Генератор и калькулятор арифметической последовательности - Бесплатный инструмент

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это список чисел, в котором каждый член получают прибавлением фиксированного числа к предыдущему члену. Это фиксированное число называется разностью прогрессии. В прогрессии 2, 5, 8, 11, 14 каждый член на 3 больше предыдущего, поэтому разность прогрессии равна 3. Арифметические прогрессии также называют арифметическими последовательностями.

Генератор арифметической прогрессии строит такой список по трём значениям:

• Первый член (a₁): начальное число.
• Разность прогрессии (d): фиксированное число, прибавляемое к каждому члену для получения следующего. Положительное значение увеличивает члены прогрессии. Отрицательное значение уменьшает их.
• Число членов (n): количество чисел в прогрессии.

В развернутом виде арифметическая прогрессия выглядит так: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d и так далее, вплоть до a₁ + (n − 1)d.

Формула арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

aₙ = a₁ + (n − 1) × d

• aₙ — значение члена, находящегося на позиции n.
• a₁ — первый член.
• n — позиция члена, считая от 1.
• d — разность прогрессии.

Выражение (n − 1) появляется потому, что к первому члену разность прогрессии ещё не прибавлялась. Ко второму члену она прибавляется один раз, к третьему — два раза и так далее. К n-му члену разность прогрессии прибавляется (n − 1) раз.

Формула суммы арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна:

Sₙ = (n / 2) × (a₁ + aₙ)

Sₙ — сумма первых n членов, а aₙ — последний член, включённый в эту сумму. Формула работает потому, что при попарном сложении первого и последнего членов, второго и предпоследнего и так далее сумма каждой пары получается одинаковой. Умножение этой суммы пары на половину числа членов даёт общую сумму.

Эквивалентная форма, для которой не нужно заранее знать последний член:

Sₙ = (n / 2) × (2a₁ + (n − 1) × d)

Эта формула приписывается математику Карлу Фридриху Гауссу: считается, что ещё в детстве он использовал способ попарного сложения, чтобы за несколько секунд сложить числа от 1 до 100: 50 пар, сумма каждой из которых равнялась 101, что в итоге давало 5 050.

Пример расчёта

Возьмём первый член 5, разность прогрессии 3 и 6 членов.

Прогрессия имеет вид 5, 8, 11, 14, 17, 20. Её сумма равна (6 / 2) × (5 + 20) = 3 × 25 = 75.

Как пользоваться калькулятором арифметической прогрессии

1. Введите первый член (a₁). Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю, а также может содержать десятичную часть.
2. Введите разность прогрессии (d). Она также может быть положительной, отрицательной, нулевой или дробной.
3. Введите число членов (n). Это должно быть целое число от 1 до 10 000. Десятичное значение округляется до ближайшего целого числа.
4. Прогрессия, число её членов и сумма появляются сразу после заполнения всех трёх полей. Отдельную кнопку нажимать не нужно.
5. Нажмите Копировать прогрессию, чтобы скопировать полный список членов.
6. Нажмите Очистить, чтобы очистить все три поля и начать заново.

Правила ввода

Для первого члена и разности прогрессии допускается любое действительное число, включая десятичные и отрицательные числа. Число членов считается целыми единицами, поэтому в прогрессии не может быть половины члена. Десятичное значение в поле округляется до ближайшего целого числа: ввод 10,5 даёт 11 членов. После этого число должно находиться в диапазоне от 1 до 10 000. Нулевое, отрицательное или превышающее 10 000 число вызывает ошибку, а не отображение прогрессии. Ограничение 10 000 введено потому, что построение и отображение более длинного списка может замедлить работу веб-браузера.

Применение арифметических прогрессий

Арифметические прогрессии описывают всё, что изменяется на фиксированную величину через равные промежутки. План накоплений, начинающийся с 100 $ и увеличивающийся на 25 $ каждый месяц, образует арифметическую прогрессию: 100, 125, 150, 175 и так далее. Таймер обратного отсчёта, набор равномерно распределённых по времени встреч, а также индексы строк и столбцов, используемые в компьютерных программах, подчиняются той же закономерности. Учащиеся часто используют арифметические прогрессии для изучения закономерностей в начале курса алгебры, поскольку постоянная разность позволяет легко увидеть и проверить правило построения списка.

Связанная с ней закономерность — геометрическая прогрессия, в которой каждый член получают умножением на постоянный коэффициент, а не прибавлением фиксированного числа, например 2, 6, 18, 54. Геометрические прогрессии моделируют ускоряющийся со временем рост, например рост сложных процентов, в отличие от устойчивого линейного изменения в арифметической прогрессии.

История

Арифметические прогрессии относятся к числу древнейших изучаемых закономерностей в математике. Египетский документ, известный как математический папирус Ринда и датируемый примерно 1650 годом до н. э., содержит задачи, в которых арифметические прогрессии используются для распределения товаров. В древневавилонских текстах подобные закономерности встречаются ещё раньше. Позднее греческие математики, включая Евклида примерно в 300 году до н. э., дали формальные доказательства свойств этих прогрессий, которые преподаются и сегодня.

Часто задаваемые вопросы

Что такое арифметическая прогрессия простыми словами?

Это список чисел, в котором для получения следующего числа каждый раз прибавляют одну и ту же величину. В прогрессии 2, 5, 8, 11 эта величина равна 3.

Как найти n-й член, не выписывая все предыдущие члены?

Формула aₙ = a₁ + (n − 1) × d позволяет найти любой член напрямую. Для прогрессии, начинающейся с 3 и имеющей разность 7, 50-й член равен 3 + (49 × 7) = 346.

В чём разница между арифметической и геометрической прогрессиями?

В арифметической прогрессии каждый раз прибавляют одно и то же значение, например 2, 5, 8, 11. В геометрической прогрессии каждый раз умножают на одно и то же значение, например 2, 6, 18, 54.

Может ли арифметическая прогрессия содержать отрицательные числа?

Да. Отрицательными могут быть первый член, разность прогрессии или оба значения. В прогрессии -10, -6, -2, 2, 6 разность равна 4. В обратном отсчёте 100, 90, 80, 70 разность равна -10.

Как найти разность прогрессии по списку чисел?

Вычтите любой член из следующего за ним: d = a₂ − a₁. В прогрессии 7, 12, 17, 22 это 12 − 7 = 5, а 17 − 12 также равно 5, что подтверждает: последовательность является арифметической прогрессией.

Каково максимальное число членов, которое может сгенерировать этот калькулятор?

До 10 000 членов. Ограничение введено потому, что отображение значительно более длинного списка может замедлить работу веб-браузера.