Kalkulačka rádioaktívneho rozpadu - Výpočet polčasu a zostávajúceho množstva

Čo je kalkulačka rádioaktívneho rozpadu?

Kalkulačka rádioaktívneho rozpadu určuje, aké množstvo rádioaktívnej látky zostane po uplynutí daného času na základe jej polčasu rozpadu. Zadajte počiatočné množstvo, polčas rozpadu a uplynutý čas a kalkulačka zobrazí zostávajúce množstvo spolu s grafom krivky rozpadu.

Rádioaktívny rozpad je prirodzený proces, pri ktorom nestabilné atómové jadrá uvoľňujú energiu vo forme žiarenia a menia sa na iné, stabilnejšie jadro. Každý rádioaktívny izotop sa rozpadá vlastnou pevne stanovenou rýchlosťou, ktorú opisuje jeho polčas rozpadu: čas potrebný na rozpad polovice atómov vo vzorke. Táto rýchlosť sa nemení s teplotou, tlakom ani chemickou formou látky, preto sú výpočty rozpadu dostatočne spoľahlivé na použitie od liečby rakoviny až po datovanie starovekých artefaktov.

Vzorec rádioaktívneho rozpadu

Kalkulačka používa štandardnú rovnicu exponenciálneho rozpadu:

$N(t) = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}$

• $N(t)$ — zostávajúce množstvo po čase $t$
• $N_0$ — počiatočné množstvo
• $t$ — uplynutý čas
• $t_{1/2}$ — polčas rozpadu izotopu

Exponent $t / t_{1/2}$ udáva, koľko polčasov uplynulo. Po jednom polčase zostáva polovica pôvodného množstva. Po dvoch polčasoch zostáva štvrtina. Po troch zostáva osmina a tak ďalej.

Rovnaký zákon sa často zapisuje pomocou konštanty rádioaktívneho rozpadu, $\lambda$, namiesto polčasu rozpadu:

$N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \approx \frac{0.693}{t_{1/2}}$

Oba tvary poskytujú rovnaké výsledky. Tvar s polčasom rozpadu sa ľahšie používa pri ručnom výpočte, pretože $(1/2)^n$ má pre celé číslo polčasov zrejmý význam.

Ako rozumieť polčasu rozpadu

Polčasy rozpadu sa medzi izotopmi výrazne líšia. Polónium-214 má polčas rozpadu približne 164 mikrosekúnd. Telúr-128 má polčas rozpadu približne 2,2 septilióna (2,2 × 10²⁴) rokov. Po približne 10 polčasoch zostáva vo vzorke menej než 0,1 %, preto sa 10 polčasov často používa ako hrubé pravidlo na určenie, kedy je rádioaktívny zdroj „prakticky vyhasnutý“.

Ako vypočítať rádioaktívny rozpad

1. Zadajte počiatočné množstvo. Môže byť v ľubovoľnej jednotke — gramoch, atómoch, becquereloch alebo curie — a výsledok bude uvedený v rovnakej jednotke.
2. Zadajte polčas rozpadu izotopu a jeho časovú jednotku (sekundy, minúty, hodiny, dni alebo roky).
3. Zadajte uplynutý čas a jeho jednotku. Jednotka nemusí byť rovnaká ako jednotka polčasu rozpadu; kalkulačka pred výpočtom prevedie obe na rovnakú jednotku.
4. Prečítajte si zostávajúce množstvo a graf krivky rozpadu, ktorý zobrazuje množstvo počas celého zadaného časového intervalu.

Vzorový príklad

Jód-131 používaný pri liečbe a zobrazovaní štítnej žľazy má polčas rozpadu 8,02 dňa. Ak začíname s množstvom 1 000 milicurie, koľko zostane po 24,06 dňoch?

$t / t_{1/2} = 24.06 / 8.02 = 3$ $N(t) = 1000 \times (1/2)^3 = 1000 \times 0.125 = 125 \text{ milicurie}$

Uplynuli tri polčasy rozpadu, takže vzorka sa trikrát zmenšila na polovicu: 1 000 → 500 → 250 → 125 milicurie.

Bežné izotopy a ich polčasy rozpadu

Praktické využitie výpočtov rozpadu

Medicína. Zdroje na rádioterapiu, napríklad kobalt-60, pri rozpade strácajú intenzitu, takže počas životnosti zdroja treba predlžovať čas ožiarenia, aby sa dodala rovnaká dávka. Vyšetrenia v nukleárnej medicíne používajú izotopy s krátkym polčasom rozpadu, napríklad technécium-99m, pričom vyšetrenie je načasované tak, aby bola aktivita dostatočne vysoká na zobrazenie, ale zároveň dostatočne nízka na obmedzenie radiačnej dávky pacienta. Keďže jeho polčas rozpadu je 6 hodín, po 24 hodinách (štyroch polčasoch) zostáva približne 6 % pôvodnej aktivity; po dvoch dňoch (ôsmich polčasoch) zostáva menej než 1 %.

Datovanie. Archeológovia odhadujú vek organických pozostatkov meraním množstva zostávajúceho uhlíka-14 s využitím jeho 5 730-ročného polčasu rozpadu. Táto metóda funguje približne do 50 000–60 000 rokov, potom zostáva príliš málo uhlíka-14 na meranie. Geológovia určujú vek hornín počas oveľa dlhších období pomocou rozpadov uránu na olovo a draslíka na argón, čo umožnilo odhadnúť vek Zeme na približne 4,54 miliardy rokov.

Bezpečnosť a priemysel. Po jadrovej havárii predstavujú izotopy s krátkym polčasom rozpadu, napríklad jód-131, bezprostredné, ale dočasné nebezpečenstvo, zatiaľ čo izotopy s dlhým polčasom, napríklad cézium-137 (približne 30 rokov), zostávajú problémom celé desaťročia. Zdroje používané v priemyselnej rádiografii sa vyraďujú, keď rozpad predĺži čas ožiarenia na nepraktickú dĺžku, a vyhorené jadrové palivo sa celé roky skladuje v chladiacich bazénoch, pretože pri rozpade naďalej vytvára teplo.

Obmedzenia tejto kalkulačky

Táto kalkulačka spracúva jednoduchý rozpad jedného izotopu na stabilný produkt. Nemodeluje:

• Rozpadové reťazce. Mnohé ťažké izotopy sa pred dosiahnutím stabilného izotopu rozpadajú cez sériu rádioaktívnych dcérskych nuklidov. Urán-238 napríklad prechádza približne 14 krokmi, kým sa zmení na stabilné olovo-206. Určenie množstva každého medziproduktu si vyžaduje riešenie Batemanových rovníc, sústavy previazaných diferenciálnych rovníc.
• Malé vzorky. Vzorec opisuje priemerné správanie veľkého počtu atómov. Ak je vo vzorke iba niekoľko desiatok atómov, skutočný počet rozpadov v ľubovoľnom intervale kolíše okolo predpokladanej krivky.
• Kalibráciu. Pri datovaní nie je priamo vypočítaný vek totožný s kalendárnym vekom. Uhlíkové datovanie napríklad vyžaduje kalibračné krivky, ktoré korigujú zmeny obsahu uhlíka-14 v atmosfére v minulosti.

Často kladené otázky

Ako sa definuje polčas rozpadu? Polčas rozpadu je čas potrebný na rozpad polovice rádioaktívnych atómov vo vzorke. Pre daný izotop je konštantný bez ohľadu na veľkosť vzorky alebo fyzikálne podmienky.

Dá sa rádioaktívny rozpad urýchliť alebo spomaliť? Za bežných podmienok nie. Rýchlosť rozpadu neovplyvňuje teplota, tlak ani chemická väzba. Práve táto stálosť umožňuje spoľahlivé rádiometrické datovanie a plánovanie dávok. Niektoré zriedkavé spôsoby rozpadu, napríklad elektrónový záchyt, vykazujú nepatrné zmeny rýchlosti iba za extrémnych podmienok, ako sú podmienky vo vnútri hviezdy, ktoré sa na každodenné použitie nevzťahujú.

Čo sa stane po uplynutí mnohých polčasov rozpadu? Zostávajúce množstvo sa naďalej zmenšuje na polovicu, ale matematicky nikdy nedosiahne nulu. Po 10 polčasoch zostáva približne 0,0977 %. Po 20 polčasoch zostáva menej než milióntina pôvodného množstva. V radiačnej ochrane je 10 polčasov bežnou hranicou, po ktorej sa zdroj považuje za nevýznamný.

Ako prevádzať časové jednotky? 1 rok = 365,25 dňa, 1 deň = 24 hodín, 1 hodina = 60 minút, 1 minúta = 60 sekúnd. Kalkulačka prevod vykonáva automaticky, takže polčas rozpadu a uplynutý čas možno zadať v rôznych jednotkách.

Dá sa táto kalkulačka použiť na uhlíkové datovanie? Môže poskytnúť základný odhad s použitím 5 730-ročného polčasu rozpadu uhlíka-14. Profesionálne datovanie používa zverejnené kalibračné krivky na prevod základného výsledku na kalendárne roky, pretože hladiny uhlíka-14 v atmosfére sa v priebehu času menili.

Spracúva táto kalkulačka rozpadové reťazce? Nie. Vypočítava rozpad v jednom kroku, od materského izotopu po stabilný produkt. Izotopy, ktoré sa rozpadajú cez reťazec rádioaktívnych dcérskych produktov, napríklad urán-238, vyžadujú Batemanove rovnice, ktoré tento nástroj nerieši.