Calculadora de Arcos - Calcule Raio, Vão e Altura

O que é uma calculadora de arcos?

Uma calculadora de arcos encontra as dimensões de um arco circular — seu raio, vão e flecha — a partir de dois desses valores. Ela também calcula o comprimento do arco e a área do arco. Arquitetos, construtores e entusiastas usam a ferramenta para planejar vãos de portas, janelas, pontes e elementos de jardim com formato curvo.

Principais dimensões do arco

Um arco circular é uma parte recortada da borda de um círculo. Cinco medidas descrevem seu formato:

• Raio: a distância do centro desse círculo até qualquer ponto da curva do arco.
• Vão: a distância horizontal em linha reta entre as duas extremidades inferiores do arco, também chamada de largura.
• Flecha: a distância vertical da linha de nascença (a linha horizontal que une as duas extremidades) até o ponto mais alto do arco.
• Comprimento do arco: a distância ao longo da linha curva do arco, de uma extremidade à outra.
• Área do arco: a área da região curva delimitada entre o arco e a linha de nascença.

Fórmulas das dimensões do arco

Estas fórmulas se aplicam a um arco circular, formado por um segmento de um único círculo. A maioria dos arcos de portas, janelas e pontes tem uma flecha não maior que o raio. A calculadora também trata de arcos de ferradura mais altos, nos quais a flecha é maior que o raio, mas não passa de duas vezes o raio. Em um arco de ferradura, a curva é maior que meio círculo, de modo que as extremidades se voltam para dentro.

Fórmula da flecha (a partir do raio e do vão)

$\text{Flecha} = \text{Raio} - \sqrt{\text{Raio}^2 - \left(\frac{\text{Vão}}{2}\right)^2}$

Válida quando o raio e o vão são positivos e vão ≤ 2 × raio. Esta fórmula fornece o menor dos dois arcos que cabem em um dado raio e vão, portanto a flecha obtida nunca é maior que o raio. A calculadora usa uma forma equivalente reorganizada, (Vão/2)² ÷ (Raio + √(Raio² − (Vão/2)²)), que se mantém precisa para arcos muito abatidos.

Fórmula do raio (a partir do vão e da flecha)

$\text{Raio} = \frac{\text{Vão}^2}{8 \times \text{Flecha}} + \frac{\text{Flecha}}{2}$

Válida quando o vão e a flecha são positivos.

Fórmula do vão (a partir do raio e da flecha)

$\text{Vão} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Raio} \times \text{Flecha} - \text{Flecha}^2}$

Válida quando o raio e a flecha são positivos e flecha ≤ 2 × raio. Uma flecha maior que o raio resulta em um arco de ferradura. Uma flecha de exatamente duas vezes o raio fecha o círculo, e o vão passa a ser 0.

Fórmula do comprimento do arco

$\text{Comprimento do arco} = \text{Raio} \times \theta$

Aqui, θ (teta) é o ângulo central, em radianos, que a curva do arco percorre no centro do círculo. A calculadora o obtém com o arco tangente de dois argumentos, atan2, que funciona para qualquer formato de arco, inclusive arcos de ferradura em que θ é maior que π:

$\theta = 2 \times \operatorname{atan2}\left(\frac{\text{Vão}}{2},\ \text{Raio} - \text{Flecha}\right)$

Quando a flecha não é maior que o raio, isso dá o mesmo ângulo da forma mais simples:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Vão}}{2 \times \text{Raio}}\right)$

Fórmula da área do arco

$\text{Área do arco} = \frac{1}{2} \times \text{Raio}^2 \times (\theta - \sin\theta)$

Esta é a área do setor circular, em forma de fatia de pizza, menos o triângulo formado entre os dois raios. Desenvolvida, equivale a:

$\text{Área do arco} = \frac{1}{2} \times \text{Raio}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Vão} \times (\text{Raio} - \text{Flecha})$

Em um arco de ferradura, Raio − Flecha é negativo, de modo que o termo do triângulo é somado em vez de subtraído.

Como usar a calculadora de arcos

A calculadora oferece três modos, um para cada dimensão que pode estar faltando.

Calcular a flecha, quando o raio e o vão são conhecidos: insira o raio e o vão. A ferramenta retorna a flecha, o comprimento do arco e a área do arco.

Calcular o raio, quando o vão e a flecha são conhecidos: insira o vão e a flecha. A ferramenta retorna o raio, o comprimento do arco e a área do arco.

Calcular o vão, quando o raio e a flecha são conhecidos: insira o raio e a flecha. A ferramenta retorna o vão, o comprimento do arco e a área do arco.

A calculadora rejeita entradas que não podem formar um arco real. O vão não pode exceder o dobro do raio, a flecha não pode exceder o dobro do raio e todas as dimensões devem ser números positivos. Uma mensagem de erro é exibida quando um valor viola uma dessas regras.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: arco de porta

Um arco de porta tem vão de 36 polegadas (91,4 cm) e flecha de 12 polegadas (30,5 cm).

Raio = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 polegadas (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianos

Comprimento do arco = 19,5 × 2,352 = 45,86 polegadas (116 cm)

Área do arco = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 polegadas quadradas (2.010 cm²)

Exemplo 2: arco de jardim

Um arco de jardim tem raio de 4 pés (1,2 m) e vão de 6 pés (1,8 m).

Flecha = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 pés (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianos

Comprimento do arco = 4 × 1,696 = 6,78 pés (2,07 m)

Área do arco = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 pés quadrados (0,523 m²)

Exemplo 3: arco de ponte

Um arco de ponte tem vão de 50 pés (15 m) e flecha de 15 pés (4,57 m).

Raio = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 pés (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianos

Comprimento do arco = 28,33 × 2,162 = 61,25 pés (18,7 m)

Área do arco = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 pés quadrados (49,6 m²)

Exemplo 4: arco de ferradura

Um arco de ferradura decorativo tem raio de 10 polegadas (25 cm) e flecha de 15 polegadas (38,1 cm). A flecha é maior que o raio, portanto a curva é maior que meio círculo.

Vão = 2 × √(2 × 10 × 15 − 15²) = 2 × √(300 − 225) = 2 × √75 = 17,32 polegadas (44 cm)

θ = 2 × atan2(8,66, 10 − 15) = 2 × atan2(8,66, −5) = 4,189 radianos (240°)

Comprimento do arco = 10 × 4,189 = 41,89 polegadas (106 cm)

Área do arco = 0,5 × 10² × (4,189 − sen 4,189) = 50 × (4,1888 + 0,8660) = 50 × 5,0548 = 252,74 polegadas quadradas (1.630 cm²)

Usos comuns dos cálculos de arcos

Construtores usam as dimensões do arco para cortar fôrmas de arcos de concreto, traçar moldes de tijolo ou pedra para arcos de alvenaria e planejar a curvatura de tetos abobadados. Projetistas de pontes usam vão, flecha e raio para equilibrar a distribuição de cargas e a altura livre. Trabalhos de restauração dependem das mesmas fórmulas para reproduzir a geometria exata de um arco histórico ao repará-lo ou reconstruí-lo. Jardineiros e construtores que fazem trabalhos por conta própria usam essas medidas em treliças arqueadas, portais e aberturas decorativas.

Esta calculadora abrange apenas arcos circulares, formados pelo arco de um único círculo. Arcos elípticos, parabólicos, góticos e catenários seguem curvas diferentes e exigem fórmulas diferentes.

Uma breve história do arco

Construtores da antiga Mesopotâmia usavam formas semelhantes a arcos já em 2500 a.C., embora a maioria fosse construída por mísulas — empilhando pedras de modo que cada camada avançasse sobre a de baixo — em vez de um arco verdadeiramente curvo. Os romanos desenvolveram o arco semicircular como método construtivo padrão, usando-o em aquedutos, pontes e edifícios como o Coliseu. Construtores medievais na Europa desenvolveram o arco ogival gótico, que permitia construir estruturas mais altas e leves. Mais tarde, arquitetos voltaram às formas semicirculares baseadas em proporções precisas, e materiais modernos, como aço e concreto armado, agora permitem que os arcos cubram distâncias muito maiores.

Perguntas frequentes

Qual é a diferença entre flecha e altura em um arco?

Flecha é a distância vertical da linha de nascença até o topo da curva do arco. Altura às vezes se refere à altura total de uma abertura, incluindo qualquer parede reta abaixo da linha de nascença.

Esta calculadora funciona para todos os tipos de arcos?

Não. Ela funciona apenas para arcos circulares, com formato de um segmento de círculo. Arcos elípticos, parabólicos, góticos e catenários seguem curvas diferentes e exigem fórmulas próprias.

Qual é a relação entre vão e raio em um arco semicircular?

Em um arco semicircular, o raio é igual à metade do vão, e a flecha é igual ao raio. O arco forma exatamente metade de um círculo.

Por que o vão não pode ser maior que o dobro do raio?

Um vão igual ao dobro do raio já produz uma semicircunferência, o arco mais largo possível para esse raio. Um vão maior não caberia no círculo.

A flecha pode ser maior que o raio?

Sim. Uma flecha entre o raio e duas vezes o raio resulta em um arco de ferradura, que é maior que meio círculo. A flecha não pode passar de duas vezes o raio, porque essa é a altura total do círculo. No modo de cálculo da flecha, a ferramenta sempre devolve o arco mais baixo, de modo que a flecha nunca é maior que o raio.

Quais unidades a calculadora usa?

Qualquer unidade consistente funciona — polegadas, pés, metros ou centímetros. Insira todos os valores na mesma unidade, e os resultados serão apresentados nessa mesma unidade, com a área nessa unidade ao quadrado.