Kritisk Verdi Kalkulator | Z-test, t-test, Chi-Square

En kritisk verdi er grensepunktet i en sannsynlighetsfordeling som markerer kanten av «forkastningsområdet» i en hypotesetest. Hvis en testobservator ligger utenfor den kritiske verdien, vurderes resultatet som statistisk signifikant, og nullhypotesen forkastes. Denne kalkulatoren finner kritiske verdier for de tre vanligste testene: Z-testen, t-testen og kjikvadrattesten.

Hva er en kritisk verdi?

I statistikk starter forskere ofte med en nullhypotese, en enkel antakelse om at det ikke skjer noe uvanlig (for eksempel at et nytt legemiddel ikke har noen effekt). En testobservator beregnes ut fra utvalgsdata, og den sammenlignes med en kritisk verdi for å avgjøre om dataene gir tilstrekkelig belegg mot nullhypotesen.

Den kritiske verdien avhenger av tre ting: valg av test, signifikansnivået (skrevet som α, den greske bokstaven alfa), og om testen er ensidig eller tosidig. Signifikansnivået er sannsynligheten for å forkaste en sann nullhypotese ved en feil, og settes ofte til 0,05 (5 %) eller 0,01 (1 %).

En ensidig test undersøker en effekt i én bestemt retning, for eksempel «større enn». Den har én kritisk verdi. En tosidig test undersøker en effekt i begge retninger og har to kritiske verdier, én på hver side av fordelingen.

Slik beregnes en kritisk verdi

1. Velg test: Z-test (store utvalg eller kjent varians i populasjonen), t-test (små utvalg med ukjent varians) eller kjikvadrattest (kategoriske data eller tilpasningstest).
2. Velg testtype: ensidig eller tosidig.
3. Velg signifikansnivået α, et tall mellom 0 og 1. Vanlige valg er 0,10, 0,05 og 0,01.
4. For en t-test eller kjikvadrattest angir du frihetsgradene (df). For en t-test er df lik utvalgsstørrelsen minus 1. For en kjikvadrattest for tilpasning er df lik antallet kategorier minus 1.
5. Slå opp (eller beregn) verdien som avgrenser det valgte haleområdet under fordelingskurven. Dette er den kritiske verdien.

Formler for kritiske verdier

Hver formel bruker den inverse kumulative fordelingsfunksjonen: verdien av x der arealet under kurven frem til x er lik en målssannsynlighet p.

Formel for Z-test

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(ensidig)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(tosidig)}$

Φ⁻¹ er den inverse kumulative fordelingsfunksjonen for standardnormalfordelingen.

Formel for t-test

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(ensidig)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(tosidig)}$

t⁻¹(p, df) er den inverse kumulative fordelingsfunksjonen for t-fordelingen med df frihetsgrader.

Formel for kjikvadrattest

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(ensidig)}$ $\chi^2_{\text{nedre}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{øvre}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(tosidig)}$

Kjikvadratfordelingen tar bare positive verdier, så begge kritiske verdier er positive, og den nedre er mindre enn den øvre.

Eksempel: kritisk verdi for Z-test

Et kvalitetskontrollteam ønsker en kritisk verdi for en ensidig Z-test ved α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Enhver testobservator over 1,6449 ligger i forkastningsområdet.

Eksempel: kritisk verdi for t-test

En forsker gjennomfører et eksperiment med 20 deltakere, så df = 19. De ønsker en tosidig kritisk verdi ved α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Forkastningsområdene er t < -2,8609 og t > 2,8609.

Eksempel: kritiske verdier for kjikvadrattest

En analytiker sammenligner observerte og forventede antall på tvers av 5 kategorier, så df = 4. De ønsker tosidige kritiske verdier ved α = 0,05.

$\chi^2_{\text{nedre}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{øvre}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

En kjikvadratobservator under 0,4844 eller over 11,1433 vil ligge i forkastningsområdet.

Vanlige kritiske verdier

Når antallet frihetsgrader øker, nærmer de kritiske verdiene for t-fordelingen seg de tilsvarende verdiene for Z-testen, fordi t-fordelingen nærmer seg normalfordelingen.

Ofte stilte spørsmål

Hva brukes en kritisk verdi til? Den setter grensen for å avgjøre om en testobservator er ekstrem nok til at nullhypotesen skal forkastes. Hvis observatoren krysser den kritiske verdien, er resultatet statistisk signifikant på det valgte α-nivået.

Hva er forskjellen mellom en ensidig og en tosidig kritisk verdi? En ensidig test ser etter en effekt i én retning og har én kritisk verdi. En tosidig test ser etter en effekt i begge retninger og har to kritiske verdier, plassert symmetrisk rundt sentrum for Z-testen og t-testen. For samme α er en tosidig kritisk verdi større i absoluttverdi enn en ensidig, fordi den samme totale sannsynligheten fordeles på to haler i stedet for én.

Når bør en Z-test brukes i stedet for en t-test? En Z-test brukes når variansen i populasjonen er kjent, eller når utvalget er stort, vanligvis 30 eller flere observasjoner. En t-test brukes for mindre utvalg med ukjent varians i populasjonen. Når utvalgsstørrelsen øker, konvergerer de kritiske verdiene for t-testen mot de kritiske verdiene for Z-testen.

Kan en kritisk verdi være negativ? Ja. Fordelingene for Z-testen og t-testen er symmetriske rundt null, så en tosidig test har én negativ og én positiv kritisk verdi. Kritiske verdier for kjikvadrattesten er alltid positive, fordi kjikvadratfordelingen bare er definert for verdier lik null eller større.

Hvordan påvirker frihetsgrader en kritisk verdi? Frihetsgrader måler hvor mye uavhengig informasjon det finnes i dataene, vanligvis utvalgsstørrelsen minus antallet parametere som allerede er estimert. Færre frihetsgrader gir bredere fordelinger med tyngre haler og større kritiske verdier. Flere frihetsgrader gjør at t-fordelingen og kjikvadratfordelingen nærmer seg normalfordelingen.

Hvilken kritisk verdi tilsvarer et konfidensnivå på 95 %? Et konfidensnivå på 95 % bruker α = 0,05. For en tosidig Z-test er de kritiske verdiene ±1,9600. For en ensidig Z-test er den kritiske verdien 1,6449.

Historikk

Karl Pearson introduserte kjikvadrattesten i 1900. William Sealy Gosset, som publiserte under navnet «Student», utviklet t-fordelingen i 1908 for å håndtere små utvalg ved Guinness-bryggeriet. Ronald Fisher formaliserte signifikanstesting og kritiske verdier i 1920-årene i boken Statistical Methods for Research Workers. Før datamaskinene slo gjennom, slo forskere opp kritiske verdier i trykte tabeller; kalkulatorer og programvare beregner dem nå direkte fra fordelingsformlene.

Referanser

1. Pearson, K. (1900). «On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.» Philosophical Magazine, serie 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). «The probable error of a mean.» Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, «Critical Values».