Calculadora de Cone Circular Reto - Volume, Área de Superfície e Fórmulas

O que é um cone circular reto?

Um cone circular reto é um sólido com uma base circular plana e uma lateral curva que se estreita até um único ponto, chamado de vértice. Ele é "reto" porque o vértice fica diretamente acima do centro da base. Uma linha do vértice diretamente até a base encontra a base em ângulo reto. Esta calculadora encontra o volume, a área da base, a área da superfície lateral e a área da superfície total de um cone a partir de seu raio e altura. Ela calcula a geratriz no caminho, mas não a exibe.

Exemplos comuns dessa forma incluem cones de trânsito, casquinhas de sorvete, funis e os telhados de algumas torres.

Medidas do cone

Duas medidas descrevem um cone circular reto:

• Raio (r): a distância do centro da base circular até a sua borda.
• Altura (h): a distância vertical em linha reta da base até o vértice.

Um terceiro comprimento, a geratriz (l), é a distância ao longo da parte externa do cone, do vértice até a borda da base. Ela não é medida diretamente. Em vez disso, é calculada a partir do raio e da altura, porque esses três comprimentos formam um triângulo retângulo.

Fórmulas do cone

Fórmula da geratriz

O raio, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo, então a geratriz decorre do teorema de Pitágoras:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Fórmula da área da base

A base é um círculo, então sua área usa a fórmula padrão da área do círculo:

$$A_b = \pi r^2$$

Fórmula da área da superfície lateral

A área da superfície lateral cobre apenas a lateral curva, não a base. Se a lateral curva fosse desenrolada e estendida no plano, formaria um setor circular com área:

$$A_l = \pi r l$$

Fórmula da área da superfície total

A área da superfície total soma a base à lateral curva:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Um cone aberto na base, como um funil de papel, precisa apenas da área lateral nos cálculos de material.

Fórmula do volume do cone

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

O volume de um cone é exatamente um terço do de um cilindro com a mesma base e a mesma altura. Eudoxo provou essa relação com um método anterior ao cálculo. Mais tarde, ela foi confirmada com o cálculo integral, que trata o cone como uma pilha infinita de discos circulares cada vez menores, da base ao vértice.

Como calcular o volume do cone: exemplo resolvido

Considere um cone com raio r = 5 unidades e altura h = 12 unidades.

1. Encontrar a geratriz.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ unidades}$$

2. Encontrar a área da base.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ unidades}^2$$

3. Encontrar a área da superfície lateral.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204.20 \text{ unidades}^2$$

4. Encontrar a área da superfície total.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282.74 \text{ unidades}^2$$

5. Encontrar o volume.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314.16 \text{ unidades}^3$$

A calculadora mostra cada resultado com quatro casas decimais: 78,5398, 204,2035, 282,7433 e 314,1593.

Diagrama

A linha vertical tracejada é a altura, da base até o vértice. A linha horizontal tracejada é o raio, do centro da base até a sua borda.

Onde os cones aparecem na vida real

Os cálculos de volume e de área da superfície do cone aparecem em vários contextos práticos:

• Fabricação em chapa metálica: a área da superfície lateral indica a quantidade de material plano necessária para ser enrolada em uma tremonha cônica, um funil ou uma redução de duto, antes de acrescentar uma margem para emendas e desperdício.
• Capacidade de armazenamento: a fórmula do volume dá a capacidade de tanques cônicos e dos fundos cônicos de silos.
• Construção: flechas, coberturas de torres e outros elementos cônicos de telhado usam a área lateral para estimar o material de cobertura.
• Objetos do dia a dia: copos de papel, casquinhas de sorvete e cones de trânsito são, aproximadamente, cones circulares retos.

Esta calculadora presume um cone perfeito, com base circular e vértice centralizado sobre a base. Um cone cortado no topo, chamado de tronco de cone, exige outro conjunto de fórmulas, porque tem dois raios em vez de um.

História

Os matemáticos da Grécia Antiga estudaram os cones em detalhe. Os Elementos de Euclides, escritos por volta de 300 a.C., definiram um cone como o sólido formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. A regra do volume do cone foi enunciada primeiro por Demócrito. Eudoxo de Cnido a provou com o método da exaustão, uma técnica geométrica que antecipou o cálculo integral, e Arquimedes lhe atribuiu a prova. Mais tarde, Apolônio de Perga estudou as curvas formadas ao cortar um cone em diferentes ângulos, hoje chamadas de seções cônicas. Seu livro Cônicas introduziu os termos parábola, elipse e hipérbole.

Perguntas frequentes

O que torna um cone "circular reto"?

"Reto" significa que o vértice está diretamente acima do centro da base, de modo que o eixo é perpendicular à base. Em um cone oblíquo, o vértice fica deslocado para um lado. "Circular" significa que a base é um círculo, e não uma elipse ou outra forma.

Qual é a fórmula do volume de um cone?

V = (1/3)πr²h, em que r é o raio da base e h é a altura perpendicular. O volume não exige a geratriz.

Qual é a fórmula da área da superfície de um cone?

A área da superfície total é A = πr² + πrl, em que r é o raio e l é a geratriz. O primeiro termo é a área da base e o segundo é a área lateral. Omita o primeiro termo se o cone não tiver base, como um funil aberto.

O que é a geratriz e como ela difere da altura?

A altura é a distância vertical em linha reta da base até o vértice, medida por dentro do cone. A geratriz é a distância ao longo da superfície externa, do vértice até a borda da base. Elas se relacionam por l = √(r² + h²), e a geratriz é sempre a maior das duas sempre que o raio é maior que zero.

Como encontrar o volume de um cone a partir do diâmetro?

Divida o diâmetro por 2 para obter o raio e depois use V = (1/3)πr²h. Por exemplo, um cone com diâmetro de 10 cm e altura de 15 cm tem raio de 5 cm, portanto V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Esta calculadora funciona para cones truncados (troncos de cone)?

Não. Um tronco de cone é um cone com o topo cortado, por isso tem dois raios em vez de um e precisa de fórmulas próprias para volume e área da superfície.

Referências

1. D. E. Joyce, Clark University. Euclid's Elements, Book XII, Proposition 10. Elementos XII.10 — "Any cone is a third part of the cylinder with the same base and equal height."
2. D. E. Joyce, Clark University. Euclid's Elements, Book XI, Definitions 18–20. Elementos XI, Definição 18 — um cone é a figura gerada quando um triângulo retângulo gira em torno de um dos lados do ângulo reto.
3. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Eudoxus of Cnidus. Biografia de Eudoxo — Eudoxo provou, pelo método da exaustão, que um cone é um terço do cilindro com a mesma base e a mesma altura; Arquimedes lhe atribuiu a prova.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Apollonius of Perga. Biografia de Apolônio — seu livro Conics introduziu os termos parábola, elipse e hipérbole.