Binomialfördelningskalkylator - Gratis sannolikhetsverktyg

Vad är en kalkylator för binomialfördelning?

En kalkylator för binomialfördelning beräknar sannolikheten att få ett exakt antal lyckade försök i ett fast antal oberoende försök, när varje försök har samma sannolikhet att lyckas. Den används inom statistik, kvalitetskontroll, medicin och alla områden som studerar upprepade händelser med ja- eller nejutfall.

Den underliggande idén är binomialfördelningen, en sannolikhetsmodell för att räkna lyckade försök i upprepade försök som vart och ett bara har två utfall, vanligtvis kallade lyckat och misslyckat.

Formel för binomialfördelningen

Sannolikheten att få exakt k lyckade försök i n försök är:

$P(X = k) = \binom{n}{k} \, p^k (1-p)^{n-k}$

Varje symbol betyder:

• n — antalet försök.
• k — det antal lyckade försök vars sannolikhet ska beräknas.
• p — sannolikheten att lyckas i ett enskilt försök, ett tal mellan 0 och 1.
• $\binom{n}{k}$ — binomialkoefficienten, antalet olika sätt att välja k lyckade försök bland n försök. Den är lika med $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Alla försök måste vara oberoende, vilket innebär att utfallet av ett försök inte ändrar sannolikheten för ett annat, och sannolikheten p att lyckas måste vara densamma i alla försök. Ett enskilt försök med två möjliga utfall, som ett myntkast, kallas ett Bernoulli-försök. En binomialfördelning erhålls genom att summera n Bernoulli-försök.

Så beräknas binomialsannolikhet

1. Skriv ned n, k och p.
2. Beräkna binomialkoefficienten $\binom{n}{k}$, alltså antalet sätt att placera k lyckade försök bland n försök.
3. Upphöj p till potensen k.
4. Upphöj (1 − p) till potensen (n − k).
5. Multiplicera de tre talen med varandra.

Kalkylatorn på den här sidan utför dessa steg automatiskt. Ange n, p och k, så returnerar den P(X = k) tillsammans med ett stapeldiagram som visar sannolikheten för varje möjligt utfall från 0 till n lyckade försök.

Räkneexempel

Exempel 1: myntkast

Kasta ett rättvist mynt 10 gånger. Vad är sannolikheten att få exakt 3 krona?

• n = 10, p = 0,5, k = 3
• $\binom{10}{3} = 120$
• $0.5^3 = 0.125$
• $0.5^{7} = 0.0078125$
• Resultat: 120 × 0,125 × 0,0078125 ≈ 0,1172, eller ungefär 11,72 %

Exempel 2: kvalitetskontroll

En fabrik inspekterar 100 produkter. Varje produkt har en sannolikhet på 2 % att vara defekt. Vad är sannolikheten att ingen av de 100 produkterna är defekt?

• n = 100, p = 0,02, k = 0
• Eftersom k = 0 förenklas formeln till $(1-p)^n = 0.98^{100}$
• Resultat: ≈ 0,1326, eller ungefär 13,26 %

Exempel 3: sjukdomstestning

En stad testar 1 000 personer för en sjukdom som drabbar 0,1 % av befolkningen (p = 0,001). Vad är sannolikheten att exakt 5 av de 1 000 personerna är smittade?

• n = 1000, p = 0,001, k = 5
• $\binom{1000}{5} = 8{,}250{,}291{,}250{,}200$
• $0.001^5 = 1 \times 10^{-15}$
• $0.999^{995} \approx 0.3695$
• Resultat: 8 250 291 250 200 × 1e-15 × 0,3695 ≈ 0,00305, eller ungefär 0,30 % (det exakta värdet är 0,0030488, det vill säga 0,30488 %)

Medelvärde och varians

För en binomialfördelning med parametrarna n och p:

• Medelvärde (förväntat värde): E(X) = np
• Varians: Var(X) = np(1 − p)
• Standardavvikelse: σ = √[np(1 − p)]

Medelvärdet anger det genomsnittliga antalet lyckade försök som förväntas vid många upprepningar. I exempel 1 är medelvärdet 10 × 0,5 = 5 krona.

Vad kalkylatorn accepterar

• n måste vara ett heltal på 1 eller mer. Ett decimaltal avrundas till närmaste heltal för antalet försök, så 10,9 behandlas som 11.
• p måste ligga mellan 0 och 1, inklusive ändpunkterna.
• k måste vara ett heltal på 0 eller mer och får inte vara större än n. 8 lyckade försök i 5 försök är omöjligt, så kalkylatorn visar ett fel i stället för ett tal.

Om något fält lämnas tomt visar kalkylatorn inget resultat och inget diagram i stället för att gissa ett värde.

När binomialfördelningen kan användas

Binomialfördelningen passar bara en situation när alla fyra villkor är uppfyllda:

1. Antalet försök, n, är fastställt i förväg.
2. Varje försök har bara två utfall: lyckat eller misslyckat.
3. Sannolikheten att lyckas, p, är densamma i varje försök.
4. Försöken är oberoende av varandra.

Att dra kort ur en kortlek utan återläggning bryter mot villkoret om oberoende, eftersom ett borttaget kort ändrar sannolikheten för nästa dragning. Den situationen kräver i stället hypergeometrisk fördelning.

Relaterade fördelningar

• Poissonfördelning: används för att approximera binomialfördelningen när n är stort och p är litet, så att det genomsnittliga antalet lyckade försök (np) förblir måttligt. Den används ofta för att modellera sällsynta händelser, som sjukdomsfallet i exempel 3.
• Normalfördelning: för stora n, och när p inte ligger alltför nära 0 eller 1, ser binomialfördelningen ungefär klockformad ut och kan approximeras med en normalfördelning med medelvärdet np och variansen np(1 − p).
• Hypergeometrisk fördelning: används i stället för binomialfördelningen när urval görs utan återläggning ur en ändlig population.

Vanliga frågor

Vad gör en kalkylator för binomialfördelning?

Den beräknar sannolikheten att få exakt k lyckade försök i n oberoende försök, där sannolikheten att lyckas i varje försök är p, med formeln P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k).

Vad är skillnaden mellan binomialfördelning och normalfördelning?

Binomialfördelningen är diskret, vilket innebär att den bara ger heltalsvärden för antalet lyckade försök. Normalfördelningen är kontinuerlig. För stora n kan en binomialfördelning approximeras med en normalkurva med medelvärdet np och variansen np(1 − p).

Kan p vara 0 eller 1?

Ja. Om p = 0 kan inget försök lyckas, så P(X = 0) = 1. Om p = 1 lyckas varje försök, så P(X = n) = 1. Alla andra värden på k har sannolikheten 0 i dessa fall.

Vilket samband finns mellan binomialfördelningen och Bernoulli-fördelningen?

En Bernoulli-fördelning beskriver ett enskilt försök med två utfall (n = 1). En binomialfördelning är summan av n oberoende Bernoulli-försök, så en Bernoulli-fördelning är helt enkelt en binomialfördelning med n = 1.

Hur stort kan n vara innan kalkylatorn blir felaktig?

Kalkylatorn använder aritmetik med dubbelprecision. Den multiplicerar formelns tre delar direkt och övergår till logaritmer när binomialkoefficienten blir större än det största tal som en double kan lagra, vilket inträffar nära n = 1 000 när k ligger nära n/2. Resultaten förblir korrekta även över denna punkt. En sannolikhet som är mindre än ungefär 1e-308 rapporteras som 0, eftersom ingen double kan lagra den.

Hur beräknas binomialkoefficienten?

Binomialkoefficienten C(n, k) räknar antalet sätt att välja k objekt bland n objekt, oberoende av ordningen. Den är lika med n! / (k! × (n − k)!). Kalkylatorn bygger upp den steg för steg genom att multiplicera med en faktor och dividera med nästa, så att den aldrig behöver lagra en fullständig fakultet. För mycket stora n summerar den i stället logaritmerna av dessa faktorer.

Referenser

1. "Binomial Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution.
2. Ross, Sheldon M. Introduction to Probability Models. Academic Press, 2014.
3. Johnson, Norman L., et al. Discrete Distributions. Wiley Series in Probability and Statistics, 2005.