Calculadora de Escore Z - Ferramenta de Pontuação Padrão e Probabilidade

O que é um escore z?

Um escore z, também chamado de pontuação padrão, mede a quantos desvios padrão um ponto de dados está da média de um conjunto de dados. Um escore z de 0 significa que o valor é igual à média. Um escore z positivo significa que o valor está acima da média, e um escore z negativo significa que está abaixo dela.

Fórmula do escore z

O escore z de um ponto de dados é calculado com esta fórmula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Onde:

• $z$ é o escore z
• $x$ é o ponto de dados
• $\mu$ é a média do conjunto de dados
• $\sigma$ é o desvio padrão do conjunto de dados

O desvio padrão não pode ser zero, porque a divisão por zero não tem resultado definido. Ele também não pode ser negativo, pois, por definição, o desvio padrão é sempre zero ou positivo.

Como calcular um escore z

1. Encontre a média do conjunto de dados somando todos os valores e dividindo pelo número de valores, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Encontre o desvio padrão. Primeiro calcule a variância, a média dos quadrados das diferenças em relação à média, e depois tire a raiz quadrada.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

3. Subtraia a média do ponto de dados e divida pelo desvio padrão.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Exemplo resolvido

Um aluno tira 85 em uma prova. A média da turma é 75, e o desvio padrão das notas da turma é 10.

• Ponto de dados: $x = 85$
• Média: $\mu = 75$
• Desvio padrão: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

O escore z do aluno é 1,0. A nota dele está um desvio padrão acima da média da turma.

Escore z e probabilidade acumulada

Um escore z pode ser convertido em uma probabilidade acumulada, a chance de que um valor escolhido ao acaso em uma distribuição normal fique igual ou abaixo desse ponto. Essa é a área sob a curva normal padrão à esquerda de $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Para o escore z de 1,0 do aluno, a probabilidade acumulada é de cerca de 0,8413, ou 84,1%. A calculadora mostra o escore z com quatro casas decimais e a probabilidade como porcentagem com duas casas decimais, então este exemplo exibe 1,0000 e 84,13%. Isso significa que o aluno foi melhor que cerca de 84% da turma, supondo que as notas sigam uma distribuição normal.

Alguns pontos de referência:

Como interpretar um escore z

Em uma distribuição normal, cerca de 95% dos valores ficam a até 2 desvios padrão da média, e cerca de 99,7% ficam a até 3. Isso é chamado de regra empírica, ou regra 68-95-99,7. Escores z além de +3 ou -3 são, portanto, raros e costumam ser verificados como possíveis valores atípicos (outliers), valores que diferem bastante do restante dos dados.

Os escores z também permitem comparar valores medidos em escalas diferentes. Uma nota de prova e uma medida de altura não podem ser comparadas diretamente, mas seus escores z podem, porque ambos descrevem a distância em relação a uma média nas mesmas unidades de desvio padrão.

Escore z versus escore t

O escore z usa o desvio padrão populacional, então pressupõe que esse valor seja conhecido. O escore t é usado quando o desvio padrão populacional é desconhecido e o desvio padrão amostral é usado em seu lugar. Uma regra prática mais antiga usava a distribuição t apenas para amostras de 30 ou menos, mas a prática atual é usá-la sempre que o desvio padrão amostral estima o valor populacional. A distribuição t tem caudas mais pesadas que a curva normal, o que responde pela incerteza adicional.

Usos comuns dos escores z

• Testes padronizados. Comparar a nota bruta de um aluno com a distribuição geral das notas.
• Detecção de valores atípicos. Sinalizar pontos de dados distantes da média em um conjunto de dados.
• Controle de qualidade. Verificar se um item fabricado está dentro de uma faixa aceitável.
• Teste de hipóteses. Os testes z usam escores z para julgar se a média de uma amostra difere de forma significativa de uma média populacional conhecida.

História

O escore z se baseia na distribuição normal. Abraham de Moivre deduziu a curva normal em 1733 como uma aproximação da distribuição binomial. Carl Friedrich Gauss e Pierre-Simon Laplace a desenvolveram mais.

Perguntas frequentes

O que é um escore z em estatística? Um escore z é o número de desvios padrão que um ponto de dados está distante da média de seu conjunto de dados. É obtido com a fórmula z = (x − μ) / σ.

Como interpretar o resultado de um escore z? Um escore z de 0 significa que o valor é igual à média. Um valor positivo está acima da média, e um valor negativo está abaixo dela. Valores além de +3 ou -3 são incomuns.

Um escore z pode ser negativo? Sim. Um escore z negativo significa apenas que o ponto de dados está abaixo da média. Um escore z de -2 significa que o valor está 2 desvios padrão abaixo da média.

Qual é a diferença entre um escore z e um escore t? O escore z é usado quando o desvio padrão populacional é conhecido. O escore t é usado quando ele não é conhecido e o desvio padrão amostral é usado no lugar, qualquer que seja o tamanho da amostra.

O que significa a probabilidade acumulada de um escore z? É a probabilidade de que um valor selecionado ao acaso em uma distribuição normal seja menor ou igual ao escore z dado. Equivale à área sob a curva normal à esquerda desse ponto.

O que acontece se o desvio padrão for zero? O escore z é indefinido, porque a fórmula exigiria dividir por zero. Um desvio padrão igual a zero significa que todos os valores do conjunto de dados são idênticos.

Referências

1. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 6.1 The Standard Normal Distribution. A distribuição normal padrão — a fórmula do escore z, z = (x − μ)/σ, e a regra empírica 68-95-99,7.
2. NIST/SEMATECH. e-Handbook of Statistical Methods, Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution. Tabela normal padrão — área sob a curva normal de 0 a z (0,34134 em z = 1).
3. OpenStax. Introductory Statistics 2e, 8.2 A Single Population Mean using the Student t Distribution. Distribuição t de Student — quando usar t em vez de z, e suas caudas mais pesadas.
4. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. Abraham de Moivre. Biografia de Abraham de Moivre — a dedução da curva normal por de Moivre em 1733.