Calculadora de Valor Crítico | Teste Z, Teste t, Qui-Quadrado

Um valor crítico é o ponto de corte em uma distribuição de probabilidade que marca o limite da “região de rejeição” em um teste de hipótese. Se uma estatística de teste ultrapassa o valor crítico, o resultado é considerado estatisticamente significativo, e a hipótese nula é rejeitada. Esta calculadora encontra valores críticos para os três testes mais comuns: o teste Z, o teste t e o teste qui-quadrado.

O que é um valor crítico?

Em estatística, os pesquisadores frequentemente começam com uma hipótese nula, uma suposição simples de que nada incomum está acontecendo — por exemplo, que um novo medicamento não produz efeito. Uma estatística de teste é calculada a partir dos dados de uma amostra e comparada com um valor crítico para decidir se os dados fornecem evidências suficientes contra a hipótese nula.

O valor crítico depende de três fatores: o teste escolhido, o nível de significância (escrito como α, a letra grega alfa) e o fato de o teste ser unilateral ou bilateral. O nível de significância é a probabilidade de rejeitar erroneamente uma hipótese nula verdadeira, geralmente definida como 0,05 (5%) ou 0,01 (1%).

Um teste unilateral verifica a existência de um efeito em uma única direção, como “maior que”. Ele tem um valor crítico. Um teste bilateral verifica a existência de um efeito em qualquer direção e tem dois valores críticos, um em cada lado da distribuição.

Como calcular um valor crítico

1. Escolha o teste: teste Z (amostras grandes ou variância populacional conhecida), teste t (amostras pequenas com variância desconhecida) ou teste qui-quadrado (dados categóricos ou teste de aderência).
2. Escolha o tipo de cauda: unilateral ou bilateral.
3. Escolha o nível de significância α, um número entre 0 e 1. As opções comuns são 0,10, 0,05 e 0,01.
4. Para um teste t ou qui-quadrado, informe os graus de liberdade (df). Em um teste t, df é igual ao tamanho da amostra menos 1. Em um teste de aderência qui-quadrado, df é igual ao número de categorias menos 1.
5. Consulte (ou calcule) o valor que delimita a área de cauda escolhida sob a curva de distribuição. Esse é o valor crítico.

Fórmulas do valor crítico

Cada fórmula usa a inversa de uma função de distribuição cumulativa: o valor de x para o qual a área sob a curva até x é igual a uma probabilidade-alvo p.

Fórmula do teste Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(one-tailed)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(two-tailed)}$

Φ⁻¹ é a inversa da função de distribuição cumulativa normal padrão.

Fórmula do teste t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(one-tailed)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(two-tailed)}$

t⁻¹(p, df) é a inversa da função de distribuição cumulativa da distribuição t com df graus de liberdade.

Fórmula do teste qui-quadrado

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(one-tailed)}$ $\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(two-tailed)}$

A distribuição qui-quadrado aceita apenas valores positivos. Portanto, os dois valores críticos são positivos, e o valor inferior é menor que o valor superior.

Exemplo: valor crítico do teste Z

Uma equipe de controle de qualidade deseja calcular um valor crítico de teste Z unilateral com α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Qualquer estatística de teste acima de 1,6449 está na região de rejeição.

Exemplo: valor crítico do teste t

Um pesquisador realiza um experimento com 20 participantes, portanto df = 19. Ele deseja um valor crítico bilateral com α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

As regiões de rejeição são t < -2,8609 e t > 2,8609.

Exemplo: valores críticos do teste qui-quadrado

Um analista compara contagens observadas e esperadas em 5 categorias, portanto df = 4. Ele deseja valores críticos bilaterais com α = 0,05.

$\chi^2_{\text{lower}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{upper}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Uma estatística qui-quadrado abaixo de 0,4844 ou acima de 11,1433 estaria na região de rejeição.

Valores críticos comuns

À medida que os graus de liberdade aumentam, os valores críticos da distribuição t diminuem em direção aos valores correspondentes do teste Z, pois a distribuição t se aproxima da distribuição normal.

Perguntas frequentes

Para que serve um valor crítico?
Ele estabelece o limite para decidir se uma estatística de teste é suficientemente extrema para rejeitar a hipótese nula. Se a estatística ultrapassar o valor crítico, o resultado será estatisticamente significativo no nível α escolhido.

Qual é a diferença entre um valor crítico unilateral e um bilateral?
Um teste unilateral procura um efeito em uma direção e tem um único valor crítico. Um teste bilateral procura um efeito em qualquer direção e tem dois valores críticos, posicionados simetricamente em torno do centro nos testes Z e t. Para o mesmo α, um valor crítico bilateral tem maior valor absoluto que um valor crítico unilateral, pois a mesma probabilidade total é dividida entre duas caudas em vez de uma.

Quando um teste Z deve ser usado em vez de um teste t?
Um teste Z é usado quando a variância populacional é conhecida ou quando a amostra é grande, normalmente com 30 ou mais observações. Um teste t é usado para amostras menores com variância populacional desconhecida. À medida que o tamanho da amostra aumenta, os valores críticos do teste t convergem para os valores críticos do teste Z.

Um valor crítico pode ser negativo?
Sim. As distribuições dos testes Z e t são simétricas em torno de zero. Por isso, um teste bilateral tem um valor crítico negativo e outro positivo. Os valores críticos do qui-quadrado são sempre positivos, pois a distribuição qui-quadrado é definida apenas para valores iguais ou maiores que zero.

Como os graus de liberdade afetam um valor crítico?
Os graus de liberdade medem quanta informação independente há nos dados, geralmente o tamanho da amostra menos o número de parâmetros já estimados. Menos graus de liberdade produzem distribuições mais amplas, com caudas mais pesadas, e valores críticos maiores. Mais graus de liberdade aproximam as distribuições t e qui-quadrado da distribuição normal.

Qual valor crítico corresponde a um nível de confiança de 95%?
Um nível de confiança de 95% usa α = 0,05. Para um teste Z bilateral, os valores críticos são ±1,9600. Para um teste Z unilateral, o valor crítico é 1,6449.

História

Karl Pearson introduziu o teste qui-quadrado em 1900. William Sealy Gosset, publicando como “Student”, desenvolveu a distribuição t em 1908 para lidar com amostras pequenas na cervejaria Guinness. Ronald Fisher formalizou os testes de significância e os valores críticos na década de 1920, em seu livro Statistical Methods for Research Workers. Antes dos computadores, os pesquisadores consultavam valores críticos em tabelas impressas; atualmente, calculadoras e softwares os calculam diretamente a partir das fórmulas das distribuições.

Referências

1. Pearson, K. (1900). “On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, Série 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). “The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edimburgo: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, “Critical Values.”