Kalkulator gamma porazdelitve

Uvod

Gamma porazdelitev je neprekinjena verjetnostna porazdelitev, ki se široko uporablja na različnih področjih znanosti, inženirstva in financ. Značilna je po dveh parametrih: parametru oblike (k ali α) in parametru obsega (θ ali β). Ta kalkulator vam omogoča izračun različnih lastnosti gamma porazdelitve na podlagi teh vhodnih parametrov.

Formula

Verjetnostna gostota funkcije (PDF) gamma porazdelitve je dana z:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

Kjer:

• x > 0 je naključna spremenljivka
• k > 0 je parameter oblike
• θ > 0 je parameter obsega
• Γ(k) je gamma funkcija

Funkcija kumulativne porazdelitve (CDF) je:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

Kjer γ(k, x/θ) je spodnja nepopolna gamma funkcija.

Ključne lastnosti gamma porazdelitve vključujejo:

1. Povprečje: $E[X] = k\theta$
2. Varianca: $Var[X] = k\theta^2$
3. Asimetričnost: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. Kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$

Kako uporabljati ta kalkulator

1. Vnesite parameter oblike (k ali α)
2. Vnesite parameter obsega (θ ali β)
3. Kliknite "Izračunaj", da izračunate različne lastnosti gamma porazdelitve
4. Rezultati bodo prikazali povprečje, varianco, asimetričnost, kurtosis in druge pomembne informacije
5. Prikazana bo vizualizacija funkcije verjetnostne gostote

Izračun

Kalkulator uporablja zgoraj navedene formule za izračun različnih lastnosti gamma porazdelitve. Tukaj je korak za korakom razlaga:

1. Validirajte vhodne parametre (oba k in θ morata biti pozitivna)
2. Izračunajte povprečje: $k\theta$
3. Izračunajte varianco: $k\theta^2$
4. Izračunajte asimetričnost: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. Izračunajte kurtosis: $3 + \frac{6}{k}$
6. Izračunajte modus: $(k-1)\theta$ za k ≥ 1, sicer 0
7. Generirajte točke za krivuljo PDF z uporabo zgoraj navedene formule
8. Narišite krivuljo PDF

Numerične razmisleke

Pri izvajanju izračunov gamma porazdelitve je treba upoštevati več numeričnih vidikov:

1. Pri zelo majhnih parametrih oblike (k < 1) se PDF lahko približa neskončnosti, ko x pristopi k 0, kar lahko povzroči numerično nestabilnost.
2. Pri velikih parametrih oblike lahko gamma funkcija Γ(k) postane zelo velika, kar lahko povzroči preliv. V takih primerih je priporočljivo delati z logaritmom gamma funkcije.
3. Pri izračunu CDF je pogosto numerično bolj stabilno uporabiti specializirane algoritme za nepopolno gamma funkcijo, namesto neposredne integracije PDF.
4. Pri ekstremnih vrednostih parametrov je morda potrebno uporabiti razširjeno natančnost aritmetike za ohranjanje natančnosti.

Uporabne primere

Gamma porazdelitev ima številne aplikacije na različnih področjih:

1. Finance: Modeliranje porazdelitev dohodka, zneskov zavarovalnih zahtevkov in donosov sredstev
2. Meteorologija: Analiza vzorcev padavin in drugih vremenskih pojavov
3. Inženiring: Analiza zanesljivosti in modeliranje časov neuspeha
4. Fizika: Opisovanje časov čakanja med dogodki radioaktivnega razpada
5. Biologija: Modeliranje obilja vrst in ravni izražanja genov
6. Operativne raziskave: Teorija čakalnih vrst in upravljanje zalog

Alternativa

Čeprav je gamma porazdelitev vsestranska, obstajajo sorodne porazdelitve, ki so morda bolj primerne v določenih situacijah:

1. Eksponentna porazdelitev: Posebni primer gamma porazdelitve, ko je k = 1
2. Chi-kvadrat porazdelitev: Posebni primer gamma porazdelitve z k = n/2 in θ = 2
3. Weibullova porazdelitev: Pogosto uporabljena kot alternativa pri analizi zanesljivosti
4. Log-normalna porazdelitev: Še ena pogosta izbira za modeliranje nagnjenih, pozitivnih podatkov

Ocena parametrov

Pri delu z realnimi podatki je pogosto potrebno oceniti parametre gamma porazdelitve. Pogoste metode vključujejo:

1. Metoda momentov: Upoštevanje vzorčnih momentov do teoretičnih momentov
2. Maksimalna verjetnostna ocena (MLE): Iskanje parametrov, ki maksimizirajo verjetnost opazovanja podatkov
3. Bayesova ocena: Vključevanje predhodnega znanja o parametrih

Testiranje hipotez

Gamma porazdelitev se lahko uporablja v različnih testih hipotez, vključno z:

1. Testi dobrote prileganja za določitev, ali podatki sledijo gamma porazdelitvi
2. Testi za enakost parametrov obsega med dvema gamma porazdelitvama
3. Testi za enakost parametrov oblike med dvema gamma porazdelitvama

Zgodovina

Gamma porazdelitev ima bogato zgodovino v matematiki in statistiki:

• 18. stoletje: Leonhard Euler je uvedel gamma funkcijo, ki je tesno povezana z gamma porazdelitvijo
• 1836: Siméon Denis Poisson je uporabil poseben primer gamma porazdelitve v svojem delu o verjetnostni teoriji
• 1920-ih: Ronald Fisher je populariziral uporabo gamma porazdelitve v statistični analizi
• Sredina 20. stoletja: Gamma porazdelitev je postala široko uporabljena v analizi zanesljivosti in testiranju življenjske dobe
• Konec 20. stoletja do danes: Napredek v računalniški moči je olajšal delo z gamma porazdelitvami v različnih aplikacijah

Primeri

Tukaj je nekaj primerov kode za izračun lastnosti gamma porazdelitve:

1' Excel VBA funkcija za PDF gamma porazdelitve
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' Uporaba:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma porazdelitev (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Verjetnostna gostota')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## Primer uporabe:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## Izračun lastnosti
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Povprečje: {mean}")
29print(f"Varianca: {variance}")
30print(f"Asimetričnost: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Povprečje: ${mean}`);
19    console.log(`Varianca: ${variance}`);
20    console.log(`Asimetričnost: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// Primer uporabe:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// Narišite PDF (z uporabo hipotetične knjižnice za risanje)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

Ti primeri prikazujejo, kako izračunati lastnosti gamma porazdelitve in vizualizirati njeno funkcijo verjetnostne gostote z uporabo različnih programskih jezikov. Te funkcije lahko prilagodite svojim specifičnim potrebam ali jih vključite v večje sisteme statistične analize.

Reference

1. "Gamma porazdelitev." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Dostopano 2. avgusta 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Neprekinjene univariate porazdelitve, zvezek 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistične porazdelitve. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). Opomba o gamma porazdelitvi. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). Generalizacija gamma porazdelitve. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.