Calculadora de Seções Cônicas - Círculo, Elipse, Parábola

O que é uma calculadora de seções cônicas?

Uma calculadora de seções cônicas encontra a excentricidade e a equação padrão de um círculo, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole a partir de algumas medidas. Essas quatro curvas aparecem quando um plano corta um cone em diferentes ângulos.

As quatro seções cônicas

Cortar um cone transversalmente produz um círculo. Inclinar o plano produz uma elipse. Cortar paralelamente à lateral do cone produz uma parábola. Cortar as duas metades de um cone duplo produz uma hipérbole.

Cada curva tem uma excentricidade, um número que mostra o quanto ela difere de um círculo perfeito.

• Círculo: $e = 0$
• Elipse: $0 < e < 1$
• Parábola: $e = 1$
• Hipérbole: $e > 1$

Como usar esta calculadora

1. Escolha um tipo de seção cônica: círculo, elipse, parábola ou hipérbole.
2. Insira as medidas necessárias.
   • Círculo: raio ($r$)
   • Elipse: semi-eixo maior ($a$) e semi-eixo menor ($b$)
   • Parábola: distância focal ($f$)
   • Hipérbole: semi-eixo transverso ($a$) e semi-eixo conjugado ($b$)
3. A excentricidade e a equação padrão aparecem automaticamente assim que valores válidos e positivos são inseridos para o tipo de seção cônica selecionado; não há um botão Calcular para clicar.
4. Um gráfico da curva é desenhado abaixo dos resultados.

A calculadora exibe a equação com os números inseridos já substituídos; portanto, uma elipse com $a = 5$ e $b = 3$ é mostrada como $(x/5)^2 + (y/3)^2 = 1$. Essa é a mesma equação que $x^2/25 + y^2/9 = 1$. A excentricidade é exibida com quatro casas decimais.

Todas as entradas devem ser números positivos. Para uma elipse, o semi-eixo maior deve ter pelo menos o mesmo comprimento que o semi-eixo menor, pois o semi-eixo maior é definido como o mais longo. Uma hipérbole não tem essa exigência: seus semi-eixos transverso e conjugado podem ter quaisquer comprimentos positivos, inclusive comprimentos iguais.

Fórmula do círculo

Para um círculo de raio $r$ centrado na origem:

$$x^2 + y^2 = r^2$$

Excentricidade: $e = 0$.

Um círculo é um caso especial de uma elipse em que os dois eixos têm o mesmo comprimento e os dois focos ficam no centro.

Fórmula da elipse

Para uma elipse centrada na origem com semi-eixo maior $a$ e semi-eixo menor $b$, em que $a \geq b > 0$:

$$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

Exemplo: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Equação: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

Quando $a = b$, a elipse se torna um círculo e $e = 0$.

Fórmula da parábola

Para uma parábola com abertura para a direita, com distância focal $f$ (a distância do vértice ao foco):

$$y^2 = 4fx$$

Excentricidade: $e = 1$, sempre.

Exemplo: $f = 2$. Equação: $y^2 = 8x$.

Fórmula da hipérbole

Para uma hipérbole centrada na origem com semi-eixo transverso $a$ e semi-eixo conjugado $b$, em que $a$ e $b$ são quaisquer números positivos:

$$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$$ $$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{b}{a}\right)^2}$$

O semi-eixo transverso $a$ é metade da distância entre os dois vértices, os pontos onde a curva muda de direção. O semi-eixo conjugado $b$ é metade do comprimento do eixo conjugado, o segmento traçado perpendicularmente a ele pelo centro. Ele determina a rapidez com que os ramos se abrem.

Ao contrário de uma elipse, uma hipérbole não exige que $a$ seja maior que $b$. Os dois comprimentos são independentes, portanto $b$ pode ser menor, igual ou maior que $a$. Quando $a = b$, a curva é chamada de hipérbole retangular, com excentricidade $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Exemplo: $a = 5$, $b = 3$.

$$e = \sqrt{1 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 + 0.36} = \sqrt{1.36} \approx 1.1662$$

Equação: $\dfrac{x^2}{25} - \dfrac{y^2}{9} = 1$

Usos das seções cônicas no mundo real

Planetas e cometas seguem órbitas com formato de seções cônicas. A primeira lei de Kepler afirma que a órbita de um planeta é uma elipse com o Sol em um dos focos. Alguns cometas seguem trajetórias parabólicas ou hiperbólicas e nunca retornam.

Parábolas concentram raios paralelos em um único ponto; por isso, engenheiros usam formas parabólicas em antenas parabólicas, espelhos de telescópios e faróis de automóveis. Curvas hiperbólicas aparecem nas paredes de torres de resfriamento, cuja forma proporciona resistência usando menos material. Elipses aparecem em arcos, tetos de salas de sussurros e projetos de engrenagens.

Uma breve história das seções cônicas

O matemático grego Menaecmo estudou as seções cônicas por volta de 350 a.C. ao tentar resolver o problema da duplicação do cubo. Apolônio de Perga escreveu um tratado detalhado chamado Cônicas por volta de 200 a.C. Ele deu os nomes elipse, parábola e hipérbole a essas curvas e descreveu suas propriedades. Séculos mais tarde, Johannes Kepler usou a elipse para descrever o movimento planetário, e Isaac Newton usou as seções cônicas para explicar a gravidade.

Dúvidas frequentes

Quais são os quatro tipos de seções cônicas?

Círculo, elipse, parábola e hipérbole. Cada uma se forma quando um plano corta um cone em um ângulo diferente, e cada uma tem um intervalo diferente de excentricidade.

Como se calcula a excentricidade?

A excentricidade é fixa para um círculo ($e = 0$) e uma parábola ($e = 1$). Para uma elipse, $e = \sqrt{1 - (b/a)^2}$, usando o semi-eixo maior $a$ e o semi-eixo menor $b$. Para uma hipérbole, $e = \sqrt{1 + (b/a)^2}$, usando o semi-eixo transverso $a$ e o semi-eixo conjugado $b$.

O semi-eixo transverso de uma hipérbole precisa ser maior que o semi-eixo conjugado?

Não. Ao contrário dos semi-eixos maior e menor de uma elipse, o semi-eixo transverso ($a$) e o semi-eixo conjugado ($b$) de uma hipérbole são medidas independentes. Ambos devem ser positivos, mas qualquer um deles pode ser o maior.

Uma elipse pode se tornar um círculo?

Sim. Quando o semi-eixo maior é igual ao semi-eixo menor, a elipse é um círculo e sua excentricidade é 0.

Por que as antenas parabólicas usam uma forma parabólica?

Uma parábola reflete raios que viajam paralelamente ao seu eixo para um único ponto focal. Antenas parabólicas e espelhos de telescópios usam essa propriedade para concentrar sinais ou luz em um único ponto.

O que é uma hipérbole retangular?

Uma hipérbole retangular é aquela em que o semi-eixo transverso é igual ao semi-eixo conjugado ($a = b$). Suas assíntotas são perpendiculares, e sua excentricidade é $\sqrt{2} \approx 1.4142$.

Referências

1. Seção cônica - Wikipédia
2. Excentricidade das seções cônicas - Khan Academy
3. Cônicas - OpenStax