Poissonfördelningskalkylator - Beräkna händelsesannolikheter

Vad är en kalkylator för Poissonfördelning?

En kalkylator för Poissonfördelning beräknar sannolikheten att ett visst antal händelser inträffar under en fast tidsperiod eller inom ett fast område, givet hur ofta händelserna inträffar i genomsnitt. Den används när händelser inträffar en i taget, oberoende av varandra och med en konstant genomsnittlig takt. Vanliga exempel är antalet telefonsamtal som en telefonväxel får under en timme eller antalet tryckfel på en sida.

Formel för Poissonfördelningen

Poissonfördelningen anger sannolikheten för exakt k händelser när den genomsnittliga takten är λ (den grekiska bokstaven lambda):

$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!}$

Varje symbol betyder:

• λ (lambda) — det genomsnittliga antalet händelser per intervall. Det är fördelningens enda parameter.
• k — det exakta antalet händelser vars sannolikhet beräknas. Det måste vara ett heltal, 0 eller högre.
• e — Eulers tal, en fast konstant som är ungefär lika med 2,71828.
• k! — ”k-fakultet”, produkten av alla heltal från 1 till och med k. Till exempel är 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Enligt konventionen är 0! = 1.

Formeln behöver bara λ och k. Den behöver inte ett totalt antal försök, till skillnad från binomialfördelningen.

Så beräknas en Poisson-sannolikhet

1. Välj λ, det genomsnittliga antalet händelser i det intervall som studeras.
2. Välj k, det exakta antalet händelser vars sannolikhet ska beräknas.
3. Upphöj e till −λ: detta ger e^(−λ).
4. Upphöj λ till k: detta ger λ^k.
5. Beräkna k!, alltså fakulteten för k.
6. Multiplicera resultaten från steg 3 och 4 och dividera sedan med resultatet från steg 5.

Talet som erhålls är en sannolikhet mellan 0 och 1. Multiplicera det med 100 för att uttrycka det som en procentsats.

Räkneexempel

En telefonväxel tar emot i genomsnitt 5 samtal per timme (λ = 5). Vad är sannolikheten att den tar emot exakt 3 samtal under en viss timme (k = 3)?

1. e^(−5) ≈ 0,006738
2. 5^3 = 125
3. 3! = 3 × 2 × 1 = 6
4. Multiplicera: 0,006738 × 125 ≈ 0,842243
5. Dividera med 6: 0,842244 ÷ 6 ≈ 0,140374

Sannolikheten för exakt 3 samtal under den timmen är ungefär 0,140, eller 14 %.

Fler exempel

Var Poissonfördelningen används

Poissonfördelningen modellerar antal av sällsynta, oberoende händelser. Vanliga användningsområden är:

• Telefonväxlar och kundtjänst: att förutsäga hur många samtal eller chattar som kommer in per timme.
• Tillverkning: att uppskatta antalet defekter i ett parti produkter.
• Försäkring: att uppskatta hur många skadeanmälningar som kommer in under en viss period.
• Biologi och medicin: att modellera antalet mutationer eller spridningen av sällsynta sjukdomar.
• Fysik: att beskriva radioaktivt sönderfall, där varje atom sönderfaller oberoende av de andra med en konstant genomsnittlig takt.
• Trafik- och nätverksteknik: att uppskatta fordons ankomst till en korsning eller antalet förfrågningar till en server.

Villkor för att använda Poissonfördelningen

Poissonfördelningen passar en situation endast när alla följande villkor är uppfyllda:

• Händelser inträffar en i taget; två händelser kan inte inträffa exakt samtidigt.
• Händelser inträffar oberoende av varandra — en händelse gör inte nästa händelse mer eller mindre sannolik.
• Den genomsnittliga takten, λ, förblir konstant under det intervall som studeras.

Om takten förändras över tid eller händelser tenderar att inträffa i kluster beskriver den vanliga Poissonfördelningen inte data väl.

Poissonfördelningen jämfört med närliggande fördelningar

• Binomialfördelning: används när antalet försök är fast och sannolikheten för lyckat utfall i varje försök är känd, exempelvis när ett mynt kastas 20 gånger. Poissonfördelningen är det som binomialfördelningen närmar sig när antalet försök blir mycket stort och sannolikheten för lyckat utfall per försök närmar sig noll, medan deras produkt förblir ungefär λ.
• Normalfördelning: vid stora λ, ungefär över 20, liknar Poissonfördelningen en klockformad normalfördelning med väntevärdet λ och variansen λ.
• Exponentialfördelning: medan Poissonfördelningen räknar hur många händelser som inträffar under ett fast intervall beskriver exponentialfördelningen väntetiden mellan dessa händelser.

En anmärkning om historiken

Den franske matematikern Siméon Denis Poisson introducerade fördelningen 1837 i en bok om sannolikhet tillämpad på domstolsutslag. Till en början väckte den föga uppmärksamhet. Användningen ökade under det tidiga 20-talet, efter att statistiker som Ladislaus Bortkiewicz och Ronald Fisher hade tillämpat den på verkliga räkneuppgifter, däribland en berömd studie av preussiska soldater som dödades av hästsparkar.

Vanliga frågor och svar

Vad betyder lambda (λ) i en Poissonfördelning? Lambda är det genomsnittliga antalet händelser som förväntas under det intervall som studeras. Det är också fördelningens varians, så ett större λ innebär både ett högre genomsnittligt antal och större spridning i möjliga utfall.

Kan k eller λ vara negativt eller ett bråk? λ måste vara större än 0, men kan vara ett decimaltal, till exempel 2,5 händelser per timme. k måste vara ett heltal på 0 eller mer, eftersom det räknar faktiska händelser; det kan inte vara negativt eller ett bråktal.

Hur skiljer sig Poissonfördelningen från binomialfördelningen? Binomialfördelningen behöver ett fast antal försök och en fast sannolikhet för lyckat utfall i varje försök. Poissonfördelningen behöver bara en genomsnittlig takt och fungerar för händelser som i princip kan inträffa hur många gånger som helst.

När bör normalfördelningen användas i stället? Vid stora λ, i allmänhet över ungefär 20, approximerar en normalfördelning med samma väntevärde och varians Poissonfördelningen väl och är ofta enklare att hantera för hand.

Varför visar kalkylatorn ibland ett tal i vetenskaplig notation? Resultat visas normalt med sex decimaler. När en sannolikhet är mindre än 0,0001 skulle sex decimaler avrunda den till 0,000000 och dölja hur liten den faktiskt är, så kalkylatorn växlar i stället till vetenskaplig notation. För λ = 20 och k = 1 visar den 4.122307e-8, vilket betyder 0,00000004122307.

Finns det begränsningar för vilka värden kalkylatorn accepterar? Ja. λ måste vara större än 0 och högst 700, och k måste vara ett heltal från 0 till 1000. Utanför dessa gränser visar kalkylatorn ett felmeddelande. Begränsningarna håller resultatet inom det talintervall som en dator kan lagra och diagrammet på ett läsbart antal staplar.

Tillåter Poissonfördelningen mer än en händelse åt gången? Nej. Modellen antar att händelser inträffar en i taget. Om två händelser regelbundet inträffar samtidigt passar en annan fördelning data bättre.

Referenser

1. Poisson, Siméon Denis. Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris, 1837.
2. Haight, Frank A. Handbook of the Poisson Distribution. New York: John Wiley & Sons, 1967.
3. "Poisson Distribution." NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, avsnitt 1,3.6,6.19. https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366j.htm
4. Johnson, Norman L., Adrienne W. Kemp och Samuel Kotz. Univariate Discrete Distributions. John Wiley & Sons, 2005.