Konvolymkalkylator - Beräkna Konvolym och Frustumvolym

Vad är en volymkalkylator för koner?

En volymkalkylator för koner beräknar volymen av en kon eller en stympad kon (en konstymp) utifrån radien och höjden. En kon är en solid figur med en plan, cirkulär bas som jämnt smalnar av till en enda punkt, kallad spetsen. En stympad kon är det som återstår av en kon när toppen har skurits av med ett snitt parallellt med basen, så att två cirkulära ytor återstår i stället för en.

Formel för kons volym

Volymen av en hel kon beror på basens radie och kons höjd.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times r² \times h$

• V är konens volym.
• r är radien hos den cirkulära basen.
• h är höjden, mätt rakt från basen till spetsen.
• π (pi) är ungefär 3,14159.

Räkneexempel

En kon med basradien 3 enheter och höjden 4 enheter har volymen:

V = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37,70 kubikenheter

Så beräknar du kons volym med kalkylatorn

Kalkylatorn tar emot tre indata:

1. Radie — basens radie.
2. Höjd — kons höjd, från basen till spetsen.
3. Snitthöjd från basen (valfritt) — hur långt ovanför basen konen skärs av, om toppen skärs bort.

Om snitthöjden lämnas tom eller om 0 anges får man volymen av den hela, oskurna konen. Om en snitthöjd som är mindre än den fullständiga höjden anges, får man volymen av den stympade konen nedanför snittet. Diagrammet nedanför inmatningsfälten markerar samma tre mått på figuren.

Kalkylatorn avvisar en radie eller höjd som är noll, negativ, tom eller för stor för att kunna hanteras som ett vanligt tal. I dessa fall visas ett meddelande i stället för en volym, så att den aldrig visar ett påhittat värde.

Formel för den stympade kons volym

Volymen av en stympad kon beror på radierna hos dess två cirkulära baser och dess höjd.

$V = \frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R² + r² + R \times r)$

• R är radien hos den större, nedre ytan.
• r är radien hos den mindre, övre ytan.
• h är den stympade kons höjd, mätt mellan de två ytorna.

Kalkylatorn frågar inte direkt efter den övre radien. I stället använder den basradien, den höjd konen skulle ha om den inte hade skurits av och snitthöjden. Därefter beräknar den den övre radien med hjälp av likformiga trianglar:

$r = R \times \left(1 - \frac{c}{f}\right)$

där c är snitthöjden över basen och f den fullständiga höjden hos den oskurna konen.

Räkneexempel

Anta att basradien är 3 enheter, att den hela (oskurna) konens höjd är 12 enheter och att snitthöjden är 4 enheter.

Övre radie = 3 × (1 − 4/12) = 3 × 2/3 = 2 enheter

V = (1/3) × π × 4 × (3² + 2² + 3 × 2) = (1/3) × π × 4 × 19 = (76/3)π ≈ 79,59 kubikenheter

Om snitthöjden är lika med eller större än den fullständiga höjden ligger snittet vid eller ovanför spetsen, så inget tas bort. Kalkylatorn returnerar då volymen av den hela konen, och diagrammet visar den hela konen.

Historik bakom formeln för kons volym

Forntida grekiska matematiker var de första som kopplade en kons volym till volymen av en cylinder. Demokritos, verksam i slutet av 5:e århundradet f.Kr., tillskrivs påståendet att en kons volym är en tredjedel av volymen hos en cylinder med samma bas och höjd. Han bevisade det inte. Eudoxos från Knidos, som verkade under det följande århundradet, gav det första rigorösa beviset med en teknik kallad uttömningsmetoden, en tidig föregångare till integralkalkylen. Formeln V = (1/3)πr²h har förblivit oförändrad sedan dess.

Användningsområden för volymberäkningar av koner

Volymer av koner och stympade koner förekommer när en figur smalnar av från en bred bas till en spets eller en mindre topp. Ingenjörer använder formlerna för att dimensionera koniska tankar, trattar och behållare med trattbotten. Arkitekter använder dem för att uppskatta materialåtgången för koniska tak. Geologer använder dem för att uppskatta volymen av vulkaniska koner och liknande landformer.

Vanliga frågor

Hur beräknar man volymen av en kon?

Multiplicera π med radien i kvadrat, multiplicera resultatet med höjden och dividera sedan med 3: V = (1/3)πr²h. En kon med radien 5 cm och höjden 10 cm har volymen ungefär 261,80 kubikcentimeter.

Vilken är formeln för en stympad kon?

V = (1/3)πh(R² + r² + Rr), där R och r är radierna hos de två cirkulära ytorna och h är den stympade kons egen höjd, mätt mellan dessa ytor.

Hur hittar kalkylatorn den övre radien hos en stympad kon?

Den använder likformiga trianglar. Den övre radien är lika med basradien multiplicerad med (1 − snitthöjd ÷ den hela konens höjd). Detta förutsätter att den stympade konen kommer från en kon med raka sidor.

Vad händer om snitthöjden är större än eller lika med höjden?

Kalkylatorn behandlar figuren som en hel, oskuren kon och returnerar V = (1/3)πr²h med den angivna radien och höjden.

Vad händer om radien eller höjden är noll eller negativ?

Kalkylatorn kräver att både radien och höjden är större än noll. Om någon av dem är noll, negativ, tom eller för stor för att kunna hanteras som ett vanligt tal, visas ett meddelande i stället för en volym.

Hur hittar man kons volym utifrån diametern i stället för radien?

Dividera diametern med 2 för att få radien och använd sedan V = (1/3)πr²h som vanligt.

Referenser

1. Weisstein, Eric W. "Cone." MathWorld—En webbresurs från Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Cone.html
2. Weisstein, Eric W. "Frustum." MathWorld—En webbresurs från Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/Frustum.html