Kalkulatorj lokov - Izračun polmera, razpona in višine

Kaj je kalkulator obokov?

Kalkulator obokov izračuna mere krožnega oboka — njegov polmer, razpon in puščico — iz katerih koli dveh od teh vrednosti. Izračuna tudi dolžino loka in površino oboka. Arhitekti, gradbeniki in ljubiteljski ustvarjalci ga uporabljajo pri načrtovanju vrat, oken, mostov in vrtnih elementov ukrivljene oblike.

Ključne mere oboka

Krožni obok je del, odrezan od roba kroga. Njegovo obliko opisuje pet mer:

• Polmer: razdalja od središča tega kroga do katere koli točke na krivulji oboka.
• Razpon: ravna vodoravna razdalja med spodnjima koncema oboka, imenovana tudi širina.
• Puščica: navpična razdalja od črte naleganja (vodoravne črte, ki povezuje oba konca) do najvišje točke oboka.
• Dolžina loka: razdalja vzdolž ukrivljene črte oboka, od enega konca do drugega.
• Površina oboka: površina ukrivljenega območja, omejenega z obokom in vzmetno črto.

Formule za mere oboka

Te formule veljajo za krožni obok, izdelan iz odseka enega samega kroga. Veljajo za katero koli puščico do dvakratnika polmera. Ta razpon zajema oboke vrat, oken in mostov, ki jih izračunava večina ljudi, pa tudi podkvaste oboke, pri katerih se krivulja nadaljuje čez polkrog.

Formula za puščico (iz polmera in razpona)

$\text{Višinska razlika} = \text{Polmer} - \sqrt{\text{Polmer}^2 - \left(\frac{\text{Razpon}}{2}\right)^2}$

Velja, ko sta polmer in razpon pozitivna ter je razpon ≤ 2 × polmer.

Formula za polmer (iz razpona in puščice)

$\text{Polmer} = \frac{\text{Razpon}^2}{8 \times \text{Višinska razlika}} + \frac{\text{Višinska razlika}}{2}$

Velja, ko sta razpon in puščica pozitivna.

Formula za razpon (iz polmera in puščice)

$\text{Razpon} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Polmer} \times \text{Višinska razlika} - \text{Višinska razlika}^2}$

Velja, ko sta polmer in puščica pozitivna ter je puščica ≤ 2 × polmer.

Formula za dolžino loka

$\text{Dolžina loka} = \text{Polmer} \times \theta$

θ (theta) je središčni kot v radianih, ki ga krivulja oboka opiše v središču kroga. Ko puščica ni večja od polmera, je obok največ polkrog in θ je:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{razpon}}{2 \times \text{polmer}}\right)$

Ko je puščica večja od polmera, je obok večji od polkroga, θ pa predstavlja preostanek kroga:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{razpon}}{2 \times \text{polmer}}\right)$

Kalkulator oba primera obravnava v enem koraku: θ = 2 × atan2(razpon ÷ 2, polmer − puščica), pri čemer ostane rezultat natančen tudi pri polkrogu.

Formula za površino oboka

$\text{Površina oboka} = \frac{1}{2} \times \text{Polmer}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Razpon} \times (\text{Polmer} - \text{Višinska razlika})$

Kako uporabljati kalkulator obokov

Kalkulator ponuja tri načine, po enega za vsako mero, ki morda manjka.

Izračun puščice, ko sta znana polmer in razpon: vnesite polmer in razpon. Orodje vrne puščico, dolžino loka in površino oboka.

Izračun polmera, ko sta znana razpon in puščica: vnesite razpon in puščico. Orodje vrne polmer, dolžino loka in površino oboka.

Izračun razpona, ko sta znana polmer in puščica: vnesite polmer in puščico. Orodje vrne razpon, dolžino loka in površino oboka.

Kalkulator zavrne vnose, ki ne morejo tvoriti resničnega oboka. Razpon ne sme biti večji od dvakratnika polmera, puščica ne sme biti večja od dvakratnika polmera, vsaka mera pa mora biti pozitivno število. Ko vrednost krši eno od teh pravil, prikaže sporočilo o napaki.

Primer izračuna

Primer 1: vratni obok

Vratni obok ima razpon 36 palcev (91,4 cm) in puščico 12 palcev (30,5 cm).

Polmer = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 palcev (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianov

Dolžina loka = 19,5 × 2,352 = 45,86 palcev (116 cm)

Površina oboka = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 kvadratnih palcev (2010 cm²)

Primer 2: vrtni obok

Vrtni obok ima polmer 4 čevljev (1,2 m) in razpon 6 čevljev (1,8 m).

Puščica = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 čevlja (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianov

Dolžina loka = 4 × 1,696 = 6,78 čevljev (2,07 m)

Površina oboka = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 kvadratnih čevljev (0,523 m²)

Primer 3: mostni obok

Mostni obok ima razpon 50 čevljev (15 m) in puščico 15 čevljev (4,57 m).

Polmer = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 čevljev (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianov

Dolžina loka = 28,33 × 2,162 = 61,25 čevljev (18,7 m)

Površina oboka = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 kvadratnih čevljev (49,6 m²)

Pogoste uporabe izračunov obokov

Gradbeniki uporabljajo mere obokov za izdelavo opaža za betonske oboke, pripravo predlog iz opeke ali kamna za zidane oboke ter načrtovanje ukrivljenosti obokanih stropov. Projektanti mostov uporabljajo razpon, puščico in polmer za usklajevanje porazdelitve obtežbe s svetlo višino. Pri restavriranju se iste formule uporabljajo za ujemanje natančne geometrije zgodovinskega oboka pri njegovem popravilu ali ponovni gradnji. Vrtnarji in domači mojstri jih uporabljajo za obokane opore za vzpenjavke, prehode in okrasne odprtine.

Ta kalkulator je namenjen samo krožnim obokom, oblikovanim iz loka enega samega kroga. Elipsasti, parabolični, gotski in verižnični oboki sledijo drugačnim krivuljam in zahtevajo drugačne formule.

Kratka zgodovina oboka

Gradbeniki v starodavni Mezopotamiji so zgodnje oblike, podobne obokom, uporabljali že okoli 2500 pr. n. št., vendar je bila večina zgrajena z izzidavanjem — s skladanjem kamnov tako, da je vsaka plast segala čez spodnjo — in ne kot pravi ukrivljeni obok. Rimljani so polkrožni obok razvili v standardni način gradnje ter ga uporabljali pri akvaduktih, mostovih in stavbah, kot je Kolosej. Srednjeveški gradbeniki v Evropi so razvili koničasti gotski obok, ki jim je omogočil gradnjo višjih in lažjih konstrukcij. Poznejši arhitekti so se vrnili k polkrožnim oblikam, ki so temeljile na natančnih razmerjih, sodobni materiali, kot sta jeklo in armirani beton, pa zdaj omogočajo obokom premoščanje precej večjih razdalj.

Pogosta vprašanja

Kakšna je razlika med puščico in višino oboka?

Puščica je navpična razdalja od vzmetne črte do vrha krivulje oboka. Višina se včasih nanaša na skupno višino odprtine, vključno z morebitnim ravnim zidom pod vzmetno črto.

Ali ta kalkulator deluje za vse vrste obokov?

Ne. Deluje samo za krožne oboke, oblikovane kot odsek kroga. Eliptični, parabolični, gotski in verižni oboki sledijo drugačnim krivuljam in zahtevajo ločene formule.

Kakšno je razmerje med razponom in polmerom pri polkrožnem oboku?

Pri polkrožnem oboku je polmer enak polovici razpona, puščica pa je enaka polmeru. Obok tvori natanko polovico kroga.

Zakaj razpon ne sme biti večji od dvakratnika polmera?

Razpon, enak dvakratniku polmera, že tvori polkrog, najširši možni obok za ta polmer. Širši razpon se v krog sploh ne bi prilegal.

Zakaj puščica ne sme biti večja od dvakratnika polmera (v načinu za izračun razpona)?

Puščica se meri od vzmetne črte navzgor do najvišje točke oboka na istem krogu. Dvakratnik polmera je celotna višina tega kroga, zato bi večja puščica postavila vrh oboka povsem zunaj kroga. Puščica med polmerom in njegovim dvakratnikom je dovoljena. Obok je takrat večji od polkroga, kar je oblika, uporabljena pri podkvastih obokih.

Katere enote uporablja kalkulator?

Uporabna je katera koli skladna enota — palci, čevlji, metri ali centimetri. Vnesite vsako vrednost v isti enoti, rezultati pa bodo v tej isti enoti, pri čemer bo površina izražena v kvadratih te enote.