Calculator Z-Score - Instrument pentru Scor Standard și Probabilitate

Ce este un scor z?

Un scor z, numit și scor standard, măsoară câte deviații standard separă un punct de date de media unui set de date. Un scor z de 0 înseamnă că valoarea este egală cu media. Un scor z pozitiv înseamnă că valoarea este peste medie, iar unul negativ înseamnă că este sub medie.

Formula scorului z

Scorul z al unui punct de date se calculează cu formula:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Unde:

• $z$ este scorul z
• $x$ este punctul de date
• $\mu$ este media setului de date
• $\sigma$ este deviația standard a setului de date

Deviația standard nu poate fi zero, deoarece împărțirea la zero nu are un rezultat definit. De asemenea, nu poate fi negativă, deoarece, prin definiție, o deviație standard este întotdeauna zero sau pozitivă.

Cum se calculează un scor z

1. Calculați media setului de date adunând toate valorile și împărțind suma la numărul de valori, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Calculați deviația standard. Mai întâi calculați varianța, media diferențelor ridicate la pătrat față de medie, apoi extrageți rădăcina pătrată.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Aceasta este deviația standard a populației, care împarte la $n$. Când numerele reprezintă un eșantion prelevat dintr-un grup mai mare, împărțiți în schimb la $n - 1$.

3. Scădeți media din punctul de date și împărțiți rezultatul la deviația standard.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Exemplu de calcul

Un elev obține 85 la un test. Media clasei este 75, iar deviația standard a punctajelor clasei este 10.

• Punct de date: $x = 85$
• Media: $\mu = 75$
• Deviația standard: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Scorul z al elevului este 1,0. Punctajul său este cu o deviație standard peste media clasei.

Scorul z și probabilitatea cumulativă

Un scor z poate fi convertit într-o probabilitate cumulativă, adică probabilitatea ca o valoare aleasă aleatoriu dintr-o distribuție normală să fie egală cu acel punct sau mai mică decât acesta. Aceasta este aria de sub curba normală standard situată la stânga lui $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Pentru scorul z al elevului, 1,0, probabilitatea cumulativă este de aproximativ 0,8413, adică 84,13 %. Aceasta înseamnă că elevul a obținut un punctaj mai bun decât aproximativ 84 % din clasă, presupunând că punctajele urmează o distribuție normală. Calculatorul afișează scorul z cu patru zecimale, iar probabilitatea cumulativă ca procent cu două zecimale.

Câteva valori de referință:

Interpretarea unui scor z

Majoritatea valorilor dintr-o distribuție normală se află în intervalul de 2 deviații standard față de medie. Scorurile z mai mari decât +3 sau mai mici decât -3 sunt rare și sunt adesea tratate ca valori aberante, adică valori care diferă semnificativ de restul datelor.

Scorurile z permit și compararea valorilor măsurate pe scale diferite. Un punctaj la un test și o măsurătoare a înălțimii nu pot fi comparate direct, dar scorurile lor z pot fi comparate, deoarece ambele descriu distanța față de o medie în aceleași unități de deviație standard.

Scorul z comparat cu scorul t

Un scor z presupune că deviația standard a populației este cunoscută și funcționează cel mai bine pentru eșantioane mari. În schimb, un scor t este utilizat când deviația standard a populației este necunoscută, iar eșantionul este mic, de obicei cu mai puțin de 30 de observații. Ambele descriu distanța față de o medie, dar un scor t provine din distribuția t, care are cozi mai grele pentru a ține cont de incertitudinea suplimentară dintr-un eșantion mic.

Utilizări frecvente ale scorurilor z

• Testare standardizată. Compararea punctajului brut al unui elev cu distribuția generală a punctajelor.
• Detectarea valorilor aberante. Identificarea punctelor de date aflate departe de medie într-un set de date.
• Controlul calității. Verificarea încadrării unui produs fabricat într-un interval acceptabil.
• Testarea ipotezelor. Testele z utilizează scoruri z pentru a determina dacă media unui eșantion diferă semnificativ de media cunoscută a populației.

Istoric

Scorul z se bazează pe distribuția normală, descrisă de Abraham de Moivre în 1733 și dezvoltată ulterior de Carl Friedrich Gauss și Pierre-Simon Laplace la începutul secolului al 19-lea. Standardizarea valorilor în unități de deviație standard a devenit o practică obișnuită în testarea psihologică și în controlul calității în secolul al 20-lea.

Întrebări frecvente

Ce este un scor z în statistică? Un scor z reprezintă numărul de deviații standard la care se află un punct de date față de media setului său de date. Se calculează cu formula z = (x − μ) / σ.

Cum interpretez rezultatul unui scor z? Un scor z de 0 înseamnă că valoarea este egală cu media. O valoare pozitivă este peste medie, iar una negativă este sub medie. Valorile mai mari decât +3 sau mai mici decât -3 sunt neobișnuite.

Poate un scor z să fie negativ? Da. Un scor z negativ înseamnă pur și simplu că punctul de date este sub medie. Un scor z de -2 înseamnă că valoarea se află la 2 deviații standard sub medie.

Care este diferența dintre un scor z și un scor t? Un scor z este utilizat pentru eșantioane mari, când deviația standard a populației este cunoscută. Un scor t este utilizat pentru eșantioane mici, în general cu mai puțin de 30 de observații, când aceasta nu este cunoscută.

Ce înseamnă probabilitatea cumulativă pentru un scor z? Este probabilitatea ca o valoare selectată aleatoriu dintr-o distribuție normală să fie mai mică sau egală cu scorul z dat. Aceasta este egală cu aria de sub curba normală situată la stânga acelui punct.

Ce se întâmplă dacă deviația standard este zero? Scorul z este nedefinit, deoarece formula ar necesita împărțirea la zero. O deviație standard egală cu zero înseamnă că toate valorile din setul de date sunt identice.

Referințe

1. Scor standard, Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Distribuția normală și scorurile z, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review