Калькулятор критических значений | Z-тест, t-тест, Хи-квадрат

Критическое значение — это пороговая точка в распределении вероятностей, определяющая границу «критической области» при проверке гипотезы. Если статистика критерия выходит за критическое значение, результат считается статистически значимым, а нулевая гипотеза отклоняется. Этот калькулятор вычисляет критические значения для трёх наиболее распространённых критериев: Z-критерия, t-критерия и критерия хи-квадрат.

Что такое критическое значение?

В статистике исследователи часто начинают с нулевой гипотезы — простого предположения о том, что ничего необычного не происходит (например, что новый препарат не оказывает действия). По данным выборки вычисляют статистику критерия и сравнивают её с критическим значением, чтобы определить, достаточно ли данных для отклонения нулевой гипотезы.

Критическое значение зависит от трёх факторов: выбранного критерия, уровня значимости (обозначается как α, греческая буква альфа) и того, является ли критерий односторонним или двусторонним. Уровень значимости — это вероятность ошибочно отклонить истинную нулевую гипотезу; часто его устанавливают равным 0,05 (5 %) или 0,01 (1 %).

Односторонний критерий проверяет наличие эффекта в одном направлении, например «больше». У него одно критическое значение. Двусторонний критерий проверяет наличие эффекта в любом направлении и имеет два критических значения — по одному с каждой стороны распределения.

Как вычислить критическое значение

1. Выберите критерий: Z-критерий (для больших выборок или известной дисперсии генеральной совокупности), t-критерий (для малых выборок с неизвестной дисперсией) или критерий хи-квадрат (для категориальных данных или проверки согласия).
2. Выберите тип теста: односторонний или двусторонний.
3. Выберите уровень значимости α — число между 0 и 1. Распространённые значения: 0,10, 0,05 и 0,01.
4. Для t-критерия или критерия хи-квадрат введите число степеней свободы (df). Для t-критерия df равно объёму выборки минус 1. Для критерия хи-квадрат при проверке согласия df равно числу категорий минус 1.
5. Найдите (или вычислите) значение, отсекающее выбранную площадь хвоста под кривой распределения. Это и есть критическое значение.

Формулы критических значений

Каждая формула использует обратную функцию распределения: значение x, для которого площадь под кривой слева от x равна заданной вероятности p.

Формула z-теста

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(односторонний критерий)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(двусторонний критерий)}$

Φ⁻¹ — обратная функция стандартного нормального распределения.

Формула t-критерия

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(односторонний критерий)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(двусторонний критерий)}$

t⁻¹(p, df) — обратная функция распределения t-распределения с df степенями свободы.

Формула критерия хи-квадрат

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(односторонний критерий)}$ $\chi^2_{\text{нижнее}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{верхнее}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(двусторонний критерий)}$

Распределение хи-квадрат принимает только положительные значения, поэтому оба критических значения положительны, а нижнее меньше верхнего.

Пример: критическое значение для Z-критерия

Группа контроля качества хочет получить критическое значение для одностороннего Z-критерия при α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Любая статистика критерия, превышающая 1,6449, попадает в критическую область.

Пример: критическое значение для t-критерия

Исследователь проводит эксперимент с участием 20 человек, поэтому df = 19. Он хочет получить двустороннее критическое значение при α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Критические области: t < -2,8609 и t > 2,8609.

Пример: критические значения для критерия хи-квадрат

Аналитик сравнивает наблюдаемые и ожидаемые частоты в 5 категориях, поэтому df = 4. Он хочет получить двусторонние критические значения при α = 0,05.

$\chi^2_{\text{нижнее}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{верхнее}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Статистика хи-квадрат ниже 0,4844 или выше 11,1433 попадёт в критическую область.

Распространённые критические значения

По мере увеличения числа степеней свободы критические значения t-распределения приближаются к соответствующим значениям Z-критерия, поскольку t-распределение приближается к нормальному распределению.

Часто задаваемые вопросы

Для чего используется критическое значение? Оно задаёт границу, по которой определяют, достаточно ли статистика критерия экстремальна для отклонения нулевой гипотезы. Если статистика пересекает критическое значение, результат статистически значим при выбранном уровне α.

В чём разница между односторонним и двусторонним критическим значением? Односторонний критерий выявляет эффект в одном направлении и имеет одно критическое значение. Двусторонний критерий выявляет эффект в любом направлении и имеет два критических значения, симметрично расположенных относительно центра для Z-критерия и t-критерия. При одинаковом α двустороннее критическое значение по абсолютной величине больше одностороннего, поскольку одна и та же суммарная вероятность распределяется между двумя хвостами, а не одним.

Когда следует использовать Z-критерий вместо t-критерия? Z-критерий используют, когда дисперсия генеральной совокупности известна или выборка велика — обычно 30 наблюдений или больше. t-критерий применяют для меньших выборок с неизвестной дисперсией генеральной совокупности. По мере увеличения объёма выборки критические значения t-критерия приближаются к критическим значениям Z-критерия.

Может ли критическое значение быть отрицательным? Да. Распределения для Z-критерия и t-критерия симметричны относительно нуля, поэтому двусторонний критерий имеет одно отрицательное и одно положительное критическое значение. Критические значения хи-квадрат всегда положительны, поскольку распределение хи-квадрат определено только для значений, равных нулю или больше нуля.

Как степени свободы влияют на критическое значение? Степени свободы показывают, сколько независимой информации содержится в данных; обычно это объём выборки минус число уже оценённых параметров. При меньшем числе степеней свободы распределения становятся более широкими и имеют более тяжёлые хвосты, а критические значения увеличиваются. При большем числе степеней свободы t-распределение и распределение хи-квадрат приближаются к нормальному распределению.

Какое критическое значение соответствует доверительному уровню 95 %? Доверительный уровень 95 % соответствует α = 0,05. Для двустороннего Z-критерия критические значения равны ±1,9600. Для одностороннего Z-критерия критическое значение равно 1,6449.

История

Карл Пирсон ввёл критерий хи-квадрат в 1900 году. Уильям Сили Госет, публиковавшийся под псевдонимом «Student», разработал t-распределение в 1908 году для работы с малыми выборками на пивоварне Guinness. Рональд Фишер систематизировал проверку значимости и критические значения в 1920-х годах в своей книге Statistical Methods for Research Workers. До появления компьютеров исследователи находили критические значения в печатных таблицах; теперь калькуляторы и программное обеспечение вычисляют их непосредственно по формулам распределений.

Источники

1. Pearson, K. (1900). «On the criterion that a given system of deviations... is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling». Philosophical Magazine, серия 5, 50(302), 157–175.
2. Student [Gosset, W. S.] (1908). «The probable error of a mean». Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Эдинбург: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, «Critical Values».