Gammadistributionskalkylator - Statistiskt analysverktyg

Vad är en kalkylator för gammafördelning?

En kalkylator för gammafördelning beräknar medelvärde, varians, skevhet, kurtosis och typvärde för en gammafördelning utifrån två indata: en formparameter och en skalparameter. Den ritar också fördelningens sannolikhetstäthetsfunktion som en kurva.

Vad är en gammafördelning?

Gammafördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning för positiva värden. Den definieras av två parametrar: en formparameter, vanligtvis betecknad k, och en skalparameter, vanligtvis betecknad θ (theta). Båda måste vara större än noll. Gammafördelningen används för att modellera storheter som inte kan vara negativa, till exempel nederbördsmängder, försäkringsskadors storlek och tiden tills en maskindel går sönder.

Formel för gammafördelning

Gammfördelningens sannolikhetstäthetsfunktion (PDF) är:

f(x; k, θ) = x^(k−1) · e^(−x/θ) / (θ^k · Γ(k))

Här är x det värde där tätheten mäts, och Γ(k) är gammafunktionen, en generalisering av fakulteten till icke-heltal. Formeln gäller endast för x > 0; tätheten är noll överallt annars.

Så beräknas gammafördelningens egenskaper

Utifrån formparametern k och skalparametern θ beräknar kalkylatorn:

• Medelvärde: k × θ
• Varians: k × θ²
• Skevhet: 2 / √k
• Kurtosis: 3 + 6 / k
• Typvärde: (k − 1) × θ när k ≥ 1, annars 0

Skevhet mäter hur ensidig kurvan är. Ett mindre k ger en längre högersvans. Kurtosis mäter hur tunga svansarna är jämfört med en normalfördelning, som har en kurtosis på 3. Typvärdet är det x-värde där kurvan når sin topp. När k är mindre än 1 fortsätter tätheten att öka när x närmar sig 0, så det finns ingen inre topp, och kalkylatorn anger ett typvärde på 0.

Räkneexempel

Anta en formparameter k = 2 och en skalparameter θ = 3.

• Medelvärde = 2 × 3 = 6
• Varians = 2 × 3² = 18
• Skevhet = 2 / √2 ≈ 1,4142
• Kurtosis = 3 + 6 / 2 = 6
• Typvärde = (2 − 1) × 3 = 3

Vid typvärdet, x = 3, blir tätheten f(3; 2, 3) = 3¹ · e^(−1) / (3² · Γ(2)) = (3 × 0,3679) / 9 ≈ 0,1226. Kalkylatorn ritar automatiskt hela kurvan när båda parametrarna har angetts.

Så använder du kalkylatorn för gammfördelning

1. Ange formparametern (k), ett positivt tal.
2. Ange skalparametern (θ), ett positivt tal.
3. Medelvärde, varians, skevhet, kurtosis och typvärde visas så snart båda fälten innehåller giltiga tal. Det finns ingen separat beräkningsknapp; resultaten uppdateras medan talen anges.
4. Diagrammet under resultaten visar sannolikhetstäthetsfunktionen. Det ritas från strax ovanför x = 0 till det större av tre gånger medelvärdet och fem gånger skalparametern.

Båda parametrarna måste vara ändliga tal större än 0, och ingen av dem får vara större än 1000. Värden som är mindre än ungefär 2 × 10⁻¹⁶ avvisas också, eftersom sammanfattningsvärdena upphör att vara meningsfulla vid den storleken. Ett värde utanför det godkända intervallet ger ett felmeddelande i stället för resultat.

Var används gammafördelningen?

Gammfördelningen modellerar många verkliga storheter som alltid är positiva och ofta är högerskevade:

• Försäkring: skadestorlekar och utbetalningsbelopp
• Meteorologi: nederbördsmängder under en bestämd period
• Teknik: tiden tills en komponent går sönder
• Köteori: väntetider som byggs upp av flera exponentiella steg
• Biologi: genuttrycksnivåer och data om antal arter

Relaterade fördelningar

Två välkända fördelningar är specialfall av gammafördelningen:

• Exponentialfördelning: en gammafördelning med k = 1
• Chi-två-fördelning: en gammfördelning med k = n/2 och θ = 2, där n är antalet frihetsgrader

Weibullfördelningen och lognormalfördelningen är vanliga alternativ för att modellera positiva, skeva data.

Vanliga frågor

Vad används gammafördelningen till? Den modellerar kontinuerliga, positiva storheter som väntetider, nederbördsmängder och försäkringsskador, särskilt när data fördelar sig mot stora värden.

Hur beräknar man medelvärdet för en gammafördelning? Multiplicera formparametern med skalparametern: medelvärde = k × θ. För k = 2 och θ = 3 är medelvärdet 6.

Vad är skillnaden mellan formparametern och skalparametern? Formparametern (k) styr kurvans form, inklusive dess skevhet. Skalparametern (θ) sträcker ut eller komprimerar kurvan längs x-axeln utan att ändra dess grundläggande form.

Hur hänger gammafördelningen samman med exponentialfördelningen? Exponentialfördelningen är gammafördelningen med formparametern k = 1.

Kan gammafördelningen anta negativa värden? Nej. Den är definierad endast för x > 0. Data som kan vara negativa kräver en annan fördelning, till exempel normalfördelningen.

Beräknar den här kalkylatorn den kumulativa fördelningsfunktionen? Nej. Den beräknar medelvärde, varians, skevhet, kurtosis och typvärde samt ritar sannolikhetstäthetsfunktionen. Den visar inte kumulativa sannolikhetsvärden.

Referenser

1. "Gamma distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation. https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous Univariate Distributions, volym 1. John Wiley & Sons.