Calculadora de Cone Circular Reto - Volume, Área de Superfície e Fórmulas

O que é um cone circular reto?

Um cone circular reto é um sólido com uma base circular plana e uma lateral curva que se estreita até um único ponto, chamado vértice. Ele é “reto” porque o vértice fica diretamente acima do centro da base. Uma linha que vai do vértice em linha reta até a base encontra a base em um ângulo reto. Esta calculadora encontra o volume, a área da base, a área lateral e a área total da superfície de um cone a partir do raio e da altura.

Exemplos comuns dessa forma incluem cones de trânsito, casquinhas de sorvete, funis e os telhados de algumas torres.

Medidas do cone

Duas medidas descrevem um cone circular reto:

• Raio (r): a distância do centro da base circular até sua borda.
• Altura (h): a distância vertical em linha reta da base até o vértice.

Um terceiro comprimento, a geratriz (l), é a distância ao longo da parte externa do cone, do vértice até a borda da base. Ela não é medida diretamente. Em vez disso, é calculada a partir do raio e da altura, pois esses três comprimentos formam um triângulo retângulo. A calculadora usa a geratriz para determinar a área lateral curva, mas não a exibe como um resultado separado.

A calculadora não fixa uma unidade. Insira o raio e a altura usando a mesma unidade. Toda área será expressa nessa unidade ao quadrado, e o volume, nessa unidade ao cubo. Nenhum dos dois valores pode ser negativo, pois um comprimento não pode ser negativo; nesse caso, a calculadora exibe uma mensagem em vez de um resultado. Os resultados são apresentados com quatro casas decimais.

Fórmulas do cone

Fórmula da geratriz

O raio, a altura e a geratriz formam um triângulo retângulo, portanto a geratriz é obtida pelo teorema de Pitágoras:

$$l = \sqrt{r^2 + h^2}$$

Fórmula da área da base

A base é um círculo, portanto sua área usa a fórmula padrão da área do círculo:

$$A_b = \pi r^2$$

Fórmula da área lateral

A área lateral cobre apenas a parte curva, não a base. Se a parte curva fosse aberta e estendida sobre uma superfície plana, formaria um setor circular com área:

$$A_l = \pi r l$$

Fórmula da área total da superfície

A área total da superfície soma a base à parte curva:

$$A = A_b + A_l = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r + l)$$

Um cone aberto na base, como um funil de papel, precisa apenas da área lateral para os cálculos de material.

Fórmula do volume do cone

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

O volume de um cone é exatamente um terço do volume de um cilindro com a mesma base e a mesma altura. Arquimedes provou essa relação usando um método anterior ao cálculo. Mais tarde, ela foi confirmada pelo cálculo integral, que trata o cone como uma pilha infinita de discos circulares que diminuem de tamanho da base até o vértice.

Como calcular o volume de um cone: exemplo resolvido

Considere um cone com raio r = 5 unidades e altura h = 12 unidades.

1. Encontre a geratriz.

$$l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ unidades}$$

2. Encontre a área da base.

$$A_b = \pi (5)^2 = 25\pi \approx 78,54 \text{ unidades}^2$$

3. Encontre a área lateral.

$$A_l = \pi (5)(13) = 65\pi \approx 204,20 \text{ unidades}^2$$

4. Encontre a área total da superfície.

$$A = 25\pi + 65\pi = 90\pi \approx 282,74 \text{ unidades}^2$$

5. Encontre o volume.

$$V = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (12) = 100\pi \approx 314,16 \text{ unidades}^3$$

Diagrama

A linha vertical tracejada representa a altura, da base até o vértice. A linha horizontal tracejada representa o raio, do centro da base até sua borda.

Onde os cones aparecem na vida real

Os cálculos do volume e da área da superfície de cones aparecem em várias situações práticas:

• Fabricação de chapas metálicas: a área lateral fornece a quantidade de material plano necessária para formar um funil, uma tremonha cônica ou um redutor de duto cônico, antes de acrescentar uma margem para emendas e desperdícios.
• Capacidade de armazenamento: a fórmula do volume fornece a capacidade de tanques cônicos e das partes inferiores cônicas de silos.
• Construção: pináculos, coberturas de torres e outros elementos de telhado cônicos usam a área lateral para estimar o material de cobertura.
• Objetos do cotidiano: copos de papel, casquinhas de sorvete e cones de trânsito são aproximadamente cones circulares retos.

Esta calculadora considera um cone perfeito, com base circular e vértice centralizado sobre a base. Um cone cortado na parte superior, chamado tronco de cone, precisa de outro conjunto de fórmulas, pois tem dois raios em vez de um.

História

Matemáticos da Grécia Antiga estudavam cones desde aproximadamente 300 a.C. Os Elementos de Euclides definiram um cone como o sólido formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. Mais tarde, Apolônio de Perga estudou as curvas formadas ao cortar um cone em diferentes ângulos, hoje chamadas de seções cônicas: o círculo, a elipse, a parábola e a hipérbole. A fórmula do volume V = (1/3)πr²h foi provada por Arquimedes usando o método da exaustão, uma técnica geométrica que antecipou o cálculo integral em cerca de 2.000 anos.

Perguntas frequentes

O que torna um cone “circular reto”?

“Reto” significa que o vértice fica diretamente acima do centro da base, de modo que o eixo é perpendicular à base. Em um cone oblíquo, o vértice fica deslocado para um dos lados. “Circular” significa que a base é um círculo, e não uma elipse ou outra forma.

Qual é a fórmula do volume de um cone?

V = (1/3)πr²h, em que r é o raio da base e h é a altura perpendicular. O volume não requer a geratriz.

Qual é a fórmula da área da superfície de um cone?

A área total da superfície é A = πr² + πrl, em que r é o raio e l é a geratriz. O primeiro termo é a área da base, e o segundo é a área lateral. O primeiro termo deve ser omitido se o cone não tiver base, como no caso de um funil aberto.

O que é a geratriz e como ela difere da altura?

A altura é a distância vertical em linha reta da base até o vértice, medida pelo interior do cone. A geratriz é a distância ao longo da superfície externa, do vértice até a borda da base. Elas se relacionam por l = √(r² + h²), e a geratriz é sempre maior que a altura quando o raio é maior que zero.

Como encontro o volume de um cone a partir do diâmetro?

Divida o diâmetro por 2 para obter o raio e, em seguida, use V = (1/3)πr²h. Por exemplo, um cone com diâmetro de 10 cm e altura de 15 cm tem raio de 5 cm, portanto V = (1/3)π(5²)(15) ≈ 392,7 cm³.

Esta calculadora funciona para cones truncados (troncos de cone)?

Não. Um tronco de cone é um cone com a parte superior cortada, portanto tem dois raios em vez de um e precisa de fórmulas próprias para o volume e a área da superfície.