Z-Score Kalkulator - Standard Score & Sannsynlighetsverktøy

Hva er en z-skår?

En z-skår, også kalt standardskår, måler hvor mange standardavvik et datapunkt ligger fra gjennomsnittet i et datasett. En z-skår på 0 betyr at verdien er lik gjennomsnittet. En positiv z-skår betyr at verdien ligger over gjennomsnittet, mens en negativ z-skår betyr at den ligger under gjennomsnittet.

Formel for z-skår

Z-skåren til et datapunkt beregnes med denne formelen:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Der:

• $z$ er z-skåren
• $x$ er datapunktet
• $\mu$ er gjennomsnittet i datasettet
• $\sigma$ er standardavviket i datasettet

Standardavviket kan ikke være null, fordi divisjon med null ikke har noe definert resultat. Det kan heller ikke være negativt, siden et standardavvik per definisjon alltid er null eller positivt.

Slik beregner du en z-skår

1. Finn gjennomsnittet i datasettet ved å legge sammen alle verdiene og dele på antallet verdier, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Finn standardavviket. Beregn først variansen, gjennomsnittet av de kvadrerte avvikene fra gjennomsnittet, og ta deretter kvadratroten av den.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Dette er populasjonsstandardavviket, som deler på $n$. Når tallene er et utvalg fra en større gruppe, deler man i stedet på $n - 1$.

3. Trekk gjennomsnittet fra datapunktet og del på standardavviket.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Regneeksempel

En student får 85 poeng på en prøve. Klassens gjennomsnitt er 75, og standardavviket for klassens resultater er 10.

• Datapunkt: $x = 85$
• Gjennomsnitt: $\mu = 75$
• Standardavvik: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Studentens z-skår er 1,0. Resultatet ligger ett standardavvik over klassens gjennomsnitt.

Z-skår og kumulativ sannsynlighet

En z-skår kan omregnes til en kumulativ sannsynlighet, altså sannsynligheten for at en tilfeldig valgt verdi fra en normalfordeling faller på eller under dette punktet. Dette er arealet under den standardiserte normalkurven til venstre for $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

For studentens z-skår på 1,0 er den kumulative sannsynligheten omtrent 0,8413, eller 84,13 %. Det betyr at studenten fikk et bedre resultat enn omtrent 84 % av klassen, forutsatt at resultatene følger en normalfordeling. Kalkulatoren viser z-skåren med fire desimaler og den kumulative sannsynligheten som en prosent med to desimaler.

Noen referansepunkter:

Tolkning av en z-skår

De fleste verdiene i en normalfordeling ligger innenfor 2 standardavvik fra gjennomsnittet. Z-skårer over +3 eller under -3 er sjeldne og behandles ofte som uteliggere, altså verdier som skiller seg markant fra resten av dataene.

Z-skårer gjør det også mulig å sammenligne verdier målt på ulike skalaer. En prøveskår og et høydemål kan ikke sammenlignes direkte, men z-skårene deres kan sammenlignes fordi begge beskriver avstanden fra et gjennomsnitt i de samme standardavviksenehetene.

Z-skår kontra t-skår

En z-skår forutsetter at populasjonens standardavvik er kjent, og fungerer best med store utvalg. En t-skår brukes i stedet når populasjonens standardavvik er ukjent og utvalget er lite, vanligvis under 30 observasjoner. Begge beskriver avstanden fra et gjennomsnitt, men en t-skår bygger på t-fordelingen, som har tyngre haler for å ta høyde for den ekstra usikkerheten i et lite utvalg.

Vanlige bruksområder for z-skårer

• Standardiserte prøver. Sammenligne en students råskår med den samlede fordelingen av skårer.
• Påvisning av uteliggere. Markere datapunkter som ligger langt fra gjennomsnittet i et datasett.
• Kvalitetskontroll. Kontrollere om en produsert gjenstand ligger innenfor et akseptabelt område.
• Hypotesetesting. Z-tester bruker z-skårer til å vurdere om et utvalgsgjennomsnitt avviker på en meningsfull måte fra et kjent populasjonsgjennomsnitt.

Historikk

Z-skåren bygger på normalfordelingen, som ble beskrevet av Abraham de Moivre i 1733 og videreutviklet av Carl Friedrich Gauss og Pierre-Simon Laplace tidlig i det 19. århundre. Standardisering av verdier til enheter av standardavvik ble vanlig praksis innen psykologisk testing og kvalitetskontroll i løpet av det 20. århundre.

Ofte stilte spørsmål

Hva er en z-skår i statistikk? En z-skår er antallet standardavvik et datapunkt ligger fra gjennomsnittet i datasettet. Den beregnes med formelen z = (x − μ) / σ.

Hvordan tolker jeg resultatet av en z-skår? En z-skår på 0 betyr at verdien er lik gjennomsnittet. En positiv verdi ligger over gjennomsnittet, og en negativ verdi ligger under det. Verdier over +3 eller under -3 er uvanlige.

Kan en z-skår være negativ? Ja. En negativ z-skår betyr ganske enkelt at datapunktet ligger under gjennomsnittet. En z-skår på -2 betyr at verdien ligger 2 standardavvik under gjennomsnittet.

Hva er forskjellen mellom en z-skår og en t-skår? En z-skår brukes med store utvalg når populasjonens standardavvik er kjent. En t-skår brukes med små utvalg, vanligvis under 30, når standardavviket ikke er kjent.

Hva betyr kumulativ sannsynlighet for en z-skår? Det er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt verdi fra en normalfordeling er mindre enn eller lik den angitte z-skåren. Den tilsvarer arealet under normalkurven til venstre for dette punktet.

Hva skjer hvis standardavviket er null? Z-skåren er udefinert fordi formelen ville kreve divisjon med null. Et standardavvik på null betyr at alle verdiene i datasettet er identiske.

Referanser

1. Standardskår, Wikipedia: https://no.wikipedia.org/wiki/Standardpoeng
2. Normalfordeling og z-skårer, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review