Rozwiązywacz równania Young-Laplace'a | Ciśnienie interfejsowe

Czym jest równanie Younga-Laplace’a?

Równanie Younga-Laplace’a to wzór z mechaniki płynów określający różnicę ciśnień po obu stronach zakrzywionej granicy między dwoma płynami, takiej jak powierzchnia kropli wody lub bańki mydlanej. Pokazuje, że różnica ciśnień zależy od napięcia powierzchniowego płynu oraz od stopnia zakrzywienia granicy. Równanie wyjaśnia, dlaczego wewnątrz kropli i baniek wzrasta ciśnienie oraz dlaczego mniejsze krople i bańki mają wyższe ciśnienie wewnętrzne niż większe.

Nazwa pochodzi od nazwisk Thomasa Younga i Pierre’a-Simona Laplace’a, którzy niezależnie opisali tę zależność na początku lat 1800.

Wzór równania Younga-Laplace’a

Ogólna postać równania jest następująca:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

• $\Delta P$ to różnica ciśnień po obu stronach granicy, wyrażona w paskalach (Pa)
• $\gamma$ (gamma) to napięcie powierzchniowe płynu, wyrażone w niutonach na metr (N/m)
• $R_1$ i $R_2$ to dwa główne promienie krzywizny powierzchni, wyrażone w metrach (m)

Powierzchnia może być różnie zakrzywiona w różnych kierunkach. $R_1$ i $R_2$ opisują krzywiznę w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach. Dla kuli, takiej jak kropla lub bańka, $R_1$ jest równe $R_2$, więc wzór upraszcza się do:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

Konwencja znaków

Ciśnienie jest zawsze wyższe po wklęsłej stronie zakrzywionej granicy, czyli po stronie, od której powierzchnia się odgina. W przypadku kropli lub bańki oznacza to, że ciśnienie wewnątrz jest wyższe niż na zewnątrz. Promień uznaje się za dodatni, gdy jego środek krzywizny leży po stronie o wyższym ciśnieniu. Jeśli w jednym kierunku powierzchnia zakrzywia się przeciwnie, promień uznaje się za ujemny. Granica w kształcie siodła, taka jak szyjka cieczy między dwoma stykającymi się ziarnami, ma jeden promień dodatni i jeden ujemny, a oba składniki częściowo się znoszą.

Ten kalkulator uwzględnia wyłącznie promienie dodatnie.

Przypadki szczególne

• Powierzchnia płaska: gdy promień rośnie w kierunku nieskończoności, jego składnik we wzorze maleje w kierunku zera. Idealnie płaska granica nie powoduje żadnej różnicy ciśnień.
• Walec: długa powierzchnia walcowa, taka jak strumień cieczy opuszczający dyszę, jest zakrzywiona tylko w jednym kierunku. Jeden promień jest promieniem walca, a drugi jest nieskończony wzdłuż jego długości, więc wzór upraszcza się do $\Delta P = \gamma / R$. Jest to połowa różnicy ciśnień występującej dla kuli o takim samym promieniu.
• Bardzo małe skale: poniżej około 10 do 20 nanometrów istotne stają się dodatkowe efekty, takie jak napięcie liniowe, a prosty wzór traci dokładność.

Jak obliczyć różnicę ciśnień za pomocą równania Younga-Laplace’a

1. Ustal napięcie powierzchniowe płynu w N/m dla interesującej temperatury. Napięcie powierzchniowe maleje wraz ze wzrostem temperatury.
2. Zmierz lub oszacuj pierwszy główny promień krzywizny, $R_1$, w metrach.
3. Zmierz lub oszacuj drugi główny promień krzywizny, $R_2$, w metrach. W przypadku kuli użyj takiej samej wartości jak dla $R_1$. W przypadku walca użyj bardzo dużej liczby jako przybliżenia nieskończoności.
4. Pomnóż napięcie powierzchniowe przez sumę $1/R_1$ i $1/R_2$. Wynikiem jest różnica ciśnień w paskalach.

Wszystkie wartości podawaj w jednostkach układu SI. Na przykład połączenie milimetrów z metrami powoduje błąd wyniku równy czynnikowi tysiąca.

Przykład obliczeń

Rozważmy kulistą kroplę wody o promieniu 1 milimetra (0,001 m) i napięciu powierzchniowym 0,072 N/m, typowym dla wody w temperaturze zbliżonej do pokojowej.

Ponieważ kropla jest kulą, $R_1 = R_2 = R$, więc:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R} = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144 \text{ Pa}$

Ciśnienie wewnątrz kropli jest o 144 Pa wyższe od ciśnienia otaczającego powietrza. To niewiele w porównaniu z normalnym ciśnieniem atmosferycznym, wynoszącym około 101 325 Pa, lecz efekt szybko się nasila wraz ze zmniejszaniem kropli. Kropla o promieniu równym jednej dziesiątej tej wartości, 0,1 mm, ma dziesięciokrotnie większą różnicę ciśnień: 1 440 Pa. Kropla o promieniu 0,01 mm osiąga 14 400 Pa, czyli ponad 14% ciśnienia atmosferycznego.

Zastosowania równania

• Krople i bańki: wyższe ciśnienie wewnątrz małych kropli napędza dojrzewanie Ostwalda — proces, w którym małe krople emulsji kurczą się, a większe rosną, ponieważ ich zawartość dyfunduje od obszarów o wysokim ciśnieniu do obszarów o niskim ciśnieniu.
• Podciąganie kapilarne: zakrzywiona powierzchnia cieczy wewnątrz wąskiej rurki podciąga ciecz ku górze. Dlatego woda podnosi się w ręcznikach papierowych i wąskich szklanych rurkach.
• Oddychanie: maleńkie pęcherzyki powietrzne w płucach, zwane pęcherzykami płucnymi, zachowują się jak małe bańki. Powłoka zwana surfaktantem płucnym obniża napięcie powierzchniowe, dzięki czemu małe pęcherzyki płucne nie zapadają się pod ciśnieniem przewidywanym przez to równanie. Z tego powodu u wcześniaków, którym brakuje wystarczającej ilości surfaktantu, mogą wystąpić problemy z oddychaniem.
• Druk atramentowy: dysze drukarek formują krople o średnicy kilkudziesięciu mikrometrów, gdzie ciśnienie wynikające z krzywizny jest wystarczająco duże, aby wpływać na sposób opuszczania dyszy przez atrament.
• Inżynieria materiałowa: przyrządy do pomiaru zwilżania powierzchni przez ciecze i zachowania cienkich powłok wykorzystują to równanie do powiązania kształtu kropli z jej energią powierzchniową.

Historia

Ludzie obserwowali podnoszenie się cieczy w wąskich rurkach na długo przed wyjaśnieniem tego zjawiska. Na początku lat 1700 Francis Hauksbee wykazał doświadczalnie, że węższe rurki powodują większe wznoszenie kapilarne, a w 1718 roku James Jurin opisał wysokość podnoszenia jako odwrotnie proporcjonalną do średnicy rurki.

Thomas Young wyjaśnił podstawy fizyczne w pracy z 1805 roku, wprowadzając napięcie powierzchniowe jako właściwość płynu i wiążąc je z ciśnieniem po obu stronach zakrzywionych powierzchni, choć jego ujęcie miało głównie opisowy charakter. W 1806 roku Pierre-Simon Laplace wyprowadził postać matematyczną za pomocą rachunku różniczkowego, niezależnie uzyskując tę samą zależność. Ich wspólna praca stała się podstawą równania Younga-Laplace’a. Późniejsi naukowcy, w tym Carl Friedrich Gauss i Joseph Plateau, weryfikowali teorię i rozwijali ją w ciągu lat 1800.

Najczęściej zadawane pytania

Co oblicza równanie Younga-Laplace’a? Oblicza różnicę ciśnień po obu stronach zakrzywionej granicy między dwoma płynami na podstawie napięcia powierzchniowego płynu i krzywizny granicy.

Dlaczego ciśnienie wewnątrz mniejszej kropli jest wyższe? Napięcie powierzchniowe działa wzdłuż obwodu kropli, a siła tego działania rośnie proporcjonalnie do promienia. Powierzchnia, na którą musi działać ciśnienie, rośnie proporcjonalnie do kwadratu promienia. Zrównoważenie tych dwóch wielkości daje $\Delta P = 2\gamma/R$, więc różnica ciśnień jest odwrotnie proporcjonalna do promienia: zmniejszenie promienia o połowę podwaja różnicę ciśnień.

Jak temperatura wpływa na równanie? Temperatura zmienia wartość napięcia powierzchniowego, które maleje wraz ze wzrostem temperatury. W przypadku wody napięcie powierzchniowe spada z około 0,073 N/m przy 20 °C do około 0,063 N/m przy 80 °C, czyli o około 0,17 mN/m na każdy stopień Celsjusza. Napięcie powierzchniowe w temperaturze pokojowej jest wyższe niż w gorącej wodzie, dlatego użycie wartości dla temperatury pokojowej w układzie o wysokiej temperaturze zawyża różnicę ciśnień.

Czy równanie działa dla kształtów innych niż kule? Tak. Postać ogólna, z dwoma oddzielnymi promieniami $R_1$ i $R_2$, obejmuje każdą zakrzywioną powierzchnię, w tym elipsoidy i granice w kształcie siodła. Tylko uproszczona wersja $2\gamma/R$ jest ograniczona do kul.

Czym równanie Younga-Laplace’a różni się od równania Younga? Równanie Younga-Laplace’a określa różnicę ciśnień wywołaną przez zakrzywioną granicę. Równanie Younga, odrębna zależność również opracowana przez Thomasa Younga, określa kąt zwilżania tworzony przez kroplę w miejscu styku z powierzchnią ciała stałego na podstawie energii powierzchniowych trzech zaangażowanych materiałów. Opisują one różne zjawiska i czasami stosuje się je łącznie do analizy kropli spoczywającej na powierzchni.

Jak mała może być kropla, zanim równanie przestanie działać? Równanie zachowuje dokładność do około 1 mikrometra. Poniżej około 10 do 20 nanometrów dodatkowe siły pomijane przez równanie, w tym napięcie liniowe i siły między powierzchniami działające w skali cząsteczkowej, stają się na tyle duże, że mają znaczenie, dlatego potrzebne są bardziej szczegółowe modele.

Piśmiennictwo

1. Young, T. (1805). „An Essay on the Cohesion of Fluids”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65–87.
2. Laplace, P.S. (1806). Traité de Mécanique Céleste, dodatek do księgi 10.
3. de Gennes, P.G., Brochard-Wyart, F. i Quéré, D. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. Springer.
4. Adamson, A.W. i Gast, A.P. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6. wyd.). Wiley-Interscience.