Конвертер систем счисления: Двоичная, Шестнадцатеричная, Десятичная и Восьмеричная

Конвертер систем счисления

Конвертер систем счисления изменяет запись числа, переводя его из одной позиционной системы счисления в другую, не меняя его значения. Он может преобразовать двоичное число в десятичное, десятичное — в шестнадцатеричное или выполнить перевод между любыми двумя системами с основаниями от 2 до 36.

Что такое основание системы счисления?

Основание системы счисления, также называемое радиксом, — это количество различных цифр, используемых в системе до их повторения в новом разряде. Десятичная система, применяемая для повседневного счёта, имеет основание 10. В ней используются десять цифр: от 0 до 9. Двоичная система имеет основание 2 и использует только 0 и 1. Если основание больше 10, недостающие цифры обозначаются буквами: A обозначает 10, B — 11 и так далее до Z, которая обозначает 35. Это позволяет использовать основание 36 — наибольшее основание, поддерживаемое большинством конвертеров, — только с помощью 26 букв алфавита и 10 цифр.

Значение каждой цифры в числе определяется её разрядом и степенью основания. В десятичной системе запись «205» означает 2 сотни, 0 десятков и 5 единиц, поскольку 100 и 10 являются степенями 10. Тот же принцип действует в любой системе счисления: крайняя правая цифра умножается на основание⁰, следующая — на основание¹, затем следующая — на основание² и так далее.

Как перевести число в другую систему счисления

Перевод числа в десятичную систему

Чтобы перевести число из любой системы счисления в десятичную, умножьте каждую цифру на основание, возведённое в степень её разряда, считая справа от 0, а затем сложите полученные результаты.

Формула: значение = dₙ × основаниеⁿ + ... + d₁ × основание¹ + d₀ × основание⁰

Пример: Переведём число 101 из системы с основанием 5 в десятичную.

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

Таким образом, 101 в системе с основанием 5 равно 26 в десятичной системе.

Перевод десятичного числа в другую систему

Чтобы перевести десятичное число в систему с другим основанием, последовательно делите его на целевое основание и сохраняйте каждый остаток. Остановитесь, когда число достигнет 0, затем прочитайте остатки от последнего полученного к первому.

Пример: Переведём десятичное число 26 в систему с основанием 5.

• 26 ÷ 5 = 5, остаток 1
• 5 ÷ 5 = 1, остаток 0
• 1 ÷ 5 = 0, остаток 1
• Читаем остатки снизу вверх: 101

Это подтверждает предыдущий пример: 26 в десятичной системе — это 101 в системе с основанием 5.

Пример расчёта

Перевод из двоичной системы в десятичную: Двоичное число 1101 переводится в десятичное следующим образом: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Перевод из десятичной системы в шестнадцатеричную: Десятичное число 202 переводится в шестнадцатеричное следующим образом: 202 ÷ 16 = 12, остаток 10, затем 12 ÷ 16 = 0, остаток 12. В шестнадцатеричной системе 10 записывается как A, а 12 — как C. Чтение остатков снизу вверх даёт CA. Следовательно, 202 в десятичной системе равно CA в шестнадцатеричной.

Перевод из восьмеричной системы в двоичную: Сначала восьмеричное число 17 переводится в десятичное: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15. Затем десятичное число 15 переводится в двоичное как 1111. Таким образом, 17 в восьмеричной системе равно 1111 в двоичной.

Распространённые системы счисления

Очень большие числа

Некоторые преобразования связаны с числами, которые слишком велики для точного представления в стандартной арифметике двойной точности, например с 64-битовым шестнадцатеричным значением FFFFFFFFFFFFFFFF. Этот конвертер работает с целыми числами любого размера, используя целочисленную арифметику произвольной точности, поэтому при обработке длинных значений он не округляет числа и не теряет цифры.

Какие числа принимает конвертер

Инструмент обрабатывает целые неотрицательные числа, записанные цифрами исходной системы счисления. Буквы можно вводить в любом регистре, поэтому ff и FF означают 255 в системе с основанием 16. Пробелы перед числом и после него игнорируются. Любой другой символ, например знак минуса или десятичная точка, отклоняется с сообщением «Ввод содержит недопустимые символы для системы с основанием 16», где указывается выбранное основание исходной системы.

Часто задаваемые вопросы

В чём разница между двоичной и шестнадцатеричной системами?

В двоичной системе используются только две цифры: 0 и 1. В шестнадцатеричной системе используются шестнадцать символов: от 0 до 9 и от A до F. Поскольку 16 = 2⁴, каждая отдельная шестнадцатеричная цифра соответствует ровно четырём двоичным цифрам. Поэтому шестнадцатеричную систему часто используют как краткий способ записи двоичных значений.

Как вручную перевести десятичное число в двоичное?

Последовательно делите десятичное число на 2 и записывайте каждый остаток. Читайте остатки в обратном порядке — от последнего деления к первому. Например, 13 ÷ 2 = 6, остаток 1; 6 ÷ 2 = 3, остаток 0; 3 ÷ 2 = 1, остаток 1; 1 ÷ 2 = 0, остаток 1. Чтение снизу вверх даёт 1101, что в двоичной системе равно 13.

Какое наибольшее основание поддерживает этот инструмент?

Инструмент поддерживает основания от 2 до 36. Основание 36 — наибольшее возможное при использовании только десяти цифр 0–9 и двадцати шести букв A–Z, поскольку вместе они дают ровно 36 различных символов.

Может ли этот инструмент переводить отрицательные числа?

Нет. Он принимает только ноль и положительные целые числа. Чтобы перевести отрицательное число, переведите его абсолютное значение, а затем вручную добавьте к результату знак минуса.

Зачем нужны шестнадцатеричная и восьмеричная системы, если компьютеры используют двоичную систему?

Длинные последовательности 1 и 0 трудно читать и в них легко ошибиться при подсчёте. Поскольку 16 и 8 являются степенями 2, шестнадцатеричные и восьмеричные цифры однозначно соответствуют фиксированным группам двоичных цифр: четырём битам для шестнадцатеричной системы и трём битам для восьмеричной. Это делает длинные двоичные значения короче и облегчает их визуальную проверку.

Существует ли ограничение на размер числа, которое может преобразовать этот инструмент?

Практического ограничения нет. Инструмент использует арифметику произвольной точности, а не стандартные числа с плавающей запятой, поэтому преобразует очень длинные значения, в том числе превышающие точный диапазон представления обычного калькулятора, без ошибок округления.