Kalkulator binomske porazdelitve - Brezplačno orodje za verjetnost

Kaj je kalkulator binomske porazdelitve?

Kalkulator binomske porazdelitve izračuna verjetnost, da se v določenem številu neodvisnih poskusov uspeh zgodi natanko določeno število krat, pri čemer ima vsak poskus enako verjetnost uspeha. Uporablja se v statistiki, nadzoru kakovosti, medicini in na vseh področjih, ki proučujejo ponavljajoče se dogodke z izidom da ali ne.

Osnovna zamisel je binomska porazdelitev, verjetnostni model za štetje uspehov pri ponavljajočih se poskusih, ki imajo le dva izida, običajno imenovana uspeh in neuspeh.

Formula binomske porazdelitve

Verjetnost, da se v n poskusih uspeh zgodi natanko k-krat, je:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Vsak simbol pomeni:

• n — število poskusov.
• k — število uspehov, za katerega želimo izračunati verjetnost.
• p — verjetnost uspeha pri posameznem poskusu, število med 0 in 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomski koeficient, to je število različnih načinov izbire k uspehov izmed n poskusov. Enak je $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Vsak poskus mora biti neodvisen, kar pomeni, da izid enega poskusa ne spremeni verjetnosti izida drugega, verjetnost uspeha p pa mora ostati enaka pri vseh poskusih. Posamezen poskus z dvema možnima izidoma, na primer en met kovanca, se imenuje Bernoullijev poskus. Binomska porazdelitev nastane s seštevanjem n Bernoullijevih poskusov.

Kako izračunati binomsko verjetnost

1. Zapišite n, k in p.
2. Izračunajte binomski koeficient $\binom{n}{k}$, to je število načinov razporeditve k uspehov med n poskusi.
3. Potencirajte p s k.
4. Potencirajte (1 − p) z (n − k).
5. Pomnožite vsa tri števila.

Kalkulator na tej strani te korake izvede samodejno. Vnesite n, p in k; vrne P(X = k) ter stolpčni graf, ki prikazuje verjetnost vsakega možnega izida od 0 do n uspehov.

Primer izračuna

Primer 1: meti kovanca

Pošten kovanec vrzite 10-krat. Kolikšna je verjetnost, da dobite natanko 3 grbe?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Rezultat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172 oziroma približno 11,72 %

Primer 2: nadzor kakovosti

V tovarni pregledajo 100 izdelkov. Pri vsakem obstaja 2 % verjetnost, da je pokvarjen. Kolikšna je verjetnost, da nobeden od 100 izdelkov ni pokvarjen?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Ker je k = 0, se formula poenostavi v $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Rezultat: ≈ 0,1326 oziroma približno 13,26 %

Primer 3: testiranje bolezni

V mestu testirajo 1.000 ljudi za bolezen, ki okuži 0,1 % prebivalstva (p = 0,001). Kolikšna je verjetnost, da je okuženih natanko 5 od 1.000 ljudi?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Rezultat: 8.250.291.250.200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305 oziroma približno 0,30 % (natančna vrednost 0,0030488 oziroma 0,30488 %)

Srednja vrednost in varianca

Za binomsko porazdelitev s parametroma n in p:

• Srednja vrednost (pričakovana vrednost): E(X) = np
• Varianca: Var(X) = np(1 − p)
• Standardni odklon: σ = √[np(1 − p)]

Srednja vrednost pove povprečno pričakovano število uspehov pri številnih ponovitvah. V primeru 1 je srednja vrednost 10 × 0,5 = 5 grb.

Kaj kalkulator sprejema

• n mora biti celo število 1 ali več. Decimalni vnos se zaokroži na najbližje celo število poskusov, zato se 10,9 obravnava kot 11.
• p mora biti med 0 in 1, vključno z obema mejama.
• k mora biti celo število 0 ali več in ne sme biti večje od n. 8 uspehov v 5 poskusih ni mogoče doseči, zato kalkulator namesto števila izpiše napako.

Če katero od polj ostane prazno, kalkulator ne prikaže rezultata ali grafa, namesto da bi ugibal vrednost.

Kdaj se uporablja binomska porazdelitev

Binomska porazdelitev je primerna le za situacije, v katerih veljajo vsi štirje pogoji:

1. Število poskusov n je vnaprej določeno.
2. Vsak poskus ima le dva izida: uspeh ali neuspeh.
3. Verjetnost uspeha p je pri vsakem poskusu enaka.
4. Poskusi so med seboj neodvisni.

Jemanje kart iz kompleta brez vračanja krši pogoj neodvisnosti, saj odstranitev karte spremeni verjetnost pri naslednjem žrebanju. V tem primeru se uporablja hipergeometrična porazdelitev.

Sorodne porazdelitve

• Poissonova porazdelitev: uporablja se za približek binomske porazdelitve, kadar je n velik in p majhen, tako da povprečno število uspehov (np) ostane zmerno. Pogosta je pri modeliranju redkih dogodkov, kot je primer bolezni v primeru 3.
• Normalna porazdelitev: pri velikem n in kadar p ni preblizu 0 ali 1 je binomska porazdelitev približno zvonaste oblike in jo je mogoče aproksimirati z normalno porazdelitvijo s pričakovano vrednostjo np in varianco np(1 − p).
• Hipergeometrična porazdelitev: uporablja se namesto binomske porazdelitve, kadar vzorčenje iz končne populacije poteka brez vračanja.

Pogosta vprašanja

Kaj počne kalkulator binomske porazdelitve?

Izračuna verjetnost, da se v n neodvisnih poskusih, pri katerih je verjetnost uspeha p, uspeh zgodi natanko k-krat, pri čemer uporabi formulo P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Kakšna je razlika med binomsko in normalno porazdelitvijo?

Binomska porazdelitev je diskretna, kar pomeni, da daje le celoštevilska števila uspehov. Normalna porazdelitev je zvezna. Pri velikem n je binomsko porazdelitev mogoče aproksimirati z normalno krivuljo s pričakovano vrednostjo np in varianco np(1 − p).

Ali je p lahko 0 ali 1?

Da. Če je p = 0, noben poskus ne more biti uspešen, zato je P(X = 0) = 1. Če je p = 1, je uspešen vsak poskus, zato je P(X = n) = 1. V teh primerih je verjetnost vseh drugih vrednosti k enaka 0.

Kakšno je razmerje med binomsko in Bernoullijevo porazdelitvijo?

Bernoullijeva porazdelitev opisuje en poskus z dvema izidoma (n = 1). Binomska porazdelitev je vsota n neodvisnih Bernoullijevih poskusov, zato je Bernoullijeva porazdelitev le binomska porazdelitev z n = 1.

Kako velik je lahko n, preden kalkulator postane nenatančen?

Kalkulator uporablja standardno aritmetiko dvojne natančnosti. Tri dele formule množi neposredno, pri čemer preide na logaritme, ko binomski koeficient preseže največje število, ki ga lahko shrani tip double; to se zgodi približno pri n = 1.000, kadar je k blizu n/2. Rezultati ostanejo pravilni tudi nad to mejo. Verjetnost, manjša od približno 1e-308, se izpiše kot 0, ker je noben tip double ne more shraniti.

Kako se izračuna binomski koeficient?

Binomski koeficient C(n, k) šteje število načinov izbire k elementov izmed n elementov ne glede na vrstni red. Enak je n! / (k! × (n − k)!). Kalkulator ga sestavlja po korakih: pomnoži z enim faktorjem in deli z naslednjim, zato mu ni treba shraniti celotnega faktoriala. Pri zelo velikem n namesto tega sešteje logaritme teh faktorjev.

Viri

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L. idr. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.