Calculadora de Escore Z - Ferramenta de Pontuação Padrão e Probabilidade

O que é um escore-z?

Um escore-z, também chamado de escore padronizado, mede quantos desvios-padrão um ponto de dados está distante da média de um conjunto de dados. Um escore-z igual a 0 significa que o valor é igual à média. Um escore-z positivo significa que o valor está acima da média, enquanto um escore-z negativo significa que ele está abaixo da média.

Fórmula do escore-z

O escore-z de um ponto de dados é calculado com esta fórmula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Onde:

• $z$ é o escore-z
• $x$ é o ponto de dados
• $\mu$ é a média do conjunto de dados
• $\sigma$ é o desvio-padrão do conjunto de dados

O desvio-padrão não pode ser zero, pois a divisão por zero não tem resultado definido. Ele também não pode ser negativo, já que, por definição, um desvio-padrão é sempre zero ou positivo.

Como calcular um escore-z

1. Encontre a média do conjunto de dados somando todos os valores e dividindo pelo número de valores, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Encontre o desvio-padrão. Primeiro, calcule a variância, que é a média das diferenças ao quadrado em relação à média; depois, extraia sua raiz quadrada.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Esse é o desvio-padrão populacional, que divide por $n$. Quando os números são uma amostra retirada de um grupo maior, divida por $n - 1$.

3. Subtraia a média do ponto de dados e divida pelo desvio-padrão.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Exemplo resolvido

Um estudante obtém 85 pontos em uma prova. A média da turma é 75, e o desvio-padrão das notas da turma é 10.

• Ponto de dados: $x = 85$
• Média: $\mu = 75$
• Desvio-padrão: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

O escore-z do estudante é 1.0. Sua nota está um desvio-padrão acima da média da turma.

Escore-z e probabilidade acumulada

Um escore-z pode ser convertido em uma probabilidade acumulada, que é a chance de um valor escolhido aleatoriamente em uma distribuição normal estar nesse ponto ou abaixo dele. Essa é a área sob a curva normal padrão à esquerda de $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Para o escore-z do estudante, igual a 1.0, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,8413, ou 84,13%. Isso significa que o estudante obteve uma nota melhor que aproximadamente 84% da turma, supondo que as notas sigam uma distribuição normal. A calculadora mostra o escore-z com quatro casas decimais e a probabilidade acumulada como uma porcentagem com duas casas decimais.

Alguns pontos de referência:

Como interpretar um escore-z

A maioria dos valores em uma distribuição normal fica dentro de 2 desvios-padrão da média. Escores-z além de +3 ou -3 são raros e geralmente tratados como valores atípicos, ou seja, valores que diferem acentuadamente do restante dos dados.

Os escores-z também permitem comparar valores medidos em escalas diferentes. Uma nota de prova e uma medida de altura não podem ser comparadas diretamente, mas seus escores-z podem, pois ambos descrevem a distância em relação a uma média nas mesmas unidades de desvio-padrão.

Escore-z versus escore-t

Um escore-z pressupõe que o desvio-padrão populacional é conhecido e funciona melhor com amostras grandes. Um escore-t é usado quando o desvio-padrão populacional é desconhecido e a amostra é pequena, geralmente com menos de 30 observações. Ambos descrevem a distância em relação a uma média, mas o escore-t vem da distribuição t, que tem caudas mais pesadas para levar em conta a incerteza adicional de uma amostra pequena.

Usos comuns dos escores-z

• Testes padronizados. Comparar a nota bruta de um estudante com a distribuição geral das notas.
• Detecção de valores atípicos. Sinalizar pontos de dados distantes da média em um conjunto de dados.
• Controle de qualidade. Verificar se um item fabricado está dentro de uma faixa aceitável.
• Testes de hipóteses. Os testes-z usam escores-z para avaliar se a média de uma amostra difere de forma significativa de uma média populacional conhecida.

História

O escore-z baseia-se na distribuição normal, descrita por Abraham de Moivre em 1733 e desenvolvida posteriormente por Carl Friedrich Gauss e Pierre-Simon Laplace no início do século 19. A padronização de valores em unidades de desvio-padrão tornou-se uma prática comum em testes psicológicos e no controle de qualidade durante o século 20.

Perguntas frequentes

O que é um escore-z em estatística?
Um escore-z é o número de desvios-padrão que separa um ponto de dados da média do conjunto de dados. Ele é encontrado com a fórmula z = (x − μ) / σ.

Como interpreto o resultado de um escore-z?
Um escore-z igual a 0 significa que o valor é igual à média. Um valor positivo está acima da média, e um valor negativo está abaixo dela. Valores além de +3 ou -3 são incomuns.

Um escore-z pode ser negativo?
Sim. Um escore-z negativo simplesmente significa que o ponto de dados está abaixo da média. Um escore-z igual a -2 significa que o valor está 2 desvios-padrão abaixo da média.

Qual é a diferença entre um escore-z e um escore-t?
Um escore-z é usado com amostras grandes quando o desvio-padrão populacional é conhecido. Um escore-t é usado com amostras pequenas, geralmente com menos de 30 observações, quando esse desvio-padrão não é conhecido.

O que significa probabilidade acumulada para um escore-z?
É a probabilidade de um valor selecionado aleatoriamente em uma distribuição normal ser menor ou igual ao escore-z fornecido. Ela corresponde à área sob a curva normal à esquerda desse ponto.

O que acontece se o desvio-padrão for zero?
O escore-z fica indefinido, pois a fórmula exigiria uma divisão por zero. Um desvio-padrão igual a zero significa que todos os valores do conjunto de dados são idênticos.

Referências

1. Escore padronizado, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Distribuição normal e escores-z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review