Калькулятор Z-значений - Инструмент стандартного балла и вероятности

Что такое z-оценка?

Z-оценка, также называемая стандартизированной оценкой, показывает, на сколько стандартных отклонений значение наблюдения отличается от среднего значения набора данных. Z-оценка 0 означает, что значение равно среднему. Положительная z-оценка означает, что значение выше среднего, а отрицательная — что оно ниже среднего.

Формула z-оценки

Z-оценка наблюдения рассчитывается по следующей формуле:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Где:

• $z$ — z-оценка
• $x$ — значение наблюдения
• $\mu$ — среднее значение набора данных
• $\sigma$ — стандартное отклонение набора данных

Стандартное отклонение не может быть равно нулю, поскольку деление на ноль не имеет определённого результата. Оно также не может быть отрицательным, поскольку по определению стандартное отклонение всегда равно нулю или является положительным.

Как рассчитать z-оценку

1. Найдите среднее значение набора данных, сложив все значения и разделив их сумму на количество значений, $n$.

$$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

2. Найдите стандартное отклонение. Сначала вычислите дисперсию — среднее значение квадратов отклонений от среднего, — затем извлеките из неё квадратный корень.

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{n}}$$

Это стандартное отклонение генеральной совокупности, при расчёте которого делят на $n$. Если числа являются выборкой из большей совокупности, вместо этого делите на $n - 1$.

3. Вычтите среднее значение из значения наблюдения и разделите результат на стандартное отклонение.

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Пример расчёта

Ученик получил за тест 85 баллов. Среднее значение по классу равно 75, а стандартное отклонение результатов класса — 10.

• Значение наблюдения: $x = 85$
• Среднее значение: $\mu = 75$
• Стандартное отклонение: $\sigma = 10$

$$z = \frac{85 - 75}{10} = 1.0$$

Z-оценка ученика равна 1,0. Его результат на одно стандартное отклонение выше среднего результата по классу.

Z-оценка и накопленная вероятность

Z-оценку можно преобразовать в накопленную вероятность — вероятность того, что случайно выбранное значение из нормального распределения окажется в этой точке или ниже. Это площадь под кривой стандартного нормального распределения слева от $z$.

$$P(Z \leq z) = \Phi(z)$$

Для z-оценки ученика, равной 1,0, накопленная вероятность составляет примерно 0,8413, или 84,13 %. Это означает, что результат ученика примерно выше результатов 84 % одноклассников, если считать, что результаты подчиняются нормальному распределению. Калькулятор показывает z-оценку с точностью до четырёх знаков после запятой, а накопленную вероятность — в виде процента с точностью до двух знаков после запятой.

Несколько опорных значений:

Интерпретация z-оценки

Большинство значений нормального распределения находится в пределах 2 стандартных отклонений от среднего. Z-оценки, превышающие +3 или -3, встречаются редко и часто рассматриваются как выбросы — значения, резко отличающиеся от остальных данных.

Z-оценки также позволяют сравнивать значения, измеренные в разных шкалах. Результат теста и измерение роста нельзя сравнивать напрямую, но их z-оценки сравнивать можно, поскольку обе показывают расстояние от среднего в одинаковых единицах стандартного отклонения.

Z-оценка и t-оценка

Z-оценка предполагает, что стандартное отклонение генеральной совокупности известно, и лучше всего подходит для больших выборок. T-оценка используется вместо неё, когда стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, а выборка мала — обычно менее 30 наблюдений. Обе оценки показывают расстояние от среднего, но t-оценка основана на t-распределении, у которого более тяжёлые хвосты, учитывающие дополнительную неопределённость в малой выборке.

Распространённые применения z-оценок

• Стандартизированные тесты. Сравнение исходного результата ученика с общим распределением результатов.
• Выявление выбросов. Обнаружение значений, сильно удалённых от среднего в наборе данных.
• Контроль качества. Проверка того, попадает ли изготовленное изделие в допустимый диапазон.
• Проверка гипотез. В z-тестах z-оценки используются для определения того, отличается ли среднее значение выборки статистически значимо от известного среднего значения генеральной совокупности.

История

Z-оценка основана на нормальном распределении, описанном Абрахамом де Муавром в 1733 году и позднее развитом Карлом Фридрихом Гауссом и Пьером-Симоном Лапласом в начале 19-го века. Приведение значений к единицам стандартного отклонения стало распространённой практикой в психологическом тестировании и контроле качества в течение 20-го века.

Часто задаваемые вопросы

Что такое z-оценка в статистике? Z-оценка — это число стандартных отклонений, на которое значение наблюдения отличается от среднего значения своего набора данных. Она рассчитывается по формуле z = (x − μ) / σ.

Как интерпретировать результат z-оценки? Z-оценка 0 означает, что значение равно среднему. Положительное значение находится выше среднего, а отрицательное — ниже него. Значения, превышающие +3 или -3, являются необычными.

Может ли z-оценка быть отрицательной? Да. Отрицательная z-оценка просто означает, что значение наблюдения ниже среднего. Z-оценка -2 означает, что значение находится на 2 стандартных отклонения ниже среднего.

В чём разница между z-оценкой и t-оценкой? Z-оценка используется для больших выборок, когда стандартное отклонение генеральной совокупности известно. T-оценка используется для малых выборок, обычно менее 30 наблюдений, когда оно неизвестно.

Что означает накопленная вероятность для z-оценки? Это вероятность того, что случайно выбранное значение из нормального распределения будет меньше или равно заданной z-оценке. Она равна площади под кривой нормального распределения слева от этой точки.

Что происходит, если стандартное отклонение равно нулю? Z-оценка не определена, поскольку формула требует деления на ноль. Стандартное отклонение, равное нулю, означает, что все значения в наборе данных идентичны.

Источники

1. Стандартизированная оценка, Википедия: https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_score
2. Нормальное распределение и z-оценки, Khan Academy: https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/z-scores/a/z-scores-review