Калькулятор периода полураспада | Расчет радиоактивного распада и метаболизма лекарств

Что такое период полураспада?

Период полураспада — это время, за которое количество уменьшается вдвое. Этот калькулятор периода полураспада работает в одном направлении: введите скорость распада, и он выдаст период полураспада. Это понятие применимо к радиоактивным изотопам, выведению лекарств из организма и любому другому процессу, который экспоненциально затухает.

Период полураспада не зависит от количества присутствующего материала. Уран-238 имеет период полураспада около 4,5 млрд лет независимо от того, составляет ли образец один килограмм или количество, соответствующее одному атому в большой совокупности. Период полураспада определяется только скоростью распада вещества.

Формула периода полураспада

Стандартная формула имеет вид:

t½ = ln(2) / λ

• t½ — период полураспада в тех же единицах времени, в которых выражена λ.
• ln(2) — натуральный логарифм числа 2, приблизительно равный 0,6931.
• λ (лямбда) — постоянная распада, то есть доля вещества, распадающаяся за единицу времени.

Эта формула следует из уравнения экспоненциального распада:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Здесь N₀ — исходное количество, N(t) — количество, оставшееся по истечении времени t, а e — число Эйлера, приблизительно равное 2,718. Если приравнять N(t) к N₀/2 и решить уравнение относительно t, получится t½ = ln(2)/λ. Более высокая скорость распада означает меньший период полураспада, а более низкая — больший.

Единицы измерения скорости распада

Скорость распада λ измеряется в единицах, обратных времени: например, в секунду, в день или в год. Она должна соответствовать требуемой единице времени в ответе. Если скорость, указанную как «в день», интерпретировать как «в час», результат будет ошибочным в 24 раза, поэтому проверка единиц в начале расчёта помогает избежать распространения ошибок.

Как рассчитать период полураспада

1. Найдите постоянную распада. Найдите значение λ для вещества или выведите его из экспериментальных данных, внимательно учитывая единицу времени.
2. Разделите ln(2) на λ. Результат t½ = ln(2)/λ — это период полураспада в той же единице времени, что и λ.
3. Проверьте величину результата. Медицинский изотоп не должен давать период полураспада в миллион лет, а геологический — период полураспада, измеряемый днями. Результат, значительно выходящий за ожидаемый диапазон, обычно указывает на несоответствие единиц.

Для изотопов с очень большим периодом полураспада λ часто записывают в научной нотации, например 1,54 × 10⁻¹⁰ в год для урана-238. Поле скорости распада принимает такую запись в e-нотации: 1.54e-10.

Что показывает этот калькулятор

Калькулятор использует два входных значения. Исходное количество — это количество вещества в момент времени, равный нулю, в любых выбранных пользователем единицах; оно должно быть не меньше 0,1. Скорость распада — это λ, выраженная за единицу времени.

Результат — период полураспада, выведенный с точностью до четырёх знаков после запятой, в той же единице времени, что и λ. Ниже предложение повторяет результат в виде времени, необходимого для уменьшения исходного количества наполовину. Скорость распада, равная нулю или отрицательная, отклоняется, поскольку ln(2)/0 не имеет значения.

На графике показана зависимость N(t) = N₀ × e^(−λt) от нулевого момента до пяти периодов полураспада с использованием 101 равномерно расположенных точек. После пяти периодов полураспада остаётся 1/32 исходного количества, то есть около 3,1 %. Кривую можно скачать в виде таблицы с выбранным пользователем шагом.

Пример расчёта

Пример 1: радиоуглеродное датирование углеродом-14

Углерод-14 имеет скорость распада около 1,21 × 10⁻⁴ в год.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5 730 лет

Живые организмы непрерывно обмениваются углеродом с атмосферой, поддерживая постоянный уровень углерода-14. После смерти этот обмен прекращается, и уже присутствующий углерод-14 начинает распадаться по этому закону. Сравнение оставшегося углерода-14 со стабильным углеродом-12 позволяет учёным оценить, как давно умер организм. После примерно 60 000 лет метод становится ненадёжным, поскольку к этому времени остаётся слишком мало углерода-14 для точного измерения.

Пример 2: йод-131 в медицине

Йод-131, используемый для лечения заболеваний щитовидной железы и визуализации, имеет скорость распада около 0,0862 в день.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 дня

Примерно через 8 дней распадается половина введённой дозы йода-131. Десять периодов полураспада, то есть примерно 80 дней, снижают радиоактивность приблизительно до тысячной доли исходного уровня; больницы учитывают это при планировании мер безопасности пациентов и повторного использования помещений.

Пример 3: скорость выведения лекарства

Лекарственное средство выводится из организма со скоростью 0,2 в час.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 часа

Половина лекарства покидает кровоток примерно за 3,5 часа. Врачи используют этот показатель для выбора интервалов между дозами, чтобы концентрация лекарства оставалась в терапевтическом диапазоне: слишком короткий интервал создаёт риск накопления до токсичного уровня, а слишком длинный позволяет концентрации упасть ниже эффективной.

Связанные величины

Несколько других терминов описывают тот же процесс распада с разных сторон.

• Постоянная распада (λ) — входной параметр формулы периода полураспада. Она равна ln(2)/t½ и задаёт вероятность распада данного атома за единицу времени.
• Среднее время жизни (τ) — среднее время существования частицы до распада; оно равно 1/λ, или t½/ln(2). Оно примерно в 1,44 раза больше периода полураспада.
• Активность, измеряемая в беккерелях или кюри, — это число распадов в секунду в реальном образце. В отличие от λ, активность зависит от количества вещества: грамм короткоживущего изотопа имеет гораздо более высокую активность, чем грамм долгоживущего.
• Эффективный период полураспада применяется внутри живых организмов, где вещество удаляется как в результате физического распада, так и вследствие биологических процессов, например выведения. Он определяется из соотношения 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological и всегда короче одного лишь физического периода полураспада.

Применение периода полураспада

Радиометрическое датирование. Углерод-14 позволяет датировать органический материал возрастом до примерно 60 000 лет. Более долгоживущие изотопы используют для датирования более древних материалов: уран-238, распадающийся с образованием свинца-206 и имеющий период полураспада около 4,5 млрд лет, применяют для датирования пород, образовавшихся со времени возникновения Земли.

Обращение с ядерными отходами. Отработавшее ядерное топливо содержит смесь изотопов с очень разными периодами полураспада. Йод-131 становится безопасным в течение нескольких месяцев, тогда как плутоний-239 с периодом полураспада около 24 000 лет требует хранения на протяжении сотен тысяч лет.

Фармакология. Период полураспада лекарства определяет схему его дозирования. При регулярном приёме стабильная концентрация в крови достигается примерно через пять периодов полураспада, и для выведения лекарства из организма до пренебрежимо малого уровня также требуется около пяти периодов полураспада.

Ядерная медицина. Технеций-99m с периодом полураспада около 6 часов широко применяется в диагностической визуализации: он остаётся активным достаточно долго для получения изображения, но распадается достаточно быстро, чтобы ограничить радиационное облучение пациента.

Экологическое трассирование. Цезий-137 (около 30 лет) и стронций-90 (около 29 лет) используют для отслеживания загрязнения, вызванного ядерными авариями, поскольку их периоды полураспада достаточно велики для сохранения в течение десятилетий, но достаточно малы, чтобы со временем радиоактивность исчезла.

Часто задаваемые вопросы

Что такое период полураспада простыми словами?

Период полураспада — это время, необходимое для исчезновения или превращения в другое вещество половины некоторого количества. Если начать со 100 граммов радиоактивного изотопа, через один период полураспада останется 50 граммов, а ещё через один — 25 граммов. Это время одинаково независимо от исходного количества материала.

Как рассчитывается период полураспада по скорости распада?

Разделите ln(2), приблизительно равный 0,693, на скорость распада λ: t½ = ln(2)/λ. Результат будет выражен в той единице времени, в которой измерялась λ, поэтому скорость в год даёт период полураспада в годах.

Изменяют ли температура или давление период полураспада?

Нет. Периоды полураспада радиоактивных веществ определяются процессами внутри атомного ядра и не зависят от температуры, давления или химического состояния. Это отличается от биологических и эффективных периодов полураспада, которые могут изменяться под влиянием таких факторов, как обмен веществ.

Сколько периодов полураспада требуется, чтобы вещество практически исчезло?

Экспоненциальный распад никогда не достигает точно нулевого значения, но через 10 периодов полураспада остаётся лишь около 0,1 % исходного количества; на практике этот уровень обычно считают пренебрежимо малым.

Применим ли период полураспада к нерадиоактивным веществам?

Да. Период полураспада есть у любой величины, экспоненциально уменьшающейся со временем, включая выведение кофеина из кровотока, очищение организма от лекарств и разложение некоторых загрязнителей в почве или воде. В каждом случае применяется одна и та же формула: t½ = ln(2)/λ.

Насколько точна радиоуглеродная датировка углеродом-14?

Для образцов возрастом менее примерно 30 000 лет результаты обычно точны с погрешностью в несколько сотен лет после калибровки по данным годичных колец деревьев, учитывающей прошлые изменения содержания углерода-14 в атмосфере. После примерно 60 000 лет остаётся слишком мало углерода-14 для надёжного измерения.

Источники

1. L'Annunziata, Michael F. (2016). Radioactivity: Introduction and History, From the Quantum to Quarks. Elsevier Science. ISBN 978-0444634979.
2. Krane, Kenneth S. (1988). Introductory Nuclear Physics. Wiley. ISBN 978-0471805533.
3. Национальный институт стандартов и технологий. "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. Международное агентство по атомной энергии. "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html