Calculadora de Valor Crítico | Teste Z, Teste t, Qui-Quadrado

Um valor crítico é o ponto de corte em uma distribuição de probabilidade que marca o limite da "região de rejeição" em um teste de hipótese. Se a estatística de teste ficar além do valor crítico, o resultado é considerado estatisticamente significativo e a hipótese nula é rejeitada. Esta calculadora encontra valores críticos para os três testes mais comuns: o teste Z, o teste t e o teste qui-quadrado.

O que é um valor crítico?

Em estatística, os pesquisadores costumam partir de uma hipótese nula, uma suposição simples de que nada incomum está acontecendo (por exemplo, que um novo medicamento não tem efeito). Calcula-se uma estatística de teste a partir dos dados da amostra e compara-se com um valor crítico para decidir se os dados fornecem evidência suficiente contra a hipótese nula.

O valor crítico depende de três coisas: a escolha do teste, o nível de significância (escrito como α, a letra grega alfa) e se o teste é unilateral ou bilateral. O nível de significância é a chance de rejeitar por engano uma hipótese nula verdadeira, muitas vezes fixado em 0,05 (5%) ou 0,01 (1%).

Um teste unilateral verifica um efeito em uma única direção, como "maior que". Ele tem um valor crítico. Um teste bilateral verifica um efeito em qualquer das direções e tem dois valores críticos, um de cada lado da distribuição.

Como calcular um valor crítico

1. Escolha o teste: teste Z (amostras grandes ou variância populacional conhecida), teste t (amostras pequenas com variância desconhecida) ou teste qui-quadrado (dados categóricos ou ajuste de aderência).
2. Escolha o tipo de cauda: unilateral ou bilateral.
3. Escolha o nível de significância α, um número entre 0 e 1. As escolhas comuns são 0,10, 0,05 e 0,01.
4. Para um teste t ou qui-quadrado, informe os graus de liberdade (gl). Para um teste t, gl é igual ao tamanho da amostra menos 1. Para um teste qui-quadrado de ajuste de aderência, gl é igual ao número de categorias menos 1.
5. Procure (ou calcule) o valor que delimita a área da cauda escolhida sob a curva da distribuição. Esse é o valor crítico.

Fórmulas do valor crítico

Cada fórmula usa a inversa de uma função de distribuição acumulada: o valor de x para o qual a área sob a curva até x é igual a uma probabilidade-alvo p.

Fórmula do teste Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(unilateral)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(bilateral)}$

Φ⁻¹ é a inversa da função de distribuição acumulada normal padrão.

Fórmula do teste t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(unilateral)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(bilateral)}$

t⁻¹(p, gl) é a inversa da função de distribuição acumulada da distribuição t com gl graus de liberdade.

Fórmula do teste qui-quadrado

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(unilateral)}$ $\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(bilateral)}$

A distribuição qui-quadrado só assume valores positivos, então os dois valores críticos são positivos, e o inferior é menor que o superior.

Exemplo: valor crítico do teste Z

Uma equipe de controle de qualidade quer um valor crítico unilateral do teste Z com α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Qualquer estatística de teste acima de 1,6449 cai na região de rejeição.

Exemplo: valor crítico do teste t

Um pesquisador realiza um experimento com 20 participantes, então gl = 19. Ele quer um valor crítico bilateral com α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

As regiões de rejeição são t < -2,8609 e t > 2,8609.

Exemplo: valores críticos do qui-quadrado

Um analista compara contagens observadas e esperadas em 5 categorias, então gl = 4. Ele quer valores críticos bilaterais com α = 0,05.

$\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Uma estatística qui-quadrado abaixo de 0,4844 ou acima de 11,1433 cairia na região de rejeição.

Valores críticos comuns

À medida que os graus de liberdade aumentam, os valores críticos da distribuição t diminuem em direção aos valores correspondentes do teste Z, pois a distribuição t se aproxima da distribuição normal.

Perguntas frequentes

Para que serve um valor crítico? Ele define o limite para decidir se uma estatística de teste é extrema o bastante para rejeitar a hipótese nula. Se a estatística ultrapassa o valor crítico, o resultado é estatisticamente significativo no nível α escolhido.

Qual é a diferença entre um valor crítico unilateral e um bilateral? Um teste unilateral busca um efeito em uma direção e tem um único valor crítico. Um teste bilateral busca um efeito em qualquer direção e tem dois valores críticos, posicionados simetricamente em torno do centro no teste Z e no teste t. Para o mesmo α, um valor crítico bilateral é maior em valor absoluto que um unilateral, porque a mesma probabilidade total é dividida entre duas caudas em vez de uma.

Quando usar um teste Z em vez de um teste t? O teste Z é usado quando a variância populacional é conhecida ou a amostra é grande, tipicamente com 30 ou mais observações. O teste t é usado para amostras menores com variância populacional desconhecida. À medida que o tamanho da amostra cresce, os valores críticos do teste t convergem para os do teste Z.

Um valor crítico pode ser negativo? Sim. As distribuições dos testes Z e t são simétricas em torno de zero, então um teste bilateral tem um valor crítico negativo e um positivo. Os valores críticos do qui-quadrado são sempre positivos, pois a distribuição qui-quadrado só é definida para valores iguais ou maiores que zero.

Como os graus de liberdade afetam um valor crítico? Os graus de liberdade medem quanta informação independente há nos dados, geralmente o tamanho da amostra menos o número de parâmetros já estimados. Graus de liberdade menores produzem distribuições mais largas, com caudas mais pesadas, e valores críticos maiores. Graus de liberdade maiores aproximam a distribuição t e a distribuição qui-quadrado da distribuição normal.

Qual valor crítico corresponde a um nível de confiança de 95%? Um nível de confiança de 95% usa α = 0,05. Para um teste Z bilateral, os valores críticos são ±1,9600. Para um teste Z unilateral, o valor crítico é 1,6449.

História

Karl Pearson introduziu o teste qui-quadrado em 1900. William Sealy Gosset, que publicava como "Student", desenvolveu a distribuição t em 1908 para lidar com amostras pequenas na cervejaria Guinness. Ronald Fisher formalizou os testes de significância e os valores críticos na década de 1920 em seu livro Statistical Methods for Research Workers. Antes dos computadores, os pesquisadores consultavam valores críticos em tabelas impressas; hoje calculadoras e programas os calculam diretamente a partir das fórmulas das distribuições.

Referências

1. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.1: Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Tabela normal padrão do NIST — valores críticos ±1,282, ±1,645, ±1,960, ±2,326, ±2,576.
2. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.2: Critical Values of the Student's t Distribution. Tabela da distribuição t do NIST — gl 10: 1,812 e 2,228; gl 19: 2,861 em 0,995; gl 30: 1,697 e 2,042.
3. National Institute of Standards and Technology. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, 1.3.6.7.4: Critical Values of the Chi-Square Distribution. Tabela qui-quadrado do NIST — gl 4: 0,484 e 11,143; gl 9: 2,700 e 19,023.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Karl Pearson. Biografia de Karl Pearson — o teste qui-quadrado de significância estatística (1900).
5. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. William Gosset. Biografia de William Gosset — escrevia como "Student"; inventou o teste t para lidar com amostras pequenas no controle de qualidade da produção de cerveja na Guinness.
6. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. R A Fisher. Biografia de R A Fisher — Statistical Methods for Research Workers (1925).