Kihesabu cha Z-Test

Utangulizi

Kihesabu cha Z-test ni chombo chenye nguvu kilichoundwa kusaidia kufanya na kuelewa majaribio ya Z ya sampuli moja. Jaribio hili la takwimu linatumika kubaini ikiwa wastani wa sampuli iliyochukuliwa kutoka kwa idadi ya watu ni tofauti kwa kiasi kikubwa na wastani wa idadi ya watu uliojulikana au uliokadiriwa.

Formula

Z-score kwa jaribio la Z la sampuli moja huhesabiwa kwa kutumia formula ifuatayo:

$Z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

Ambapo:

• $\bar{x}$ ni wastani wa sampuli
• $\mu$ ni wastani wa idadi ya watu
• $\sigma$ ni kiwango cha kawaida cha idadi ya watu
• $n$ ni saizi ya sampuli

Formula hii inahesabu idadi ya viwango vya kawaida ambavyo wastani wa sampuli uko mbali na wastani wa idadi ya watu.

Jinsi ya Kutumia Kihesabu Hiki

1. Ingiza wastani wa sampuli ($\bar{x}$)
2. Ingiza wastani wa idadi ya watu ($\mu$)
3. Ingiza kiwango cha kawaida cha idadi ya watu ($\sigma$)
4. Ingiza saizi ya sampuli ($n$)
5. Bonyeza kitufe cha "Hesabu" ili kupata Z-score

Kihesabu kitaonyesha Z-score iliyopatikana na tafsiri yake.

Dhana na Mipaka

Jaribio la Z linategemea dhana kadhaa:

1. Sampuli imechaguliwa kwa bahati kutoka kwa idadi ya watu.
2. Kiwango cha kawaida cha idadi ya watu kinajulikana.
3. Idadi ya watu inafuata usambazaji wa kawaida.
4. Saizi ya sampuli ni kubwa vya kutosha (kawaida n > 30).

Ni muhimu kutambua kwamba ikiwa kiwango cha kawaida cha idadi ya watu hakijulikani au saizi ya sampuli ni ndogo, jaribio la t linaweza kuwa bora zaidi.

Tafsiri ya Matokeo

Z-score inawakilisha idadi ya viwango vya kawaida ambavyo wastani wa sampuli uko mbali na wastani wa idadi ya watu. Kwa ujumla:

• Z-score ya 0 inaonyesha kwamba wastani wa sampuli ni sawa na wastani wa idadi ya watu.
• Z-scores kati ya -1.96 na 1.96 zinapendekeza kwamba wastani wa sampuli si tofauti kwa kiasi kikubwa na wastani wa idadi ya watu kwa kiwango cha kujiamini cha 95%.
• Z-scores za nje ya upeo huu zinaonyesha tofauti ya takwimu muhimu.

Tafsiri halisi inategemea kiwango kilichochaguliwa cha umuhimu (α) na ikiwa ni jaribio la upande mmoja au pande mbili.

Matumizi

Jaribio la Z lina matumizi mbalimbali katika nyanja tofauti:

1. Udhibiti wa Ubora: Kuangalia ikiwa mstari wa uzalishaji unakidhi viwango vilivyowekwa.
2. Utafiti wa Matibabu: Kulinganisha matokeo ya kundi la matibabu na thamani za idadi ya watu zilizojulikana.
3. Sayansi za Kijamii: Kutathmini ikiwa tabia za sampuli zinatofautiana na viwango vya idadi ya watu.
4. Fedha: Kuthibitisha ikiwa utendaji wa portifolio unabadilika kwa kiasi kikubwa na wastani wa soko.
5. Elimu: Kulinganisha utendaji wa wanafunzi na wastani wa mitihani iliyoandikwa.

Mbadala

Ingawa jaribio la Z linatumika sana, kuna hali ambapo majaribio mbadala yanaweza kuwa bora zaidi:

1. Jaribio la T: Wakati kiwango cha kawaida cha idadi ya watu hakijulikani au saizi ya sampuli ni ndogo.
2. ANOVA: Kwa kulinganisha wastani kati ya vikundi zaidi ya viwili.
3. Jaribio la Chi-square: Kwa uchambuzi wa data ya kikundi.
4. Majaribio yasiyo ya parametric: Wakati data haifuatani na usambazaji wa kawaida.

Historia

Jaribio la Z lina mizizi katika maendeleo ya nadharia ya takwimu katika karne ya 19 na mapema ya karne ya 20. Linahusiana kwa karibu na usambazaji wa kawaida, ambao ulielezewa kwa mara ya kwanza na Abraham de Moivre mnamo 1733. Neno "alama ya kiwango" au "Z-score" lilianzishwa na Charles Spearman mnamo 1904.

Jaribio la Z lilianza kutumika sana na kuanzishwa kwa majaribio ya viwango katika elimu na saikolojia katika karne ya mapema ya 20. Lilicheza jukumu muhimu katika maendeleo ya mifumo ya kupima dhana na wahasibu kama Ronald Fisher, Jerzy Neyman, na Egon Pearson.

Leo, jaribio la Z bado ni chombo cha msingi katika uchambuzi wa takwimu, hasa katika masomo makubwa ambapo vigezo vya idadi ya watu vinajulikana au vinaweza kukadirika kwa uaminifu.

Mifano

Hapa kuna mifano ya msimbo wa kuhesabu Z-scores katika lugha mbalimbali za programu:

1' Kazi ya Excel kwa Z-score
2Function ZScore(sampleMean As Double, populationMean As Double, populationStdDev As Double, sampleSize As Double) As Double
3    ZScore = (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Sqr(sampleSize))
4End Function
5' Matumizi:
6' =ZScore(10, 9.5, 2, 100)
7

1import math
2
3def z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size):
4    return (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / math.sqrt(sample_size))
5
6## Matumizi ya mfano:
7sample_mean = 10
8population_mean = 9.5
9population_std_dev = 2
10sample_size = 100
11z = z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
12print(f"Z-score: {z:.4f}")
13

1function zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize) {
2  return (sampleMean - populationMean) / (populationStdDev / Math.sqrt(sampleSize));
3}
4
5// Matumizi ya mfano:
6const sampleMean = 10;
7const populationMean = 9.5;
8const populationStdDev = 2;
9const sampleSize = 100;
10const z = zScore(sampleMean, populationMean, populationStdDev, sampleSize);
11console.log(`Z-score: ${z.toFixed(4)}`);
12

1z_score <- function(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size) {
2  (sample_mean - population_mean) / (population_std_dev / sqrt(sample_size))
3}
4
5## Matumizi ya mfano:
6sample_mean <- 10
7population_mean <- 9.5
8population_std_dev <- 2
9sample_size <- 100
10z <- z_score(sample_mean, population_mean, population_std_dev, sample_size)
11cat(sprintf("Z-score: %.4f\n", z))
12

Uonyeshaji

Z-score inaweza kuonyeshwa kwenye curve ya usambazaji wa kawaida wa kiwango. Hapa kuna uwakilishi rahisi wa ASCII: