Calculator Valori Critice | Test Z, Test t, Chi-Pătrat

O valoare critică este punctul de prag pe o distribuție de probabilitate care marchează marginea „regiunii de respingere” într-un test de ipoteză. Dacă o statistică de test depășește valoarea critică, rezultatul este considerat semnificativ statistic, iar ipoteza nulă este respinsă. Acest calculator determină valorile critice pentru cele mai comune trei teste: testul Z, testul t și testul chi-pătrat.

Ce este o valoare critică?

În statistică, cercetătorii pornesc adesea de la o ipoteză nulă, o presupunere simplă că nu se întâmplă nimic neobișnuit (de exemplu, că un medicament nou nu are niciun efect). O statistică de test este calculată din datele eșantionului și comparată cu o valoare critică pentru a decide dacă datele oferă suficiente dovezi împotriva ipotezei nule.

Valoarea critică depinde de trei lucruri: alegerea testului, nivelul de semnificație (notat cu α, litera grecească alfa) și faptul că testul este unilateral sau bilateral. Nivelul de semnificație este probabilitatea de a respinge în mod eronat o ipoteză nulă adevărată, fiind stabilit adesea la 0,05 (5 %) sau 0,01 (1 %).

Un test unilateral verifică existența unui efect într-o singură direcție, cum ar fi „mai mare decât”. Acesta are o singură valoare critică. Un test bilateral verifică existența unui efect în oricare dintre direcții și are două valori critice, câte una pe fiecare parte a distribuției.

Cum se calculează o valoare critică

1. Alegeți testul: testul Z (eșantioane mari sau varianță cunoscută a populației), testul t (eșantioane mici cu varianță necunoscută) sau testul chi-pătrat (date categoriale sau test de concordanță).
2. Alegeți tipul de test: unilateral sau bilateral.
3. Alegeți nivelul de semnificație α, un număr între 0 și 1. Valorile uzuale sunt 0,10, 0,05 și 0,01.
4. Pentru un test t sau un test chi-pătrat, introduceți gradele de libertate (df). Pentru un test t, df este egal cu dimensiunea eșantionului minus 1. Pentru un test chi-pătrat de concordanță, df este egal cu numărul de categorii minus 1.
5. Căutați (sau calculați) valoarea care delimitează aria aleasă a cozii sub curba distribuției. Aceasta este valoarea critică.

Formulele valorilor critice

Fiecare formulă folosește inversa unei funcții de distribuție cumulative: valoarea lui x pentru care aria de sub curbă până la x este egală cu o probabilitate-țintă p.

Formula testului Z

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(unilateral)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(bilateral)}$

Φ⁻¹ este inversa funcției de distribuție cumulative normale standard.

Formula testului t

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(unilateral)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(bilateral)}$

t⁻¹(p, df) este inversa funcției de distribuție cumulative a distribuției t cu df grade de libertate.

Formula testului chi-pătrat

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(unilateral)}$ $\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(bilateral)}$

Distribuția chi-pătrat admite numai valori pozitive, astfel încât ambele valori critice sunt pozitive, iar cea inferioară este mai mică decât cea superioară.

Exemplu: valoarea critică pentru testul Z

O echipă de control al calității dorește o valoare critică pentru un test Z unilateral la α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Orice statistică de test mai mare decât 1,6449 se încadrează în regiunea de respingere.

Exemplu: valoarea critică pentru testul t

Un cercetător efectuează un experiment cu 20 de participanți, astfel că df = 19. El dorește o valoare critică bilaterală la α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Regiunile de respingere sunt t < -2,8609 și t > 2,8609.

Exemplu: valorile critice pentru testul chi-pătrat

Un analist compară frecvențele observate și așteptate pentru 5 categorii, astfel că df = 4. El dorește valori critice bilaterale la α = 0,05.

$\chi^2_{\text{inferior}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{superior}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

O statistică chi-pătrat mai mică decât 0,4844 sau mai mare decât 11,1433 s-ar încadra în regiunea de respingere.

Valori critice uzuale

Pe măsură ce numărul gradelor de libertate crește, valorile critice ale distribuției t se apropie de valorile corespunzătoare ale testului Z, deoarece distribuția t se apropie de distribuția normală.

Întrebări frecvente

La ce se folosește o valoare critică? Aceasta stabilește limita pentru a decide dacă o statistică de test este suficient de extremă pentru a respinge ipoteza nulă. Dacă statistica depășește valoarea critică, rezultatul este semnificativ statistic la nivelul α ales.

Care este diferența dintre o valoare critică unilaterală și una bilaterală? Un test unilateral caută un efect într-o singură direcție și are o singură valoare critică. Un test bilateral caută un efect în oricare dintre direcții și are două valori critice, poziționate simetric în jurul centrului pentru testul Z și testul t. Pentru același α, o valoare critică bilaterală are o valoare absolută mai mare decât una unilaterală, deoarece aceeași probabilitate totală este împărțită între două cozi în loc de una.

Când trebuie utilizat un test Z în locul unui test t? Un test Z este utilizat atunci când varianța populației este cunoscută sau eșantionul este mare, de obicei cu 30 sau mai multe observații. Un test t este utilizat pentru eșantioane mai mici, cu varianța populației necunoscută. Pe măsură ce dimensiunea eșantionului crește, valorile critice ale testului t converg către valorile critice ale testului Z.

Poate fi o valoare critică negativă? Da. Distribuțiile testului Z și ale testului t sunt simetrice în jurul lui zero, astfel încât un test bilateral are o valoare critică negativă și una pozitivă. Valorile critice chi-pătrat sunt întotdeauna pozitive, deoarece distribuția chi-pătrat este definită numai pentru valori de zero sau mai mari.

Cum influențează gradele de libertate o valoare critică? Gradele de libertate măsoară cantitatea de informație independentă din date, de obicei dimensiunea eșantionului minus numărul parametrilor deja estimați. Un număr mai mic de grade de libertate produce distribuții mai largi, cu cozi mai grele, și valori critice mai mari. Un număr mai mare de grade de libertate apropie distribuția t și distribuția chi-pătrat de distribuția normală.

Ce valoare critică corespunde unui nivel de încredere de 95 %? Un nivel de încredere de 95 % folosește α = 0,05. Pentru un test Z bilateral, valorile critice sunt ±1,9600. Pentru un test Z unilateral, valoarea critică este 1,6449.

Istoric

Karl Pearson a introdus testul chi-pătrat în 1900. William Sealy Gosset, publicând sub numele „Student”, a dezvoltat distribuția t în 1908 pentru a trata eșantioane mici la fabrica de bere Guinness. Ronald Fisher a formalizat testarea semnificației și valorile critice în anii 1920, în cartea sa Statistical Methods for Research Workers. Înaintea computerelor, cercetătorii căutau valorile critice în tabele tipărite; calculatoarele și programele informatice le calculează acum direct din formulele distribuțiilor.

Referințe

1. Pearson, K. (1900). „On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling.” Philosophical Magazine, seria 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). „The probable error of a mean.” Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Edinburgh: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, „Critical Values.”