Valvkalkylator - Beräkna Radie, Spännvidd & Höjd

Vad är en bågkalkylator?

En bågkalkylator beräknar måtten för en cirkelbåge – radien, spännvidden och pilhöjden – utifrån vilka två av dessa värden som helst. Den beräknar också båglängden och bågarean. Arkitekter, byggare och hobbyanvändare använder den för att planera dörröppningar, fönster, broar och trädgårdsdetaljer med böjd form.

Viktiga bågmått

En cirkelbåge är en del som skurits ut från kanten av en cirkel. Fem mått beskriver dess form:

• Radie: avståndet från cirkelns centrum till en godtycklig punkt på bågens kurva.
• Spännvidd: det raka horisontella avståndet mellan bågens två nedre ändar, även kallat bredden.
• Pilhöjd: det vertikala avståndet från vederlagslinjen (den räta linje som förbinder de två ändarna) upp till bågens högsta punkt.
• Båglängd: avståndet längs bågens böjda linje, från den ena änden till den andra.
• Bågearea: arean av det krökta område som avgränsas av bågen och vederlagslinjen.

Formler för bågmått

Dessa formler gäller för en cirkelbåge, alltså en båge som bildats av ett segment från en enda cirkel. De gäller för alla pilhöjder upp till två gånger radien. Det intervallet omfattar de dörr-, fönster- och brobågar som de flesta beräknar, och även hästskobågar, där kurvan fortsätter förbi en halvcirkel.

Formel för pilhöjd (utifrån radie och spännvidd)

$\text{Stigning} = \text{Radie} - \sqrt{\text{Radie}^2 - \left(\frac{\text{Spännvidd}}{2}\right)^2}$

Gäller när radie och spännvidd är positiva och spännvidden ≤ 2 × radien.

Formel för radie (utifrån spännvidd och pilhöjd)

$\text{Radie} = \frac{\text{Spännvidd}^2}{8 \times \text{Stigning}} + \frac{\text{Stigning}}{2}$

Gäller när spännvidd och pilhöjd är positiva.

Formel för spännvidd (utifrån radie och pilhöjd)

$\text{Spännvidd} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Radie} \times \text{Stigning} - \text{Stigning}^2}$

Gäller när radie och pilhöjd är positiva och pilhöjden ≤ 2 × radien.

Formel för båglängd

$\text{Båglängd} = \text{Radie} \times \theta$

Här är θ (theta) den centrala vinkel, i radianer, som bågens kurva bildar vid cirkelns centrum. När pilhöjden inte är större än radien är bågen högst en halvcirkel och θ är:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spännvidd}}{2 \times \text{Radie}}\right)$

När pilhöjden är större än radien är bågen större än en halvcirkel, och θ är den återstående delen av varvet:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Spännvidd}}{2 \times \text{Radie}}\right)$

Kalkylatorn hanterar båda fallen i ett steg: θ = 2 × atan2(Spännvidd ÷ 2, Radie − Pilhöjd), vilket också förblir exakt för en halvcirkel.

Formel för bågearea

$\text{Bågearea} = \frac{1}{2} \times \text{Radie}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Spännvidd} \times (\text{Radie} - \text{Stigning})$

Så använder du bågkalkylatorn

Kalkylatorn har tre lägen, ett för varje mått som kan saknas.

Beräkna pilhöjd, när radie och spännvidd är kända: ange radien och spännvidden. Verktyget returnerar pilhöjd, båglängd och bågearea.

Beräkna radie, när spännvidd och pilhöjd är kända: ange spännvidden och pilhöjden. Verktyget returnerar radie, båglängd och bågearea.

Beräkna spännvidd, när radie och pilhöjd är kända: ange radien och pilhöjden. Verktyget returnerar spännvidd, båglängd och bågearea.

Kalkylatorn avvisar värden som inte kan bilda en verklig båge. Spännvidden får inte överstiga två gånger radien, pilhöjden får inte överstiga två gånger radien och alla mått måste vara positiva tal. Ett felmeddelande visas när ett värde bryter mot någon av dessa regler.

Räkneexempel

Exempel 1: Dörröppningsbåge

En dörröppningsbåge har en spännvidd på 36 tum (91,4 cm) och en pilhöjd på 12 tum (30,5 cm).

Radie = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 tum (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radianer

Båglängd = 19,5 × 2,352 = 45,86 tum (116 cm)

Bågearea = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 kvadrattum (2 010 cm²)

Exempel 2: Trädgårdsbåge

En trädgårdsbåge har en radie på 4 fot (1,2 m) och en spännvidd på 6 fot (1,8 m).

Pilhöjd = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 fot (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radianer

Båglängd = 4 × 1,696 = 6,78 fot (2,07 m)

Bågearea = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 kvadratfot (0,523 m²)

Exempel 3: Brobåge

En brobåge har en spännvidd på 50 fot (15 m) och en pilhöjd på 15 fot (4,57 m).

Radie = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 fot (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radianer

Båglängd = 28,33 × 2,162 = 61,25 fot (18,7 m)

Bågearea = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 kvadratfot (49,6 m²)

Vanliga användningsområden för bågberäkningar

Byggare använder bågmått för att skära form för betongbågar, utforma mallar av tegel eller sten för murverksbågar och planera krökningen hos välvda tak. Brokonstruktörer använder spännvidd, pilhöjd och radie för att balansera lastfördelning mot fri höjd. Vid restaurering används samma formler för att återskapa den exakta geometrin hos en historisk båge vid reparation eller återuppbyggnad. Trädgårdsanläggare och hemmafixare använder dem för välvda spaljéer, grindar och dekorativa öppningar.

Den här kalkylatorn gäller endast cirkelbågar, alltså bågar som bildats av en båge från en enda cirkel. Elliptiska, paraboliska, gotiska bågar och kedjelinbågar följer andra kurvor och kräver andra formler.

En kort historia om bågen

Byggare i det forntida Mesopotamien använde tidiga bågliknande former redan omkring 2500 f.Kr., även om de flesta byggdes genom kragstensteknik – genom att stapla sten så att varje lager skjuter ut över lagret under – snarare än som äkta välvda bågar. Romarna utvecklade den halvcirkelformade bågen till en standardmetod för byggande och använde den i akvedukter, broar och byggnader som Colosseum. Medeltida byggare i Europa utvecklade den spetsbågiga gotiska bågen, som gjorde det möjligt att bygga högre och lättare konstruktioner. Senare återvände arkitekter till halvcirkelformade former baserade på exakta proportioner, och moderna material som stål och armerad betong gör nu att bågar kan spänna över mycket större avstånd.

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan pilhöjd och höjd i en båge?

Pilhöjd är det vertikala avståndet från vederlagslinjen till toppen av bågens kurva. Höjd syftar ibland på den totala höjden hos en öppning, inklusive eventuell rak vägg under vederlagslinjen.

Fungerar den här kalkylatorn för alla bågtyper?

Nej. Den fungerar endast för cirkelbågar, alltså bågar formade som ett segment av en cirkel. Elliptiska, paraboliska, gotiska bågar och kedjelinbågar följer andra kurvor och kräver separata formler.

Vilket samband finns mellan spännvidd och radie i en halvcirkelformad båge?

I en halvcirkelformad båge är radien lika med halva spännvidden, och pilhöjden är lika med radien. Bågen bildar exakt en halv cirkel.

Varför kan spännvidden inte vara större än två gånger radien?

En spännvidd som är lika med två gånger radien bildar redan en halvcirkel, den bredaste möjliga bågen för den radien. En större spännvidd skulle inte få plats på cirkeln.

Varför kan pilhöjden inte vara större än två gånger radien (i läget Beräkna spännvidd)?

Pilhöjden mäts från vederlagslinjen upp till bågens högsta punkt på samma cirkel. Två gånger radien är cirkelns fulla höjd, så en större pilhöjd skulle placera bågens topp utanför cirkeln. En pilhöjd mellan radien och två gånger radien fungerar. Bågen är då större än en halvcirkel, vilket är formen hos hästskobågar.

Vilka enheter använder kalkylatorn?

Alla enheter som används konsekvent fungerar – tum, fot, meter eller centimeter. Ange alla värden i samma enhet, så blir resultaten i samma enhet, med area uttryckt i den enheten i kvadrat.