Калкулатор запремине купе - Израчунавање запремине купе и одсечене купе

Шта је калкулатор запремине купе?

Калкулатор за запремину купе израчунава запремину купе или зарубљене купе (зарубљена купа) на основу њеног полупречника и висине. Купа је тело са једном равном кружном основом која се постепено сужава до једне тачке, назване врх. Зарубљена купа је део који преостаје након што се врх купе одсече равним резом паралелним са основом, тако да уместо једне има две кружне основе.

Формула за запремину купе

Запремина пуне купе зависи од полупречника њене основе и њене висине.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V је запремина купе.
• r је полупречник кружне основе.
• h је висина, измерена праволинијски од основе до врха.
• π (пи) је приближно 3,14159.

Решен пример

Купа са полупречником основе од 3 јединице и висином од 4 јединице има следећу запремину:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 кубних јединица

Како израчунати запремину купе помоћу калкулатора

Калкулатор прима три улазна податка:

1. Полупречник — полупречник основе.
2. Висина — висина купе, од основе до врха.
3. Висина реза од основе (опционо) — удаљеност изнад основе на којој је купа пресечена, ако је њен врх одсечен.

Ако се висина реза остави празна или се унесе 0, добија се запремина пуне, несечене купе. Уношењем висине реза мање од пуне висине добија се запремина дела зарубљене купе испод реза. Дијаграм испод поља за унос означава иста три мерења на телу.

Калкулатор одбацује полупречник или висину који су једнаки нули, негативни, празни или превелики да би се обрадили као обичан број. У тим случајевима приказује обавештење уместо запремине, па никада не приказује измишљену вредност.

Формула за запремину зарубљене купе

Запремина зарубљене купе зависи од полупречника њених двеју кружних основа и њене сопствене висине.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R је полупречник веће, доње основе.
• r је полупречник мање, горње основе.
• h је висина зарубљене купе, измерена између две површи.

Калкулатор не тражи директно полупречник горње основе. Уместо тога, користи полупречник основе, висину коју би купа имала да није пресечена и висину реза. Затим израчунава полупречник горње основе применом сличних троуглова:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

где је c висина реза изнад основе, а f пуна висина несечене купе.

Решен пример

Претпоставимо да је полупречник основе 3 јединице, пуна висина несечене купе 12 јединица, а висина реза 4 јединице.

Полупречник горње основе = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 јединице

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 кубних јединица

Ако је висина реза једнака пуној висини или већа од ње, рез се налази на врху или изнад њега, па се ништа не уклања. Калкулатор тада враћа запремину пуне купе, а дијаграм приказује пуну купу.

Историја формуле за запремину купе

Старогрчки математичари први су повезали запремину купе са запремином ваљка. Демокриту, који је деловао крајем 5. века п. н. е., приписује се тврдња да је запремина купе једна трећина запремине ваљка са истом основом и висином. Он то није доказао. Еудокс из Книда, који је радио у наредном веку, дао је први строг доказ применом технике назване методом исцрпљивања, раним претходником интегралног рачуна. Формула V = (1/3)πr²h од тада је остала иста.

Примене израчунавања запремине купе

Запремине купа и зарубљених купа јављају се кад год се облик сужава од широке основе до тачке или мањег врха. Инжењери користе ове формуле за одређивање димензија конусних резервоара, бункера и левкова. Архитекте их користе за процену материјала за конусне кровове. Геолози их користе за процену запремине вулканских купа и сличних рељефних облика.

Најчешће постављана питања

Како се израчунава запремина купе?

Помножите π квадратом полупречника, добијени резултат помножите висином, а затим поделите са 3: V = (1/3)πr²h. Купа са полупречником од 5 cm и висином од 10 cm има запремину од приближно 261,80 кубних центиметара.

Која је формула за запремину зарубљене купе?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), где су R и r полупречници двеју кружних основа, а h сопствена висина зарубљене купе, измерена између тих основа.

Како калкулатор израчунава полупречник горње основе зарубљене купе?

Користи сличност троуглова. Полупречник горње површи једнак је полупречнику основе помноженом са (1 − висина реза ÷ пуна висина купе). Ово подразумева да зарубљена купа потиче од купе са правим страницама.

Шта се дешава ако је висина реза већа или једнака висини?

Калкулатор третира облик као пуну, несечену купу и враћа V = (1/3)πr²h, користећи унети полупречник и висину.

Шта се дешава ако је полупречник или висина једнака нули или негативна?

Калкулатор захтева да и полупречник и висина буду већи од нуле. Ако је било који од њих једнак нули, негативан, празан или превелик да би се обрадио као обичан број, приказује обавештење уместо запремине.

Како се запремина купе израчунава на основу пречника уместо полупречника?

Поделите пречник са 2 да бисте добили полупречник, а затим примените V = (1/3)πr²h на уобичајен начин.

Референце

1. Вајстштајн, Ерик В. "Cone." MathWorld—Веб ресурс Wolfram-а. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Вајстштајн, Ерик В. "Frustum." MathWorld—Веб ресурс Wolfram-а. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html