Kalkulator Równań Kwadratowych - Oblicz Pierwiastki Równania ax² + bx + c = 0

Czym jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe to równanie w postaci $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a$, $b$ i $c$ są liczbami, a $a$ nie jest równe zeru. Solver równań kwadratowych na tej stronie wyznacza wartość lub wartości $x$, dla których równanie jest prawdziwe, korzystając ze współczynników $a$, $b$ i $c$ wprowadzonych przez użytkownika.

Gdyby $a$ było równe zeru, składnik $x^2$ zniknąłby, a równanie stałoby się liniowe zamiast kwadratowego. Z tego powodu kalkulator wymaga, aby $a \neq 0$, i wyświetla błąd, jeśli $a = 0$.

Wzór kwadratowy

Każde równanie kwadratowe w postaci $ax^2 + bx + c = 0$ można rozwiązać za pomocą wzoru kwadratowego:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Znak $\pm$ oznacza dwa oddzielne obliczenia: jedno z plusem i jedno z minusem. Dlatego równanie kwadratowe może mieć dwa różne rozwiązania.

Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym, $b^2 - 4ac$, nazywa się wyróżnikiem. Zwykle zapisuje się je jako $\Delta$, czyli grecką literę delta. Sam wyróżnik informuje, ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie, jeszcze przed wykonaniem pozostałych obliczeń.

Jak obliczać pierwiastki

1. Zapisz równanie w postaci standardowej: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Zidentyfikuj współczynniki $a$, $b$ i $c$.
3. Oblicz wyróżnik: $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Jeśli $\Delta$ jest dodatni, oblicz oba pierwiastki za pomocą $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Jeśli $\Delta$ jest równy zeru, oblicz jedyny pierwiastek za pomocą $x = \dfrac{-b}{2a}$.
6. Jeśli $\Delta$ jest ujemny, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, ponieważ liczba ujemna nie ma rzeczywistego pierwiastka kwadratowego.

Kalkulator na tej stronie wykonuje te kroki automatycznie. Przyjmuje współczynniki od $-10^{10}$ do $10^{10}$ i zaokrągla wyniki do wybranej liczby miejsc po przecinku, od 0 do 10.

Znaczenie wyróżnika

Ten kalkulator wyświetla komunikat „brak pierwiastków rzeczywistych”, gdy $\Delta$ jest ujemny. Nie oblicza pierwiastków zespolonych, czyli liczb zawierających $i = \sqrt{-1}$.

Przykład rozwiązany

Rozwiąż $x^2 + 5x + 6 = 0$.

W tym przypadku $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$.

Najpierw wyznacz wyróżnik:

$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$

Ponieważ $\Delta$ jest dodatni, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{-5 \pm 1}{2}$

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2 \qquad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3$

Można to sprawdzić przez rozkład na czynniki: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$, a wyrażenie jest równe zeru, gdy $x = -2$ lub $x = -3$.

Drugi przykład pokazuje ujemny wyróżnik. Dla $x^2 + x + 1 = 0$ mamy $a = 1$, $b = 1$ i $c = 1$, więc $\Delta = 1 - 4 = -3$. Ponieważ $\Delta$ jest ujemny, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Parabola, wierzchołek i oś symetrii

Wykresem funkcji $f(x) = ax^2 + bx + c$ jest krzywa nazywana parabolą. Jeśli $a$ jest dodatni, parabola jest skierowana ramionami do góry i ma najniższy punkt. Jeśli $a$ jest ujemny, jest skierowana ramionami w dół i ma najwyższy punkt. Ten najniższy lub najwyższy punkt to wierzchołek.

Wierzchołek znajduje się w punkcie:

$x = -\frac{b}{2a}, \qquad y = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek, $x = -\dfrac{b}{2a}$, nazywa się osią symetrii, ponieważ obie części paraboli są względem niej swoimi lustrzanymi odbiciami. Pierwiastki rzeczywiste równania to punkty, w których parabola przecina oś x, więc leżą po obu stronach osi symetrii, w tej samej odległości od niej.

Kalkulator rysuje tę parabolę obok wyniku. Zaznacza na krzywej wierzchołek i wszystkie pierwiastki rzeczywiste, a w razie potrzeby poszerza zakres wykresu, tak aby każdy pierwiastek pozostał widoczny.

Zastosowania równań kwadratowych

Równania kwadratowe opisują wiele sytuacji z życia codziennego. W fizyce wysokość wyrzuconego przedmiotu w czasie jest opisana równaniem $h(t) = -\tfrac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0$, a rozwiązanie go względem $t$ daje czas, po którym przedmiot spada na ziemię. W inżynierii kształty paraboliczne znajdują zastosowanie w czaszach anten satelitarnych i linach mostów ze względu na sposób, w jaki skupiają lub rozkładają siłę. W grafice komputerowej programy do śledzenia promieni rozwiązują równania kwadratowe, aby znaleźć punkt, w którym prosta przecina sferę.

Krótka historia

Matematycy babilońscy rozwiązywali konkretne problemy kwadratowe około 2000 roku p.n.e., stosując metody geometryczne zamiast algebry. Matematycy greccy, tacy jak Euklides, również rozpatrywali równania kwadratowe geometrycznie. Około 600 roku n.e. indyjski matematyk Brahmagupta podał jawny wzór na pierwiastki, w tym rozwiązania ujemne. Około 800 roku n.e. perski matematyk Al-Chuwarizmi opisał systematyczne metody rozwiązywania równań kwadratowych w dziele, którego tytuł dał początek słowu „algebra”. Współczesna symboliczna postać wzoru kwadratowego stała się później standardem, wraz z rozwojem notacji algebraicznej w okresie renesansu.

Często zadawane pytania

Co się stanie, jeśli jako współczynnik a wprowadzę 0? Kalkulator wyświetli błąd, ponieważ $a = 0$ zmienia równanie w równanie liniowe, $bx + c = 0$, które rozwiązuje się inaczej.

Dlaczego równanie czasami nie ma pierwiastków rzeczywistych? Dzieje się tak, gdy wyróżnik, $b^2 - 4ac$, jest ujemny. Liczba ujemna nie ma rzeczywistego pierwiastka kwadratowego, więc wzór nie może dać rzeczywistej wartości $x$. Równanie nadal ma dwa pierwiastki zespolone, ale ten kalkulator ich nie oblicza.

Jaka jest różnica między pierwiastkiem a rozwiązaniem? Żadna. Oba słowa oznaczają wartość $x$, dla której równanie jest równe zeru. „Pierwiastek” odnosi się do miejsca, w którym wykres przecina oś x, a „rozwiązanie” do ujęcia algebraicznego.

Ile miejsc po przecinku mogę wybrać? Od 0 do 10. W codziennych obliczeniach zwykle wystarczą dwa lub trzy miejsca po przecinku.

Czy mogę wprowadzać bardzo duże współczynniki? Współczynniki muszą mieścić się w przedziale od $-10^{10}$ do $10^{10}$. Wartości spoza tego zakresu mogą powodować błędy zaokrągleń i są odrzucane.

Czy ten kalkulator może wyznaczać pierwiastki zespolone? Nie. Gdy wyróżnik jest ujemny, kalkulator wyświetla komunikat „brak pierwiastków rzeczywistych” zamiast obliczać liczby zespolone.

Piśmiennictwo

1. Równanie kwadratowe – MathWorld
2. Cyfrowa biblioteka funkcji matematycznych NIST, §1.11, Algebra: równanie kwadratowe