Kalkulačka polčasu rozpadu | Výpočet rádioaktívneho rozpadu a metabolizmu liekov

Čo je polčas rozpadu?

Polčas rozpadu je čas potrebný na to, aby množstvo kleslo na polovicu svojej počiatočnej hodnoty. Táto kalkulačka polčasu rozpadu funguje jedným smerom: zadáte rýchlosť rozpadu a kalkulačka vráti polčas rozpadu. Tento pojem sa týka rádioaktívnych izotopov, liekov vylučovaných z tela aj akéhokoľvek iného procesu, ktorý sa exponenciálne rozkladá.

Polčas rozpadu nezávisí od množstva prítomného materiálu. Urán-238 má polčas rozpadu približne 4,5 miliardy rokov bez ohľadu na to, či vzorka váži jeden kilogram alebo zodpovedá jednému atómu z veľkej populácie. Polčas rozpadu určuje iba rýchlosť rozpadu danej látky.

Vzorec pre polčas rozpadu

Štandardný vzorec je:

t½ = ln(2) / λ

• t½ je polčas rozpadu v ľubovoľnej časovej jednotke, v ktorej je vyjadrená λ.
• ln(2) je prirodzený logaritmus čísla 2, približne 0,6931.
• λ (lambda) je konštanta rozpadu, teda vyjadruje podiel látky, ktorý sa rozpadne za jednotku času.

Tento vzorec vychádza z rovnice exponenciálneho rozpadu:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

Tu je N₀ počiatočné množstvo, N(t) je množstvo zostávajúce po čase t a e je Eulerovo číslo, približne 2,718. Ak položíme N(t) rovné N₀/2 a vyriešime rovnicu pre t, dostaneme t½ = ln(2)/λ. Vyššia rýchlosť rozpadu znamená kratší polčas rozpadu; nižšia rýchlosť rozpadu znamená dlhší polčas.

Jednotky rýchlosti rozpadu

Rýchlosť rozpadu λ sa vyjadruje v jednotkách prevráteného času, napríklad za sekundu, za deň alebo za rok. Musí zodpovedať časovej jednotke požadovanej vo výsledku. Ak sa rýchlosť uvedená ako „za deň“ vyhodnotí ako „za hodinu“, výsledok bude chybný o faktor 24, preto kontrola jednotiek na začiatku zabraňuje šíreniu chýb vo výpočte.

Ako vypočítať polčas rozpadu

1. Zistite konštantu rozpadu. Vyhľadajte λ pre danú látku alebo ju odvoďte z nameraných údajov, pričom dbajte na správnu časovú jednotku.
2. Vydeľte ln(2) hodnotou λ. Výsledok t½ = ln(2)/λ je polčas rozpadu v rovnakej časovej jednotke, v akej je vyjadrená λ.
3. Skontrolujte veľkosť výsledku. Zdravotnícky izotop by nemal mať polčas rozpadu milión rokov; geologický izotop by nemal mať polčas meraný v dňoch. Výsledok výrazne mimo očakávaného rozsahu zvyčajne poukazuje na nesúlad jednotiek.

Pri izotopoch s veľmi dlhým polčasom sa λ často zapisuje vo vedeckom zápise, napríklad 1,54 × 10⁻¹⁰ za rok pre urán-238. Pole pre rýchlosť rozpadu tento zápis prijíma v e-notácii, zadanej ako 1.54e-10.

Čo zobrazuje táto kalkulačka

Kalkulačka prijíma dva vstupy. Počiatočné množstvo je množstvo prítomné v čase nula, v ľubovoľnej jednotke zvolenej používateľom, a musí byť aspoň 0,1. Rýchlosť rozpadu je λ vyjadrená na jednotku času.

Výsledkom je polčas rozpadu zaokrúhlený na štyri desatinné miesta a uvedený v rovnakej časovej jednotke ako λ. Pod ním veta zopakuje výsledok ako čas potrebný na pokles počiatočného množstva na polovicu. Rýchlosť rozpadu rovná nule alebo menšia sa odmietne, pretože ln(2)/0 nemá hodnotu.

Graf zobrazuje N(t) = N₀ × e^(−λt) od času nula po päť polčasov rozpadu s použitím 101 rovnomerne rozmiestnených bodov. Po piatich polčasoch zostáva 1/32 počiatočného množstva, približne 3,1 %. Krivku možno stiahnuť ako tabuľku s krokom, ktorý si používateľ zvolí.

Vzorový príklad

Príklad 1: Datovanie pomocou uhlíka-14

Uhlík-14 má rýchlosť rozpadu približne 1,21 × 10⁻⁴ za rok.

t½ = ln(2) / (1,21 × 10⁻⁴) ≈ 5 730 rokov

Živé organizmy si nepretržite vymieňajú uhlík s atmosférou, čím si udržiavajú stálu úroveň uhlíka-14. Po smrti sa táto výmena zastaví a prítomný uhlík-14 sa začne rozpadať podľa tohto priebehu. Porovnanie zostávajúceho uhlíka-14 so stabilným uhlíkom-12 umožňuje vedcom odhadnúť, ako dávno organizmus uhynul. Metóda sa stáva nespoľahlivou po približne 60 000 rokoch, pretože dovtedy zostáva príliš málo uhlíka-14 na presné meranie.

Príklad 2: Jód-131 v medicíne

Jód-131 používaný na liečbu a zobrazovanie štítnej žľazy má rýchlosť rozpadu približne 0,0862 za deň.

t½ = ln(2) / 0,0862 ≈ 8,04 dní

Po približne 8 dňoch sa rozpadne polovica podanej dávky jódu-131. Desať polčasov rozpadu, približne 80 dní, zníži rádioaktivitu na približne tisícinu pôvodnej úrovne, čo nemocnice využívajú pri plánovaní opatrení na zaistenie bezpečnosti pacientov a pri uvoľňovaní miestností.

Príklad 3: Rýchlosť eliminácie lieku

Liečivo sa z tela odstraňuje rýchlosťou 0,2 za hodinu.

t½ = ln(2) / 0,2 ≈ 3,47 hodiny

Polovica lieku opustí krvný obeh približne za 3,5 hodiny. Lekári používajú túto hodnotu na stanovenie rozostupov medzi dávkami, aby koncentrácia lieku zostala v terapeutickom rozmedzí: príliš krátky interval hrozí hromadením lieku až na toxické úrovne a príliš dlhý interval spôsobí pokles koncentrácie pod účinnú úroveň.

Súvisiace veličiny

Ten istý proces rozpadu opisuje z rôznych hľadísk niekoľko ďalších pojmov.

• Konštanta rozpadu (λ) je vstupom do vzorca pre polčas rozpadu. Rovná sa ln(2)/t½ a vyjadruje pravdepodobnosť, že sa daný atóm rozpadne za jednotku času.
• Stredná doba života (τ) je priemerný čas, počas ktorého častica existuje pred rozpadom; rovná sa 1/λ alebo t½/ln(2). Je približne 1,44-krát dlhšia než polčas rozpadu.
• Aktivita, meraná v becquereloch alebo curie, je počet rozpadov za sekundu v skutočnej vzorke. Na rozdiel od λ závisí aktivita od množstva prítomného materiálu: gram izotopu s krátkym polčasom má omnoho vyššiu aktivitu než gram izotopu s dlhým polčasom.
• Efektívny polčas rozpadu sa uplatňuje v živých organizmoch, kde sa látka odstraňuje nielen fyzikálnym rozpadom, ale aj biologickými procesmi, napríklad vylučovaním. Určuje sa zo vzťahu 1/t_eff = 1/t_physical + 1/t_biological a vždy je kratší než samotný fyzikálny polčas rozpadu.

Použitie polčasu rozpadu

Rádioizotopové datovanie. Uhlík-14 umožňuje datovať organický materiál starý približne do 60 000 rokov. Izotopy s dlhším polčasom datujú starší materiál: urán-238 rozpadajúci sa na olovo-206, s polčasom rozpadu približne 4,5 miliardy rokov, sa používa na datovanie hornín vzniknutých od vzniku Zeme.

Nakladanie s jadrovým odpadom. Vyhorené palivo obsahuje zmes izotopov s veľmi rozdielnymi polčasmi rozpadu. Jód-131 sa stáva bezpečným v priebehu mesiacov, zatiaľ čo plutónium-239 s polčasom rozpadu približne 24 000 rokov si vyžaduje skladovanie v rozsahu stoviek tisíc rokov.

Farmakológia. Polčas rozpadu lieku určuje jeho dávkovací režim. Pri pravidelnom dávkovaní sa po približne piatich polčasoch dosiahne stabilná koncentrácia v krvi a približne päť polčasov trvá aj odstránenie lieku z tela na zanedbateľnú úroveň.

Jadrová medicína. Technécium-99m s polčasom rozpadu približne 6 hodín sa bežne používa pri diagnostickom zobrazovaní, pretože zostáva aktívne dostatočne dlho na vytvorenie snímky, ale zároveň sa rozpadá dostatočne rýchlo na obmedzenie radiačnej záťaže pacienta.

Environmentálne sledovanie. Cézium-137 (približne 30 rokov) a stroncium-90 (približne 29 rokov) sa používajú na sledovanie kontaminácie po jadrových haváriách, pretože ich polčasy sú dostatočne dlhé na to, aby pretrvali desaťročia, no zároveň dostatočne krátke na to, aby sa časom rozpadli.

Často kladené otázky

Čo je polčas rozpadu jednoducho povedané?

Polčas rozpadu je čas potrebný na to, aby polovica množstva zmizla alebo sa premenila na niečo iné. Ak začneme s 100 gramami rádioaktívneho izotopu, po jednom polčase zostane 50 gramov a po ďalšom polčase 25 gramov. Tento čas je rovnaký bez ohľadu na počiatočné množstvo materiálu.

Ako sa vypočíta polčas rozpadu z rýchlosti rozpadu?

Vydeľte ln(2), približne 0,693, rýchlosťou rozpadu λ: t½ = ln(2)/λ. Výsledok bude v rovnakej časovej jednotke, v akej bola nameraná λ, takže rýchlosť za rok poskytne polčas rozpadu v rokoch.

Mení teplota alebo tlak polčas rozpadu?

Nie. Rádioaktívne polčasy rozpadu sú určené procesmi vo vnútri atómového jadra a teplota, tlak ani chemický stav ich neovplyvňujú. To sa líši od biologických alebo efektívnych polčasov, ktoré sa môžu meniť vplyvom faktorov, ako je metabolizmus.

Po koľkých polčasoch je látka prakticky preč?

Exponenciálny rozpad nikdy nedosiahne presne nulu, ale po 10 polčasoch zostáva iba približne 0,1 % pôvodného množstva, čo sa v praxi zvyčajne považuje za zanedbateľnú úroveň.

Vzťahuje sa polčas rozpadu aj na nerádioaktívne veci?

Áno. Polčas rozpadu má každé množstvo, ktoré sa exponenciálne rozkladá, vrátane kofeínu, ktorý opúšťa krvný obeh, liekov odstraňovaných z tela a niektorých znečisťujúcich látok rozkladajúcich sa v pôde alebo vo vode. V každom prípade platí rovnaký vzorec t½ = ln(2)/λ.

Aké presné je datovanie pomocou uhlíka-14?

Pri vzorkách mladších než približne 30 000 rokov sú výsledky po kalibrácii podľa letokruhov, ktorá zohľadňuje minulé zmeny hladín uhlíka-14 v atmosfére, zvyčajne presné na niekoľko stoviek rokov. Po približne 60 000 rokoch zostáva príliš málo uhlíka-14 na spoľahlivé meranie.

Zdroje

1. L'Annunziata, Michael F. (2016). Radioactivity: Introduction and History, From the Quantum to Quarks. Elsevier Science. ISBN 978-0444634979.
2. Krane, Kenneth S. (1988). Introductory Nuclear Physics. Wiley. ISBN 978-0471805533.
3. National Institute of Standards and Technology. "Radionuclide Half-Life Measurements." https://www.nist.gov/pml/radionuclide-half-life-measurements
4. International Atomic Energy Agency. "Live Chart of Nuclides." https://www-nds.iaea.org/relnsd/vcharthtml/VChartHTML.html