sebab titisan dan gelembung yang lebih kecil mempunyai tekanan dalaman yang lebih tinggi berbanding yang lebih besar.

Persamaan ini dinamakan sempena Thomas Young dan Pierre-Simon Laplace, yang masing-masing menghuraikan hubungan tersebut pada awal 1800-an.

Formula persamaan Young-Laplace

Bentuk umum persamaan ini ialah:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ ialah perbezaan tekanan merentasi antara muka, dalam pascal (Pa)
• $\gamma$ (gamma) ialah tegangan permukaan bendalir, dalam newton per meter (N/m)
• $R_1$ dan $R_2$ ialah dua jejari utama kelengkungan permukaan, dalam meter (m)

Permukaan melengkung secara berbeza mengikut arah yang berbeza. $R_1$ dan $R_2$ menghuraikan kelengkungan sepanjang dua arah yang bersudut tepat antara satu sama lain. Bagi sfera, seperti titisan atau gelembung, $R_1$ sama dengan $R_2$, maka formula dipermudahkan menjadi:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Konvensyen tanda

Tekanan sentiasa lebih tinggi pada sisi cekung antara muka melengkung, iaitu sisi yang permukaannya mengembung menjauhinya. Bagi titisan atau gelembung, ini bermakna tekanan di dalam lebih tinggi daripada tekanan di luar. Jejari dikira positif apabila pusat kelengkungannya terletak pada sisi yang bertekanan lebih tinggi itu. Jika permukaan melengkung ke arah bertentangan dalam satu arah, jejari itu dikira negatif. Antara muka berbentuk pelana, seperti leher cecair antara dua butir yang bersentuhan, mempunyai satu jejari positif dan satu jejari negatif, dan kedua-dua sebutan tersebut saling menghapuskan sebahagiannya.

Kalkulator ini hanya menggunakan jejari positif.

Kes khas

• Permukaan rata: apabila jejari bertambah menuju infiniti, sebutannya dalam formula mengecil menuju sifar. Antara muka yang benar-benar rata langsung tiada perbezaan tekanan.
• Silinder: permukaan silinder panjang, seperti jet cecair yang keluar dari muncung, melengkung dalam satu arah sahaja. Satu jejari ialah jejari silinder dan satu lagi ialah infiniti sepanjang panjangnya, maka formula menjadi $\Delta P = \gamma / R$. Perbezaan tekanan itu ialah separuh daripada perbezaan tekanan sfera dengan jejari yang sama.
• Skala sangat kecil: di bawah kira-kira 10 hingga 20 nanometer, kesan tambahan seperti tegangan garis menjadi ketara dan persamaan biasa ini kehilangan ketepatan.

Cara mengira perbezaan tekanan dengan persamaan Young-Laplace

1. Cari tegangan permukaan bendalir, dalam N/m, pada suhu yang berkaitan. Tegangan permukaan berkurang apabila suhu meningkat.
2. Ukur atau anggarkan jejari utama kelengkungan pertama, $R_1$, dalam meter.
3. Ukur atau anggarkan jejari utama kelengkungan kedua, $R_2$, dalam meter. Bagi sfera, gunakan nilai yang sama seperti $R_1$. Bagi silinder, gunakan nombor yang sangat besar sebagai pengganti infiniti.
4. Darabkan tegangan permukaan dengan jumlah $1/R_1$ dan $1/R_2$. Hasilnya ialah perbezaan tekanan dalam pascal.

Kekalkan setiap nilai dalam unit SI. Mencampurkan milimeter dengan meter, misalnya, menyebabkan jawapan tersasar dengan faktor seribu.

Contoh pengiraan

Ambil satu titisan air berbentuk sfera dengan jejari 1 milimeter (0.001 m) dan tegangan permukaan 0.072 N/m, iaitu nilai biasa bagi air berhampiran suhu bilik.

Oleh sebab titisan itu berbentuk sfera, $R_1 = R_2 = R$, maka:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Tekanan di dalam titisan ialah 144 Pa lebih tinggi daripada tekanan udara sekeliling. Nilai itu kecil berbanding tekanan atmosfera biasa, kira-kira 101,325 Pa, tetapi kesannya meningkat dengan cepat apabila titisan mengecil. Titisan yang saiznya sepersepuluh, dengan jejari 0.1 mm, mempunyai perbezaan tekanan sepuluh kali ganda: 1,440 Pa. Titisan dengan jejari 0.01 mm mencapai 14,400 Pa, melebihi 14% tekanan atmosfera.

Penggunaan persamaan ini

• Titisan dan gelembung: tekanan yang lebih tinggi di dalam titisan kecil mendorong pematangan Ostwald, iaitu proses apabila titisan kecil dalam emulsi mengecut sementara titisan yang lebih besar membesar, kerana kandungannya meresap dari tekanan tinggi ke tekanan rendah.
• Kesan kapilari: permukaan melengkung di dalam tiub sempit menarik cecair ke atas. Inilah sebabnya air naik pada tuala kertas dan tiub kaca sempit.
• Pernafasan: kantung udara kecil dalam paru-paru, yang dipanggil alveolus, berkelakuan seperti gelembung kecil. Salutan yang dipanggil surfaktan pulmonari mengurangkan tegangan permukaan supaya alveolus kecil tidak mengempis akibat tekanan yang diramalkan oleh persamaan ini. Bayi pramatang yang kekurangan surfaktan yang mencukupi boleh mengalami masalah pernafasan atas sebab ini.
• Percetakan pancut dakwat: muncung pencetak membentuk titisan yang lebarnya puluhan mikrometer, dan tekanan akibat kelengkungan cukup besar untuk mempengaruhi cara dakwat keluar dari muncung.
• Sains bahan: instrumen yang mengukur cara cecair membasahi permukaan dan cara salutan nipis berkelakuan menggunakan persamaan ini untuk menghubungkan bentuk titisan dengan tenaga permukaannya.

Sejarah

Orang telah memerhatikan cecair naik dalam tiub sempit jauh sebelum sebabnya dijelaskan. Pada awal 1700-an, Francis Hauksbee menunjukkan melalui eksperimen bahawa tiub yang lebih sempit menyebabkan kenaikan kapilari yang lebih besar, dan pada 1718 James Jurin menghuraikan bahawa kenaikan itu berkadar songsang dengan diameter tiub.

Thomas Young menjelaskan fizik asasnya dalam makalah 1805, dengan memperkenalkan tegangan permukaan sebagai sifat bendalir dan mengaitkannya dengan tekanan merentasi permukaan melengkung, walaupun huraian beliau kebanyakannya bersifat deskriptif. Pada 1806, Pierre-Simon Laplace mengembangkan bentuk matematiknya menggunakan kalkulus dan secara berasingan menghasilkan hubungan yang sama. Hasil kerja gabungan mereka menjadi persamaan Young-Laplace. Kemudian, ahli sains termasuk Carl Friedrich Gauss dan Joseph Plateau menguji serta memperluas teori ini sepanjang 1800-an.

Soalan lazim

Apakah yang dikira oleh persamaan Young-Laplace? Persamaan ini mengira perbezaan tekanan merentasi antara muka melengkung antara dua bendalir, berdasarkan tegangan permukaan bendalir dan kelengkungan antara muka.

Mengapakah tekanan lebih tinggi di dalam titisan yang lebih kecil? Tegangan permukaan menarik sepanjang pinggir titisan, dan daya tarikan itu meningkat seiring dengan jejari. Luas yang perlu ditolak oleh tekanan meningkat mengikut kuasa dua jejari. Mengimbangkan kedua-duanya menghasilkan $\Delta P = 2\gamma/R$, maka perbezaan tekanan berkadar songsang dengan jejari: jika jejari dibahagi dua, perbezaan tekanan menjadi dua kali ganda.

Bagaimanakah suhu mempengaruhi persamaan ini? Suhu mengubah nilai tegangan permukaan, dan tegangan permukaan berkurang apabila suhu meningkat. Bagi air, tegangan permukaan berkurang daripada kira-kira 0.073 N/m pada 20 °C kepada kira-kira 0.063 N/m pada 80 °C, iaitu pengurangan kira-kira 0.17 mN/m bagi setiap darjah Celsius. Tegangan permukaan pada suhu bilik lebih tinggi daripada tegangan permukaan air panas, maka penggunaan nilai suhu bilik untuk sistem panas akan melebihkan anggaran perbezaan tekanan.

Adakah persamaan ini berfungsi untuk bentuk selain sfera? Ya. Bentuk umum, dengan dua jejari berasingan $R_1$ dan $R_2$, meliputi mana-mana permukaan melengkung, termasuk elipsoid dan antara muka berbentuk pelana. Hanya versi dipermudahkan $2\gamma/R$ yang terhad kepada sfera.

Apakah perbezaan antara persamaan Young-Laplace dengan persamaan Young? Persamaan Young-Laplace memberikan perbezaan tekanan yang disebabkan oleh antara muka melengkung. Persamaan Young, iaitu hubungan berasingan yang juga diperkenalkan oleh Thomas Young, memberikan sudut sentuhan titisan dengan permukaan pepejal berdasarkan tenaga permukaan ketiga-tiga bahan yang terlibat. Kedua-duanya menerangkan perkara yang berbeza dan kadangkala digunakan bersama untuk menganalisis titisan yang berada di atas permukaan.

Seberapa kecil titisan sebelum persamaan ini tidak lagi berfungsi? Persamaan ini kekal tepat sehingga kira-kira 1 mikrometer. Di bawah kira-kira 10 hingga 20 nanometer, daya tambahan yang diabaikan oleh persamaan ini, termasuk tegangan garis dan daya pada skala molekul antara permukaan, menjadi cukup besar untuk mempengaruhi hasil, lalu model yang lebih terperinci diperlukan.

Rujukan

1. Young, T. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids." Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Tambahan kepada Buku 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F., & Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W., & Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (edisi ke-6). Wiley-Interscience.