Kalkulator Poissonove porazdelitve - Izračun verjetnosti dogodkov

Kaj je kalkulator Poissonove porazdelitve?

Kalkulator Poissonove porazdelitve izračuna verjetnost, da se v določenem časovnem ali prostorskem intervalu zgodi določeno število dogodkov, če poznamo njihovo povprečno pogostost. Uporablja se, kadar se dogodki pojavljajo posamično in neodvisno drug od drugega s stalno povprečno hitrostjo. Značilna primera sta število telefonskih klicev, ki jih klicni center prejme v eni uri, ali število tipkarskih napak na strani.

Formula Poissonove porazdelitve

Poissonova porazdelitev podaja verjetnost natanko k dogodkov, kadar je povprečna hitrost λ (grška črka lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Vsak simbol pomeni:

• λ (lambda) — povprečno število dogodkov na interval. To je edini parameter porazdelitve.
• k — natančno število dogodkov, za katerega izračunavamo verjetnost. Biti mora celo število, 0 ali več.
• e — Eulerjevo število, stalnica, približno enaka 2,71828.
• k! — »fakulteta števila k«, produkt vseh celih števil od 1 do k. Na primer, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Po dogovoru je 0! = 1.

Formula potrebuje samo λ in k. Skupnega števila poskusov ne potrebuje, za razliko od binomske porazdelitve.

Kako izračunati Poissonovo verjetnost

1. Izberite λ, povprečno število dogodkov v proučevanem intervalu.
2. Izberite k, natančno število dogodkov, za katerega želite izračunati verjetnost.
3. Potencirajte e z negativnim λ: dobite e^(−λ).
4. Potencirajte λ s k: dobite λ^k.
5. Izračunajte k!, fakulteto števila k.
6. Zmnožite rezultata korakov 3 in 4, nato pa ju delite z rezultatom koraka 5.

Dobljeno število je verjetnost med 0 in 1. Pomnožite ga z 100, da jo izrazite v odstotkih.

Primer izračuna

Klicni center prejme povprečno 5 klicev na uro (λ = 5). Kolikšna je verjetnost, da v določeni uri prejme natanko 3 klice (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Množenje: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Deljenje z 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Verjetnost natanko 3 klicev v tej uri je približno 0,140 oziroma 14 %.

Več primerov

Kje se uporablja Poissonova porazdelitev

Poissonova porazdelitev modelira število redkih, neodvisnih dogodkov. Pogoste uporabe vključujejo:

• Klicni centri in podpora strankam: napovedovanje, koliko klicev ali klepetov prispe na uro.
• Proizvodnja: ocenjevanje števila napak v seriji izdelkov.
• Zavarovalništvo: ocenjevanje, koliko zahtevkov bo prispelo v določenem obdobju.
• Biologija in medicina: modeliranje števila mutacij ali širjenja redkih bolezni.
• Fizika: opisovanje radioaktivnega razpada, pri katerem vsak atom razpade neodvisno s stalno povprečno hitrostjo.
• Prometno inženirstvo in omrežja: ocenjevanje prihodov vozil na križišče ali zahtev, ki prispejo do strežnika.

Pogoji za uporabo Poissonove porazdelitve

Poissonova porazdelitev je primerna za določeno situacijo samo, če veljajo vsi ti pogoji:

• Dogodki se pojavljajo posamično; dva dogodka se ne moreta zgoditi v popolnoma istem trenutku.
• Dogodki se pojavljajo neodvisno — en dogodek ne poveča in ne zmanjša verjetnosti naslednjega.
• Povprečna hitrost λ ostane v proučevanem intervalu nespremenjena.

Če se hitrost skozi čas spreminja ali se dogodki ponavadi združujejo v skupine, preprosta Poissonova porazdelitev podatkov ne bo dobro opisala.

Poissonova porazdelitev v primerjavi s sorodnimi porazdelitvami

• Binomska porazdelitev: uporablja se, kadar obstaja določeno število poskusov in znana verjetnost uspeha pri vsakem poskusu, na primer pri 20 metih kovanca. Poissonova porazdelitev je mejna oblika binomske porazdelitve, ko število poskusov zelo naraste, verjetnost uspeha pri posameznem poskusu pa se približuje ničli, njun produkt pa ostaja približno enak λ.
• Normalna porazdelitev: pri velikem λ, približno nad 20, je Poissonova porazdelitev podobna zvonasto oblikovani normalni porazdelitvi s srednjo vrednostjo λ in varianco λ.
• Eksponentna porazdelitev: medtem ko Poissonova porazdelitev šteje, koliko dogodkov se zgodi v določenem intervalu, eksponentna porazdelitev opisuje čakalni čas med temi dogodki.

Opomba o zgodovini

Francoski matematik Siméon Denis Poisson je porazdelitev uvedel leta 1837 v knjigi o verjetnosti, uporabljeni pri sodbah sodišč. Sprva je pritegnila malo pozornosti. Njena uporaba se je razširila v začetku 20. stoletja, ko sta jo statistika, kot sta Ladislaus Bortkiewicz in Ronald Fisher, uporabila za dejanske podatke o številih, vključno z znano raziskavo pruskih vojakov, ki so umrli zaradi brc konj.

Pogosta vprašanja

Kaj pomeni lambda (λ) v Poissonovi porazdelitvi? Lambda je povprečno število dogodkov, pričakovano v proučevanem intervalu. Je tudi varianca porazdelitve, zato večji λ pomeni tako večje povprečno število dogodkov kot večji razpon možnih izidov.

Ali sta lahko k ali λ negativna ali ulomek? λ mora biti večji od 0, vendar je lahko decimalno število, na primer 2,5 dogodka na uro. k mora biti celo število 0 ali več, saj šteje dejanske dogodke; ne more biti negativno ali ulomek.

Kako se Poissonova porazdelitev razlikuje od binomske porazdelitve? Binomska porazdelitev zahteva določeno število poskusov in določeno verjetnost uspeha pri vsakem poskusu. Poissonova porazdelitev potrebuje samo povprečno hitrost in se uporablja za dogodke, ki bi se načeloma lahko zgodili poljubno mnogokrat.

Kdaj je namesto nje primerneje uporabiti normalno porazdelitev? Pri velikem λ, na splošno nad približno 20, normalna porazdelitev z enako srednjo vrednostjo in varianco dobro približa Poissonovo porazdelitev in jo je pogosto lažje ročno računati.

Zakaj kalkulator včasih prikaže število v znanstvenem zapisu? Rezultati so običajno prikazani na šest decimalnih mest. Kadar je verjetnost manjša od 0,0001, bi jo zaokroževanje na šest decimalnih mest spremenilo v 0,000000 in prikrilo, kako majhna je v resnici, zato kalkulator namesto tega preklopi na znanstveni zapis. Pri λ = 20 in k = 1 prikaže 4.122307e-8, kar pomeni 0,00000004122307.

Ali obstajajo omejitve za vrednosti, ki jih kalkulator sprejme? Da. λ mora biti večji od 0 in ne sme biti večji od 700, k pa mora biti celo število od 0 do 1000. Zunaj teh omejitev kalkulator prikaže napako. Omejitve ohranjajo rezultat znotraj območja števil, ki jih lahko računalnik shrani, graf pa pri razumnem številu stolpcev.

Ali Poissonova porazdelitev dopušča več kot en dogodek hkrati? Ne. Model predpostavlja, da se dogodki pojavljajo posamično. Če se dva dogodka redno zgodita skupaj, bo podatke bolje opisala druga porazdelitev.

Viri

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Pariz, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, razdelek 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp in Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.