Calculadora de Arcos - Calcule Raio, Vão e Altura

O que é uma calculadora de arcos?

Uma calculadora de arcos encontra as dimensões de um arco circular — seu raio, vão e flecha — a partir de dois desses valores. Ela também calcula o comprimento do arco e a área do arco. Arquitetos, construtores e entusiastas usam a ferramenta para planejar vãos de portas, janelas, pontes e elementos de jardim com formato curvo.

Principais dimensões do arco

Um arco circular é uma parte recortada da borda de um círculo. Cinco medidas descrevem seu formato:

• Raio: a distância do centro desse círculo até qualquer ponto da curva do arco.
• Vão: a distância horizontal em linha reta entre as duas extremidades inferiores do arco, também chamada de largura.
• Flecha: a distância vertical da linha de arranque (a linha horizontal que une as duas extremidades) até o ponto mais alto do arco.
• Comprimento do arco: a distância ao longo da linha curva do arco, de uma extremidade à outra.
• Área do arco: a área da região curva delimitada entre o arco e a linha de arranque.

Fórmulas das dimensões do arco

Estas fórmulas se aplicam a um arco circular, formado por um segmento de um único círculo. Elas valem para qualquer flecha de até o dobro do raio. Essa faixa abrange os arcos de portas, janelas e pontes que a maioria das pessoas calcula, além dos arcos em ferradura, nos quais a curva continua além de uma semicircunferência.

Fórmula da flecha (a partir do raio e do vão)

$\text{Elevação} = \text{Raio} - \sqrt{\text{Raio}^2 - \left(\frac{\text{Vão}}{2}\right)^2}$

Válida quando o raio e o vão são positivos e o vão ≤ 2 × raio.

Fórmula do raio (a partir do vão e da flecha)

$\text{Raio} = \frac{\text{Vão}^2}{8 \times \text{Elevação}} + \frac{\text{Elevação}}{2}$

Válida quando o vão e a flecha são positivos.

Fórmula do vão (a partir do raio e da flecha)

$\text{Vão} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Raio} \times \text{Elevação} - \text{Elevação}^2}$

Válida quando o raio e a flecha são positivos e a flecha ≤ 2 × raio.

Fórmula do comprimento do arco

$\text{Comprimento do arco} = \text{Raio} \times \theta$

Aqui, θ (teta) é o ângulo central, em radianos, que a curva do arco delimita no centro do círculo. Quando a flecha não é maior que o raio, o arco é, no máximo, uma semicircunferência e θ é:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Vão}}{2 \times \text{Raio}}\right)$

Quando a flecha é maior que o raio, o arco é maior que uma semicircunferência, e θ corresponde ao restante da circunferência:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Vão}}{2 \times \text{Raio}}\right)$

A calculadora abrange os dois casos em uma única etapa: θ = 2 × atan2(Vão ÷ 2, Raio − Flecha), que também permanece exata na semicircunferência.

Fórmula da área do arco

$\text{Área do arco} = \frac{1}{2} \times \text{Raio}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Vão} \times (\text{Raio} - \text{Elevação})$

Como usar a calculadora de arcos

A calculadora oferece três modos, um para cada dimensão que pode estar faltando.

Calcular a flecha, quando o raio e o vão são conhecidos: insira o raio e o vão. A ferramenta retorna a flecha, o comprimento do arco e a área do arco.

Calcular o raio, quando o vão e a flecha são conhecidos: insira o vão e a flecha. A ferramenta retorna o raio, o comprimento do arco e a área do arco.

Calcular o vão, quando o raio e a flecha são conhecidos: insira o raio e a flecha. A ferramenta retorna o vão, o comprimento do arco e a área do arco.

A calculadora rejeita entradas que não podem formar um arco real. O vão não pode exceder o dobro do raio, a flecha não pode exceder o dobro do raio e todas as dimensões devem ser números positivos. Uma mensagem de erro é exibida quando um valor viola uma dessas regras.

Exemplo prático

Exemplo 1: arco de porta

Um arco de porta tem vão de 36 polegadas (91,4 cm) e flecha de 12 polegadas (30,5 cm).

Raio = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 polegadas (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianos

Comprimento do arco = 19,5 × 2,352 = 45,86 polegadas (116 cm)

Área do arco = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 polegadas quadradas (2.010 cm²)

Exemplo 2: arco de jardim

Um arco de jardim tem raio de 4 pés (1,2 m) e vão de 6 pés (1,8 m).

Flecha = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 pés (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianos

Comprimento do arco = 4 × 1,696 = 6,78 pés (2,07 m)

Área do arco = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 pés quadrados (0,523 m²)

Exemplo 3: arco de ponte

Um arco de ponte tem vão de 50 pés (15 m) e flecha de 15 pés (4,57 m).

Raio = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 pés (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianos

Comprimento do arco = 28,33 × 2,162 = 61,25 pés (18,7 m)

Área do arco = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 pés quadrados (49,6 m²)

Usos comuns dos cálculos de arcos

Construtores usam as dimensões do arco para cortar fôrmas de arcos de concreto, traçar moldes de tijolo ou pedra para arcos de alvenaria e planejar a curvatura de tetos abobadados. Projetistas de pontes usam vão, flecha e raio para equilibrar a distribuição de cargas e a altura livre. Trabalhos de restauração dependem das mesmas fórmulas para reproduzir a geometria exata de um arco histórico ao repará-lo ou reconstruí-lo. Jardineiros e construtores que fazem trabalhos por conta própria usam essas medidas em treliças arqueadas, portais e aberturas decorativas.

Esta calculadora abrange apenas arcos circulares, formados pelo arco de um único círculo. Arcos elípticos, parabólicos, góticos e catenários seguem curvas diferentes e exigem fórmulas diferentes.

Uma breve história do arco

Construtores da antiga Mesopotâmia usavam formas semelhantes a arcos já em 2500 a.C., embora a maioria fosse construída por mísulas — empilhando pedras de modo que cada camada avançasse sobre a de baixo — em vez de um arco verdadeiramente curvo. Os romanos desenvolveram o arco semicircular como método construtivo padrão, usando-o em aquedutos, pontes e edifícios como o Coliseu. Construtores medievais na Europa desenvolveram o arco ogival gótico, que permitia construir estruturas mais altas e leves. Mais tarde, arquitetos voltaram às formas semicirculares baseadas em proporções precisas, e materiais modernos, como aço e concreto armado, agora permitem que os arcos cubram distâncias muito maiores.

Dúvidas frequentes

Qual é a diferença entre flecha e altura em um arco?

Flecha é a distância vertical da linha de arranque até o topo da curva do arco. Altura às vezes se refere à altura total de uma abertura, incluindo qualquer parede reta abaixo da linha de arranque.

Esta calculadora funciona para todos os tipos de arcos?

Não. Ela funciona apenas para arcos circulares, com formato de um segmento de círculo. Arcos elípticos, parabólicos, góticos e catenários seguem curvas diferentes e exigem fórmulas próprias.

Qual é a relação entre vão e raio em um arco semicircular?

Em um arco semicircular, o raio é igual à metade do vão, e a flecha é igual ao raio. O arco forma exatamente metade de um círculo.

Por que o vão não pode ser maior que o dobro do raio?

Um vão igual ao dobro do raio já produz uma semicircunferência, o arco mais largo possível para esse raio. Um vão maior não caberia no círculo.

Por que a flecha não pode ser maior que o dobro do raio (no modo de calcular o vão)?

A flecha é medida da linha de arranque até o ponto mais alto do arco no mesmo círculo. O dobro do raio corresponde à altura total desse círculo; portanto, uma flecha maior colocaria o topo do arco completamente fora do círculo. Uma flecha entre o raio e o dobro do raio é válida. Nesse caso, o arco é maior que uma semicircunferência, como nos arcos em ferradura.

Quais unidades a calculadora usa?

Qualquer unidade consistente funciona — polegadas, pés, metros ou centímetros. Insira todos os valores na mesma unidade, e os resultados serão apresentados nessa mesma unidade, com a área nessa unidade ao quadrado.