Kreślnik Funkcji Trygonometrycznych - Wizualizacja Sin, Cos, Tan

Czym jest wykres funkcji trygonometrycznej?

Wykres funkcji trygonometrycznej to narzędzie, które rysuje krzywą funkcji sinus, cosinus lub tangens i pozwala zmieniać jej kształt przez dostosowanie kilku liczb zwanych parametrami. Przesunięcie suwaka natychmiast przerysowuje wykres, dzięki czemu łatwiej zobaczyć, jak zmieniają się amplituda, częstotliwość i przesunięcie fazowe fali.

Trzy podstawowe funkcje trygonometryczne

Sinus, cosinus i tangens wynikają ze stosunków długości boków trójkąta prostokątnego. Na okręgu o promieniu 1, którego środek znajduje się w początku układu współrzędnych (okręgu jednostkowym), sin(x) jest wysokością punktu o kącie x, a cos(x) jest poziomą współrzędną tego punktu. Tangens jest stosunkiem sin(x) / cos(x).

Sinus jest funkcją nieparzystą: sin(−x) = −sin(x). Cosinus jest funkcją parzystą: cos(−x) = cos(x). Cosinus to po prostu sinus przesunięty w lewo o π/2 radiana (90 stopni).

Tangens ma asymptoty pionowe: proste, do których krzywa zbliża się coraz bardziej, ale których nigdy nie dotyka. Znajdują się one dla x = π/2 + nπ, gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Ponieważ tan(x) = sin(x) / cos(x), a cos(x) przyjmuje w tych punktach wartość 0, stosunek ten jest tam nieokreślony.

Wzór funkcji trygonometrycznej

Wykres przedstawia funkcje w następującej postaci:

f(x) = A sin(Bx + C)

Tę samą postać stosuje się dla cosinusa i tangensa, zastępując sin przez cos lub tan. Każda litera oznacza parametr, który można dostosować:

• A (amplituda) określa wysokość fali mierzoną od jej linii środkowej do szczytu. Wykres pozwala ustawić wartości od 0,1 do 5 dla sinusa i cosinusa oraz od 0,1 do 2 dla tangensa.
• B (częstotliwość) określa, ile pełnych cykli mieści się na danym odcinku osi x. Większa wartość B ściska falę. Wykres pozwala ustawić wartości od 0,1 do 5.
• C (przesunięcie fazowe) przesuwa całą krzywą w lewo lub w prawo bez zmiany jej kształtu. Wykres pozwala ustawić wartości od −π do π, czyli w przybliżeniu od −3,14 do 3,14.

Dodatnie przesunięcie fazowe przesuwa wykres w lewo, a ujemne — w prawo.

Jak korzystać z wykresu funkcji trygonometrycznej

1. Wybierz funkcję — sinus, cosinus lub tangens — z listy wyboru.
2. Przesuń suwak amplitudy, aby zmienić wysokość fali.
3. Przesuń suwak częstotliwości, aby ścisnąć lub rozciągnąć falę.
4. Przesuń suwak przesunięcia fazowego, aby przesunąć krzywą w poziomie.
5. Odczytaj wzór wyświetlany pod suwakami i naciśnij „Copy”, aby skopiować go jako tekst.

Wykres aktualizuje się natychmiast po przesunięciu suwaka. W przypadku tangensa w każdym miejscu asymptoty na linii pojawiają się niewielkie przerwy. Jest to oczekiwane działanie, a nie błąd.

Testowanie skrajnych wartości suwaków

Aby sprawdzić, jak wysoka może być fala, ustaw amplitudę na najwyższą wartość dozwoloną przez narzędzie: 5 dla sinusa lub cosinusa oraz 2 dla tangensa. Aby uzyskać falę niemal całkowicie spłaszczoną, ustaw częstotliwość na najniższą wartość, 0,1. Zmienianie jednego suwaka naraz ułatwia ustalenie, który parametr spowodował daną zmianę.

Jak obliczyć wartość ręcznie

Rozważmy funkcję sinus o amplitudzie A = 2, częstotliwości B = 3 i przesunięciu fazowym C = π/4:

f(x) = 2 sin(3x + π/4)

Aby znaleźć f(π/6), najpierw oblicz kąt wewnątrz sinusa:

3 × (π/6) = π/2

π/2 + π/4 = 3π/4

Następnie oblicz sinus i pomnóż wynik przez amplitudę:

f(π/6) = 2 × sin(3π/4) = 2 × (√2/2) ≈ 1,414

Gdzie występują fale trygonometryczne

Wiele zjawisk powtarzających się w płynny, naprzemienny sposób ma przebieg zbliżony do fali sinusoidalnej: dźwięk, przemienny prąd elektryczny, przypływy i odpływy, ruch wahadła oraz długość dnia w ciągu roku. Inżynierowie używają sinusa i cosinusa do opisywania i przewidywania takich wzorców. Animatorzy komputerowi wykorzystują te same krzywe, aby nadać ruchowi płynność, na przykład podczas animowania kołyszącego się chodu lub łagodnego ruchu kamery.

Najczęściej zadawane pytania

Jaka jest różnica między sinusem, cosinusem i tangensem?

Sinus i cosinus oscylują między −1 a 1 i mają okres 2π, ale cosinus osiąga każdy punkt swojego cyklu o ćwierć obrotu (π/2) wcześniej niż sinus. Tangens jest równy sinusowi podzielonemu przez cosinus. Ma okres π, jest nieograniczony i ma asymptoty pionowe wszędzie tam, gdzie cosinus przyjmuje wartość 0.

Co określa amplituda?

Amplituda (A) określa, jak daleko fala rozciąga się powyżej i poniżej swojej linii środkowej. W tym wykresie jej wartości wynoszą od 0,1 do 5 dla sinusa i cosinusa oraz od 0,1 do 2 dla tangensa.

Co określa częstotliwość?

Częstotliwość (B) określa, ile cykli fali pojawia się na danym odcinku osi x. Większa częstotliwość mieści więcej cykli na tej samej przestrzeni. Wykres pozwala ustawić wartości od 0,1 do 5.

Dlaczego dodatnie przesunięcie fazowe przesuwa wykres w lewo, a nie w prawo?

Ponieważ przesunięcie fazowe C jest dodawane przed pomiarem kąta, wewnątrz funkcji: f(x) = sin(Bx + C). Dodatnia wartość C oznacza, że dana wartość kąta zostaje osiągnięta przy mniejszym x, więc ten sam punkt krzywej pojawia się wcześniej — jest przesunięty w lewo, a nie w prawo.

Dlaczego na wykresie tangensa występują przerwy?

Tangens jest nieokreślony wszędzie tam, gdzie cosinus przyjmuje wartość 0, co zachodzi dla x = π/2 + nπ. Wykres przerywa linię w tych punktach zamiast rysować nieprawdziwe połączenie przez przerwę.

Czy wykres używa stopni czy radianów?

Radianów. Pełny obrót jest równy 2π radiana, czyli 360 stopni. Aby przeliczyć stopnie na radiany, pomnóż je przez π/180.