Calculadora da altura do cone

Uma calculadora da altura do cone encontra a altura vertical de um cone circular reto a partir de duas medidas: o raio da base e a geratriz. Ela usa o teorema de Pitágoras, pois a altura, o raio e a geratriz formam um triângulo retângulo dentro do cone.

O que é a altura de um cone?

A altura de um cone é a distância em linha reta do ápice (a ponta) até o centro da base circular, medida em um ângulo reto em relação à base. Às vezes, ela é chamada de “altura vertical” ou “altura perpendicular”, para diferenciá-la da geratriz.

A geratriz é diferente. Ela é a distância do ápice até um ponto na borda da base, medida ao longo da superfície externa do cone. Como a geratriz segue em um ângulo, em vez de descer em linha reta, ela é sempre maior que a altura vertical.

Fórmula da altura do cone

Em um cone circular reto, o raio (r), a altura (h) e a geratriz (l) formam um triângulo retângulo. A geratriz é a hipotenusa. Portanto, a altura pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:

h = √(l² − r²)

Onde:

• h é a altura do cone
• l é a geratriz
• r é o raio da base

A fórmula só funciona quando a geratriz é maior que o raio. Caso contrário, não pode existir um cone real com essas medidas, porque a hipotenusa de um triângulo retângulo deve ser maior que qualquer um dos outros dois lados.

Como calcular a altura de um cone

1. Meça ou anote o raio da base do cone.
2. Meça ou anote a geratriz, a distância ao longo da parte externa do cone, da ponta até a borda da base.
3. Eleve os dois números ao quadrado, subtraia o raio ao quadrado da geratriz ao quadrado e calcule a raiz quadrada do resultado.
4. Verifique se as duas medidas usam a mesma unidade, como centímetros ou polegadas. O resultado estará nessa mesma unidade.

A calculadora arredonda a resposta para duas casas decimais. Um raio de 1 e uma geratriz de 2 resultam em √3 = 1,7320508…, que a calculadora exibe como 1,73.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1. Um cone tem raio de 3 unidades e geratriz de 5 unidades.

h = √(5² − 3²) = √(25 − 9) = √16 = 4 unidades

Exemplo 2. Um cone tem raio de 5 unidades e geratriz de 13 unidades.

h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 unidades

Exemplo 3. Um cone tem raio de 8 unidades e geratriz de 10 unidades.

h = √(10² − 8²) = √(100 − 64) = √36 = 6 unidades

Quando não há uma altura válida

Se a geratriz for igual ou menor que o raio, a calculadora não poderá retornar uma altura. Um cone não pode ter uma geratriz igual ao seu raio, pois isso exigiria uma altura igual a zero ou um número imaginário. Por exemplo, um raio de 5 e uma geratriz de 5 descrevem um disco plano, não um cone, portanto a calculadora sinaliza essa entrada como inválida em vez de exibir um resultado.

Entradas zero e negativas são tratadas de forma diferente. Enquanto o raio e a geratriz não forem ambos números maiores que zero, a calculadora permanece em branco em vez de exibir um erro.

Onde a altura do cone é usada

A altura do cone, juntamente com o raio, é usada para calcular o volume de um cone (V = ⅓πr²h) e sua área de superfície. Arquitetos usam essa medida ao projetar telhados cônicos. Fabricantes usam-na para determinar de quanto material uma peça cônica precisa. Ela também aparece nas aulas de geometria, pois o cone é uma das formas tridimensionais básicas ensinadas junto com o cilindro e a esfera.

Perguntas frequentes

Como encontrar a altura de um cone a partir do raio e da geratriz?
Eleve a geratriz ao quadrado, eleve o raio ao quadrado, subtraia o segundo resultado do primeiro e calcule a raiz quadrada: h = √(l² − r²).

Qual é a fórmula da altura de um cone?
h = √(l² − r²), onde h é a altura, l é a geratriz e r é o raio da base. Ela vem diretamente do teorema de Pitágoras.

A altura de um cone pode ser maior que a geratriz?
Não. A geratriz é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela altura e pelo raio, e uma hipotenusa é sempre o lado mais longo de um triângulo retângulo.

O que acontece se o raio for igual à geratriz?
Não há um cone válido. Um raio igual ou maior que a geratriz resultaria em uma altura igual ou menor que zero, o que não é possível para um cone real.

Qual é a diferença entre a geratriz e a altura?
A altura é medida em linha reta do ápice até o centro da base. A geratriz é medida ao longo da superfície externa, do ápice até a borda da base. A geratriz é sempre a maior das duas.

Quais unidades o resultado usa?
O resultado usa a mesma unidade informada para o raio e a geratriz. Se ambos estiverem em centímetros, a altura será dada em centímetros.

Referências

1. Weisstein, Eric W. “Cone.” MathWorld, Wolfram Research. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. “Cone (geometry).” Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Cone_(geometry)