Калкулатор критичних вредности | З-тест, т-тест, Хи-квадрат тест

Критична вредност је гранична тачка на расподели вероватноће која означава границу „области одбацивања“ у тесту хипотезе. Ако тестна статистика пређе критичну вредност, резултат се сматра статистички значајним, а нулта хипотеза се одбацује. Овај калкулатор израчунава критичне вредности за три најчешћа теста: Z-тест, t-тест и хи-квадрат тест.

Шта је критична вредност?

У статистици истраживачи често полазе од нулте хипотезе, једноставне претпоставке да се не дешава ништа необично (на пример, да нови лек нема дејство). Тестна статистика се израчунава на основу података из узорка и упоређује се са критичном вредношћу како би се одлучило да ли подаци пружају довољно доказа против нулте хипотезе.

Критична вредност зависи од три ствари: избора теста, нивоа значајности (који се записује као α, грчко слово алфа) и тога да ли је тест једнострани или двострани. Ниво значајности је вероватноћа погрешног одбацивања тачне нулте хипотезе и често се поставља на 0,05 (5%) или 0,01 (1%).

Једнострани тест проверава постојање ефекта у једном смеру, на пример „веће од“. Он има једну критичну вредност. Двострани тест проверава постојање ефекта у било ком смеру и има две критичне вредности, по једну са сваке стране расподеле.

Како израчунати критичну вредност

1. Изаберите тест: Z-тест (за велике узорке или познату варијансу популације), t-тест (за мале узорке са непознатом варијансом) или хи-квадрат тест (за категоријалне податке или проверу сагласности).
2. Изаберите тип репа: једнострани или двострани.
3. Изаберите ниво значајности α, број између 0 и 1. Уобичајени избори су 0,10, 0,05 и 0,01.
4. За t-тест или хи-квадрат тест унесите број степени слободе (df). За t-тест, df је једнак величини узорка умањеној за 1. За хи-квадрат тест прилагођености, df је једнак броју категорија умањеном за 1.
5. Пронађите (или израчунајте) вредност која ограничава изабрану површину репа испод криве расподеле. То је критична вредност.

Формуле за критичне вредности

Свака формула користи инверзну функцију кумулативне расподеле: вредност x за коју је површина испод криве до x једнака циљној вероватноћи p.

Формула z-теста

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - \alpha) \quad \text{(једнострани)}$ $Z_c = \Phi^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right) \quad \text{(двострани)}$

Φ⁻¹ је инверзна функција кумулативне расподеле стандардне нормалне расподеле.

Формула за t-тест

$t_c = t^{-1}(1 - \alpha,\ df) \quad \text{(једнострани)}$ $t_c = t^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2},\ df\right) \quad \text{(двострани)}$

t⁻¹(p, df) је инверзна функција функције кумулативне расподеле t-расподеле са df степени слободе.

Формула за хи-квадрат тест

$\chi^2_c = \chi^2_{1-\alpha,\ df} \quad \text{(једнострани)}$ $\chi^2_{\text{доња}} = \chi^2_{\alpha/2,\ df}, \qquad \chi^2_{\text{горња}} = \chi^2_{1-\alpha/2,\ df} \quad \text{(двострани)}$

Хи-квадрат расподела има само позитивне вредности, па су обе критичне вредности позитивне, а доња је мања од горње.

Пример: критична вредност за Z-тест

Тим за контролу квалитета жели критичну вредност за једнострани Z-тест при α = 0,05.

$Z_c = \Phi^{-1}(1 - 0.05) = \Phi^{-1}(0.95) \approx 1.6449$

Свака тестна статистика већа од 1,6449 припада области одбацивања.

Пример: критична вредност за t-тест

Истраживач спроводи експеримент са 20 учесника, па је df = 19. Жели двострану критичну вредност при α = 0,01.

$t_c = t^{-1}(1 - 0.005,\ 19) = t^{-1}(0.995,\ 19) \approx 2.8609$

Области одбацивања су t < -2,8609 и t > 2,8609.

Пример: критичне вредности за хи-квадрат тест

Аналитичар упоређује уочене и очекиване фреквенције у 5 категорија, па је df = 4. Жели двостране критичне вредности при α = 0,05.

$\chi^2_{\text{доња}} = \chi^2_{0.025,\ 4} \approx 0.4844$ $\chi^2_{\text{горња}} = \chi^2_{0.975,\ 4} \approx 11.1433$

Хи-квадрат статистика мања од 0,4844 или већа од 11,1433 припадала би области одбацивања.

Уобичајене критичне вредности

Како број степени слободе расте, критичне вредности t-расподеле приближавају се одговарајућим вредностима за Z-тест, јер се t-расподела приближава нормалној расподели.

Најчешће постављана питања

За шта се користи критична вредност? Она поставља границу за одлучивање о томе да ли је тестна статистика довољно екстремна да би се нулта хипотеза одбацила. Ако статистика пређе критичну вредност, резултат је статистички значајан на изабраном нивоу α.

Која је разлика између једностране и двостране критичне вредности? Једнострани тест тражи ефекат у једном смеру и има једну критичну вредност. Двострани тест тражи ефекат у било ком смеру и има две критичне вредности, симетрично постављене око средишта код Z-теста и t-теста. За исто α, двострана критична вредност има већу апсолутну вредност од једностране, јер се иста укупна вероватноћа дели на два репа уместо на један.

Када треба користити Z-тест уместо t-теста? Z-тест се користи када је варијанса популације позната или је узорак велики, обично са 30 или више посматрања. t-тест се користи за мање узорке са непознатом варијансом популације. Како величина узорка расте, критичне вредности t-теста приближавају се критичним вредностима Z-теста.

Може ли критична вредност бити негативна? Да. Расподеле Z-теста и t-теста симетричне су око нуле, па двострани тест има једну негативну и једну позитивну критичну вредност. Критичне вредности хи-квадрат теста увек су позитивне, јер је хи-квадрат расподела дефинисана само за вредности једнаке нули или веће од нуле.

Како степени слободе утичу на критичну вредност? Степени слободе мере количину независних информација у подацима, обично величину узорка умањену за број већ процењених параметара. Мањи број степени слободе даје шире расподеле са тежим реповима и већим критичним вредностима. Већи број степени слободе приближава t-расподелу и хи-квадрат расподелу нормалној расподели.

Која критична вредност одговара нивоу поузданости од 95%? Ниво поузданости од 95% користи α = 0,05. За двострани Z-тест критичне вредности су ±1,9600. За једнострани Z-тест критична вредност је 1,6449.

Историја

Карл Пирсон је увео хи-квадрат тест у 1900. Вилијам Сили Госет, који је објављивао под именом „Студент“, развио је t-расподелу у 1908 како би обрадио мале узорке у пивари „Guinness“. Роналд Фишер је формализовао тестирање значајности и критичне вредности током 1920-их у својој књизи Статистичке методе за истраживаче. Пре појаве рачунара, истраживачи су критичне вредности тражили у штампаним табелама; калкулатори и софтвер их сада израчунавају директно из формула расподела.

Литература

1. Пирсон, К. (1900). „О критеријуму према којем се за дати систем одступања... може разумно претпоставити да је настао случајним узорковањем.“ Philosophical Magazine, серија 5, 50(302), 157–175.
2. Студент [Госет, В. С.] (1908). „Вероватна грешка средње вредности.“ Biometrika, 6(1), 1–25.
3. Фишер, Р. А. (1925). Статистичке методе за истраживаче. Единбург: Oliver & Boyd.
4. NIST/SEMATECH електронски приручник статистичких метода, „Критичне вредности“.