యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్త: వక్రమైన ఇంటర్‌ఫేస్‌ల మధ్య ఒత్తిడి తేడాను లెక్కించండి

పరిచయం

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం అనేది ద్రవ యాంత్రికతలో ఒక ప్రాథమిక ఫార్ములా, ఇది రెండు ద్రవాల మధ్య వక్రమైన ఇంటర్‌ఫేస్, ఉదాహరణకు ద్రవ-వాయువు లేదా ద్రవ-ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్ మధ్య ఒత్తిడి తేడాను వివరిస్తుంది. ఈ ఒత్తిడి తేడా ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు ఇంటర్‌ఫేస్ యొక్క వక్రత కారణంగా ఏర్పడుతుంది. మా యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్త ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు ప్రధాన వక్రత రేడియాలను నమోదు చేయడం ద్వారా ఈ ఒత్తిడి తేడాను లెక్కించడానికి సరళమైన, ఖచ్చితమైన మార్గాన్ని అందిస్తుంది. మీరు చుక్కలు, బుడగలు, కాపిలరీ చర్య లేదా ఇతర ఉపరితల ఫెనామెనా అధ్యయనం చేస్తున్నారా, ఈ సాధనం సంక్లిష్ట ఉపరితల ఉద్రిక్తత సమస్యలకు త్వరితమైన పరిష్కారాలను అందిస్తుంది.

19వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో దీన్ని అభివృద్ధి చేసిన థామస్ యంగ్ మరియు పియర్-సిమోన్ లాప్లాస్ పేరుతో పిలవబడే ఈ సమీకరణం, మైక్రోఫ్లూడిక్స్ మరియు పదార్థ శాస్త్రం నుండి జీవశాస్త్ర వ్యవస్థలు మరియు పారిశ్రామిక ప్రక్రియల వరకు అనేక శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ అప్లికేషన్లలో అవసరమైనది. ఉపరితల ఉద్రిక్తత, వక్రత మరియు ఒత్తడి తేడా మధ్య సంబంధాన్ని అర్థం చేసుకోవడం ద్వారా, పరిశోధకులు మరియు ఇంజనీర్లు ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యవస్థలను మెరుగ్గా డిజైన్ చేయవచ్చు మరియు విశ్లేషించవచ్చు.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం వివరణ

ఫార్ములా

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఒక ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ఒత్తిడి తేడాను ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు ప్రధాన వక్రత రేడియాలకు సంబంధించి కలిగి ఉంది:

$\Delta P = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$

ఎక్కడ:

• $\Delta P$ అనేది ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ఒత్తడి తేడా (Pa)
• $\gamma$ అనేది ఉపరితల ఉద్రిక్తత (N/m)
• $R_1$ మరియు $R_2$ అనేవి ప్రధాన వక్రత రేడియాలు (m)

గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్ (ఉదాహరణకు ఒక చుక్క లేదా బుడగ) కోసం, ఇక్కడ $R_1 = R_2 = R$ అని సమీకరణం సరళంగా మారుతుంది:

$\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$

చరాలు వివరణ

1. ఉపరితల ఉద్రిక్తత ($\gamma$):

   • న్యూటన్‌లు ప్రతి మీటర్ (N/m) లేదా సమానంగా జూల్స్ ప్రతి చతురస్ర మీటర్ (J/m²) లో కొలుస్తారు
   • ఒక ద్రవం యొక్క ఉపరితల విస్తీర్ణాన్ని ఒక యూనిట్ పెంచడానికి అవసరమైన శక్తిని సూచిస్తుంది
   • ఉష్ణోగ్రత మరియు ప్రత్యేక ద్రవాల ఆధారంగా మారుతుంది
   • సాధారణ విలువలు:
     • 20°C వద్ద నీరు: 0.072 N/m
     • 20°C వద్ద ఎథనాల్: 0.022 N/m
     • 20°C వద్ద పెరుగుడు: 0.485 N/m

2. ప్రధాన వక్రత రేడియాలు ($R_1$ మరియు $R_2$):

   • మీటర్లలో కొలుస్తారు (m)
   • ఉపరితలంపై ఒక పాయింట్ వద్ద వక్రతను ఉత్తమంగా సరిపోల్చే రెండు కుడి వృత్తుల యొక్క రేడియాలను సూచిస్తాయి
   • సానుకూల విలువలు నార్మల్ పాయింట్ చూపించే వక్రత యొక్క పక్కన ఉన్న కేంద్రాలను సూచిస్తాయి
   • ప్రతికూల విలువలు వ్యతిరేక పక్కన ఉన్న కేంద్రాలను సూచిస్తాయి

3. ఒత్తడి తేడా ($\Delta P$):

   • పాస్కల్స్ (Pa) లో కొలుస్తారు
   • ఇంటర్‌ఫేస్ యొక్క కంకవ మరియు కాంకవ పక్కల మధ్య ఒత్తడి తేడాను సూచిస్తుంది
   • పరిప్రాయంగా, $\Delta P = P_{inside} - P_{outside}$ మూలకాలు మూసివేయబడిన ఉపరితలాల వంటి చుక్కలు లేదా బుడగలకు

సంకేత నియమం

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణానికి సంకేత నియమం ముఖ్యమైనది:

• ఒక కంకవ ఉపరితలానికి (చుక్క యొక్క వెలుపల భాగం వంటి), రేడియాలు సానుకూలంగా ఉంటాయి
• ఒక కాంకవ ఉపరితలానికి (బుడగ యొక్క లోపలి భాగం వంటి), రేడియాలు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి
• ఇంటర్‌ఫేస్ యొక్క కంకవ పక్కపై ఒత్తడి ఎప్పుడూ అధికంగా ఉంటుంది

అంచనా కేసులు మరియు ప్రత్యేక పరిగణనలు

1. సమాన ఉపరితలము: ఒక రేడియస్ అనంతానికి చేరుకున్నప్పుడు, దాని కృషి ఒత్తడి తేడాకు సమానంగా శూన్యం అవుతుంది. పూర్తిగా సమాన ఉపరితలానికి ($R_1 = R_2 = \infty$), $\Delta P = 0$.

2. సిలిండ్రికల్ ఉపరితలము: ఒక సిలిండ్రికల్ ఉపరితలానికి (ఒక కాపిలరీ ట్యూబ్ లో ద్రవం వంటి), ఒక రేడియస్ పరిమితమైనది ($R_1$) మరియు మరొకది అనంతమైనది ($R_2 = \infty$), $\Delta P = \gamma/R_1$.

3. చాలా చిన్న రేడియస్‌లు: సూక్ష్మపరిమాణాలలో (ఉదాహరణకు, నానో చుక్కలు), పంక్తి కట్టడం వంటి అదనపు ప్రభావాలు ముఖ్యమైనవి అవుతాయి, మరియు క్లాసికల్ యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం మార్పు అవసరం కావచ్చు.

4. ఉష్ణోగ్రత ప్రభావాలు: ఉపరితల ఉద్రిక్తత సాధారణంగా ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ తగ్గుతుంది, ఇది ఒత్తడి తేడాను ప్రభావితం చేస్తుంది. క్రిటికల్ పాయింట్ సమీపంలో, ఉపరితల ఉద్రిక్తత శూన్యానికి చేరుకుంటుంది.

5. సర్ఫాక్టెంట్లు: సర్ఫాక్టెంట్ల ఉనికి ఉపరితల ఉద్రిక్తతను తగ్గిస్తుంది మరియు అందువల్ల ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ఒత్తడి తేడాను తగ్గిస్తుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్తను ఎలా ఉపయోగించాలి

మా కేల్క్యులేటర్ వక్ర ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌ల మధ్య ఒత్తడి తేడాను నిర్ధారించడానికి ఒక సరళమైన మార్గాన్ని అందిస్తుంది. ఖచ్చితమైన ఫలితాలను పొందడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

దశల వారీ మార్గదర్శకం

1. ఉపరితల ఉద్రిక్తత ($\gamma$) నమోదు చేయండి:

   • N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత విలువను నమోదు చేయండి
   • డిఫాల్ట్ విలువ 0.072 N/m (25°C వద్ద నీరు)
   • ఇతర ద్రవాల కోసం, ప్రామాణిక పట్టికలు లేదా ప్రయోగాత్మక డేటాను చూడండి

2. మొదటి ప్రధాన వక్రత రేడియస్ ($R_1$) నమోదు చేయండి:

   • మీటర్లలో మొదటి రేడియస్‌ను నమోదు చేయండి
   • గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, ఇది గోళం యొక్క రేడియస్ అవుతుంది
   • సిలిండ్రికల్ ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, ఇది సిలిండర్ యొక్క రేడియస్ అవుతుంది

3. రెండవ ప్రధాన వక్రత రేడియస్ ($R_2$) నమోదు చేయండి:

   • మీటర్లలో రెండవ రేడియస్‌ను నమోదు చేయండి
   • గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, ఇది $R_1$ తో సమానం అవుతుంది
   • సిలిండ్రికల్ ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు, చాలా పెద్ద విలువ లేదా అనంతంగా ఉపయోగించండి

4. ఫలితాన్ని చూడండి:

   • కేల్క్యులేటర్ ఆటోమేటిక్‌గా ఒత్తడి తేడాను లెక్కిస్తుంది
   • ఫలితాలు పాస్కల్స్ (Pa) లో ప్రదర్శించబడతాయి
   • మీ ఇన్‌పుట్‌లను ప్రతిబింబించడానికి విజువలైజేషన్ నవీకరించబడుతుంది

5. ఫలితాలను కాపీ చేయండి లేదా పంచుకోండి:

   • మీ కాపీ పత్రికకు లెక్కించిన విలువను కాపీ చేయడానికి "ఫలితాన్ని కాపీ చేయండి" బటన్‌ను ఉపయోగించండి
   • నివేదికలు, పత్రాలు లేదా తదుపరి లెక్కింపులకు చేర్చడానికి ఉపయోగకరం

ఖచ్చితమైన లెక్కింపుల కోసం చిట్కాలు

• సరైన యూనిట్‌లను ఉపయోగించండి: అన్ని కొలతలు SI యూనిట్‌లలో (N/m ఉపరితల ఉద్రిక్తత, m రేడియస్‌లకు) ఉండాలి
• ఉష్ణోగ్రతను పరిగణనలోకి తీసుకోండి: ఉపరితల ఉద్రిక్తత ఉష్ణోగ్రతతో మారుతుంది, కాబట్టి మీ పరిస్థితులకు అనుకూలమైన విలువలను ఉపయోగించండి
• మీ రేడియస్‌లను తనిఖీ చేయండి: కంకవ ఉపరితలాల కోసం రెండు రేడియస్‌లు సానుకూలంగా ఉండాలి మరియు కాంకవ ఉపరితలాల కోసం ప్రతికూలంగా ఉండాలి
• గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు: రెండు రేడియస్‌లను ఒకే విలువకు సెట్ చేయండి
• సిలిండ్రికల్ ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు: ఒక రేడియస్‌ను సిలిండర్ యొక్క రేడియస్‌కు మరియు మరొకదాన్ని చాలా పెద్ద విలువకు సెట్ చేయండి

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కోసం ఉపయోగాలు

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం అనేక శాస్త్రీయ మరియు ఇంజనీరింగ్ రంగాలలో అనేక అప్లికేషన్లు ఉన్నాయి:

1. చుక్క మరియు బుడగ విశ్లేషణ

ఈ సమీకరణం చుక్కలు మరియు బుడగల ప్రవర్తనను అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రాథమికమైనది. ఇది చిన్న చుక్కలలో అధిక అంతర్గత ఒత్తడి ఎందుకు ఉన్నదో వివరిస్తుంది, ఇది క్రింది ప్రక్రియలను ప్రేరేపిస్తుంది:

• ఒస్ట్వాల్డ్ రిపెనింగ్: ఒక ఎమల్షన్‌లో చిన్న చుక్కలు కుదించబడతాయి, పెద్దవలు పెరుగుతాయి ఒత్తడి తేడాల కారణంగా
• బుడగ స్థిరత్వం: ఫోమ్ మరియు బుడగ వ్యవస్థల స్థిరత్వాన్ని అంచనా వేయడం
• ఇంక్‌జెట్ ప్రింటింగ్: ఖచ్చితమైన ప్రింటింగ్‌లో చుక్కల ఏర్పాటును మరియు ఉంచడాన్ని నియంత్రించడం

2. కాపిలరీ చర్య

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కాపిలరీ పెరుగుదల లేదా దిగువను అర్థం చేసుకోవడానికి సహాయపడుతుంది:

• పోరస్ పదార్థాలలో వికింగ్: వస్త్రాలు, పేపర్ మరియు మట్టిలో ద్రవ రవాణాను అంచనా వేయడం
• మైక్రోఫ్లూడిక్ పరికరాలు: ఖచ్చితమైన ద్రవ నియంత్రణ కోసం చానళ్ళు మరియు జంక్షన్లను డిజైన్ చేయడం
• చెట్టు జీవశాస్త్రం: మొక్కల కండిషనింగ్‌లో నీటి రవాణాను అర్థం చేసుకోవడం

3. బయోమెడికల్ అప్లికేషన్లు

వైద్య మరియు జీవశాస్త్రంలో, ఈ సమీకరణం కోసం ఉపయోగించబడుతుంది:

• పల్మోనరీ సర్ఫాక్టెంట్ ఫంక్షన్: అల్వియోలార్ ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు శ్వాస యాంత్రికతను విశ్లేషించడం
• కోశ మెంబ్రేన్ యాంత్రికత: కోశ ఆకారాన్ని మరియు వికృతిని అధ్యయనం చేయడం
• మందుల విడుదల వ్యవస్థలు: నియంత్రిత విడుదల కోసం మైక్రోకాప్సుల్స్ మరియు వెసికల్స్ డిజైన్ చేయడం

4. పదార్థ శాస్త్రం

పదార్థ అభివృద్ధిలో అప్లికేషన్లు ఉన్నాయి:

• సంప్రదాయ కోణం కొలతలు: ఉపరితల లక్షణాలు మరియు పసుపు అంచనా వేయడం
• సన్నని చిత్రం స్థిరత్వం: ద్రవ చిత్రాల విరామం మరియు నమూనా ఏర్పాటును అంచనా వేయడం
• నానోబబుల్ సాంకేతికత: ఉపరితలానికి అనుబంధిత నానోబబుల్స్ కోసం అప్లికేషన్లను అభివృద్ధి చేయడం

5. పారిశ్రామిక ప్రక్రియలు

అనేక పారిశ్రామిక అప్లికేషన్లు ఇంటర్‌ఫేస్‌ల మధ్య ఒత్తడి తేడాలను అర్థం చేసుకోవడంపై ఆధారపడి ఉన్నాయి:

• ఎన్‌హాన్స్‌డ్ ఆయిల్ రికవరీ: ఆయిల్ తీసుకురావడానికి సర్ఫాక్టెంట్ ఫార్ములేషన్‌లను ఆప్టిమైజ్ చేయడం
• ఫోమ్ ఉత్పత్తి: ఫోమ్‌లలో బుడగ పరిమాణ పంపిణీని నియంత్రించడం
• కోట్ టెక్నాలజీలు: సమాన ద్రవ చిత్రం ఉంచడం

ప్రాక్టికల్ ఉదాహరణ: నీటి చుక్కలో లాప్లాస్ ఒత్తడి లెక్కించడం

20°C వద్ద 1 mm రేడియస్ గల గోళాకార నీటి చుక్కను పరిగణించండి:

• నీటి ఉపరితల ఉద్రిక్తత: $\gamma = 0.072$ N/m
• రేడియస్: $R = 0.001$ m
• గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్‌లకు సరళీకృత సమీకరణను ఉపయోగించడం: $\Delta P = \frac{2\gamma}{R}$
• $\Delta P = \frac{2 \times 0.072}{0.001} = 144$ Pa

అంటే, చుక్కలోని ఒత్తడి 144 Pa కంటే అధికంగా ఉంటుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణానికి ప్రత్యామ్నాయాలు

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ప్రాథమికమైనప్పటికీ, ప్రత్యేక పరిస్థితుల కోసం ప్రత్యామ్నాయ దృక్పథాలు మరియు పొడిగింపులు ఉన్నాయి:

1. కెల్విన్ సమీకరణం: వక్ర ద్రవ ఉపరితలంపై వాపర ఒత్తడిని సమాన ఉపరితలంపై ఉన్నదానికి సంబంధించి, కండెన్సేషన్ మరియు ఆవిరి గురించి అధ్యయనం చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

2. గిబ్స్-థామ్సన్ ప్రభావం: కణ పరిమాణం ద్రవీభవనం, కరిగే పాయింట్ మరియు ఇతర థర్మోడైనామిక్ లక్షణాలను ప్రభావితం చేస్తుంది.

3. హెల్‌ఫ్రిచ్ మోడల్: జీవ కణాల మెంబ్రేన్‌ల వంటి ఎలాస్టిక్ మెంబ్రేన్‌లను విశ్లేషించడానికి విశ్లేషణను విస్తరించడానికి ఉపయోగిస్తారు, వక్రత కఠినతను కలిగి ఉంటుంది.

4. సంఖ్యాత్మక సిమ్యులేషన్లు: సంక్లిష్ట జ్యామితులకు, వాల్యూమ్ ఆఫ్ ఫ్లూయిడ్ (VOF) లేదా లెవెల్ సెట్ పద్ధతులు అనలిటికల్ పరిష్కారాల కంటే ఎక్కువ అనుకూలంగా ఉండవచ్చు.

5. మాలిక్యులర్ డైనమిక్స్: చాలా చిన్న స్కేల్స్ (నానోమీటర్లు) వద్ద, నిరంతర అనుమానాలు విరుగుడుగా మారుతాయి, మరియు మాలిక్యులర్ డైనమిక్స్ సిమ్యులేషన్లు మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితాలను అందిస్తాయి.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ చరిత్ర

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపరితల ఫెనామెనా మరియు కాపిలారిటీ యొక్క అర్థం చేసుకోవడంలో ఒక ముఖ్యమైన మైలురాయిని సూచిస్తుంది.

ప్రాథమిక గమనికలు మరియు సిద్ధాంతాలు

కాపిలరీ చర్యను అధ్యయనం చేయడం ప్రాచీన కాలంలో ప్రారంభమైంది, కానీ వ్యవస్థాపిత శాస్త్రీయ పరిశోధన రెనెసాన్స్ కాలంలో ప్రారంభమైంది:

• లియోనార్డో డా విన్చి (15వ శతాబ్దం): సన్నని ట్యూబ్‌లలో కాపిలరీ పెరుగుదలపై వివరమైన గమనికలు చేశారు
• ఫ్రాన్సిస్ హాక్స్‌బీ (18వ శతాబ్దం ప్రారంభం): కాపిలరీ పెరుగుదలపై పరిమాణాత్మక ప్రయోగాలను నిర్వహించారు
• జేమ్స్ జ్యూరిన్ (1718): ట్యూబ్ వ్యాసానికి సంబంధించి కాపిలరీ పెరుగుదల ఎత్తును సంబంధితంగా రూపొందించిన "జ్యూరిన్ చట్టం"ను రూపొందించారు

సమీకరణం అభివృద్ధి

మనం ఈ సమీకరణను ఈ రోజు తెలుసుకున్న విధంగా అభివృద్ధి చేయడం రెండు శాస్త్రవేత్తలు స్వతంత్రంగా పనిచేసారు:

• థామస్ యంగ్ (1805): "An Essay on the Cohesion of Fluids" అనే పుస్తకాన్ని రాయడం ద్వారా ఉపరితల ఉద్రిక్తత మరియు వక్రత మధ్య సంబంధాన్ని ప్రవేశపెట్టారు.

• పియర్-సిమోన్ లాప్లాస్ (1806): తన ప్రఖ్యాత గ్రంథం "Mécanique Céleste"లో, లాప్లాస్ కాపిలరీ చర్యకు గణిత దృక్పథాన్ని అభివృద్ధి చేశారు, వక్రతకు సంబంధించిన సమీకరణాన్ని అభివృద్ధి చేశారు.

యంగ్ యొక్క శారీరక అవగాహన మరియు లాప్లాస్ యొక్క గణిత శాస్త్రం కలయిక, ఇప్పుడు మనం యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం అని పిలువుతున్నది.

మెరుగుదలలు మరియు పొడిగింపులు

తరువాతి శతాబ్దాలలో, ఈ సమీకరణం మెరుగుపరచబడింది మరియు పొడిగించబడింది:

• కార్ల్ ఫ్రిడ్రిచ్ గాస్ (1830): కాపిలారిటీకి వేరియేషనల్ దృక్పథాన్ని అందించడం ద్వారా, ద్రవ ఉపరితలాలు మొత్తం శక్తిని తగ్గించే ఆకారాలను స్వీకరిస్తాయని చూపించారు
• జోసెఫ్ ప్లేటో (19వ శతాబ్దం మధ్య): సబ్బు చిత్రాలపై విస్తృత ప్రయోగాలు నిర్వహించడం ద్వారా యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం యొక్క అంచనాలను నిర్ధారించారు
• లార్డ్ రాయ్లీ (19వ శతాబ్దం చివర): ద్రవ జెట్‌ల స్థిరత్వాన్ని మరియు చుక్కల ఏర్పాటును అధ్యయనం చేయడానికి ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించారు
• ఆధునిక యుగం (20-21 శతాబ్దాలు): సంక్లిష్ట జ్యామితులకు ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి సంఖ్యాత్మక పద్ధతుల అభివృద్ధి మరియు అదనపు ప్రభావాలను, ఉదాహరణకు గురుత్వాకర్షణ, విద్యుత్ క్షేత్రాలు మరియు సర్ఫాక్టెంట్లను కలిగి ఉండడం

ఈ రోజు, యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఇంటర్‌ఫేసియల్ శాస్త్రం యొక్క మూలస్తంభంగా ఉంది, సాంకేతికత మైక్రో మరియు నానో స్కేల్స్‌లోకి ప్రవేశించగానే కొత్త అప్లికేషన్లను కనుగొంటుంది.

కోడ్ ఉదాహరణలు

ఇక్కడ యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని వివిధ ప్రోగ్రామింగ్ భాషలలో అమలు చేయడం ఉంది:

1' యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కోసం ఎక్సెల్ ఫార్ములా (గోళాకార ఇంటర్‌ఫేస్)
2=2*B2/C2
3
4' ఎక్కడ:
5' B2 లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత N/m లో ఉంది
6' C2 లో రేడియస్ m లో ఉంది
7' ఫలితం Pa లో ఉంది
8
9' రెండు ప్రధాన రేడియస్‌లతో సాధారణ కేసు కోసం:
10=B2*(1/C2+1/D2)
11
12' ఎక్కడ:
13' B2 లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత N/m లో ఉంది
14' C2 లో మొదటి రేడియస్ m లో ఉంది
15' D2 లో రెండవ రేడియస్ m లో ఉంది
16

1def young_laplace_pressure(surface_tension, radius1, radius2):
2    """
3    యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపయోగించి ఒత్తడి తేడాను లెక్కించండి.
4    
5    ప్యారామీటర్లు:
6    surface_tension (float): N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
7    radius1 (float): m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత రేడియస్
8    radius2 (float): m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత రేడియస్
9    
10    రిటర్న్:
11    float: Pa లో ఒత్తడి తేడా
12    """
13    if radius1 == 0 or radius2 == 0:
14        raise ValueError("రేడియస్‌లు శూన్యం కావు")
15    
16    return surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2)
17
18# 20°C వద్ద గోళాకార నీటి చుక్కకు ఉదాహరణ
19surface_tension_water = 0.072  # N/m
20droplet_radius = 0.001  # 1 mm ని మీటర్లలో
21
22# గోళాకారానికి, రెండు రేడియస్‌లు సమానంగా ఉంటాయి
23pressure_diff = young_laplace_pressure(surface_tension_water, droplet_radius, droplet_radius)
24print(f"ఒత్తడి తేడా: {pressure_diff:.2f} Pa")
25

1/**
2 * యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపయోగించి ఒత్తడి తేడాను లెక్కించండి
3 * @param {number} surfaceTension - N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
4 * @param {number} radius1 - m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత రేడియస్
5 * @param {number} radius2 - m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత రేడియస్
6 * @returns {number} Pa లో ఒత్తడి తేడా
7 */
8function youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2) {
9  if (radius1 === 0 || radius2 === 0) {
10    throw new Error("రేడియస్‌లు శూన్యం కావు");
11  }
12  
13  return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
14}
15
16// కాపిలరీ ట్యూబ్‌లో నీరు-వాయువు ఇంటర్‌ఫేస్‌కు ఉదాహరణ
17const surfaceTensionWater = 0.072; // 20°C వద్ద N/m
18const tubeRadius = 0.0005; // 0.5 mm ని మీటర్లలో
19// సిలిండ్రికల్ ఉపరితలానికి, ఒక రేడియస్ ట్యూబ్ రేడియస్, మరొకది అనంతం
20const infiniteRadius = Number.MAX_VALUE;
21
22const pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionWater, tubeRadius, infiniteRadius);
23console.log(`ఒత్తడి తేడా: ${pressureDiff.toFixed(2)} Pa`);
24

1public class YoungLaplaceCalculator {
2    /**
3     * యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపయోగించి ఒత్తడి తేడాను లెక్కించండి
4     * 
5     * @param surfaceTension ఉపరితల ఉద్రిక్తత N/m లో
6     * @param radius1 మొదటి ప్రధాన వక్రత రేడియస్ m లో
7     * @param radius2 రెండవ ప్రధాన వక్రత రేడియస్ m లో
8     * @return Pa లో ఒత్తడి తేడా
9     */
10    public static double calculatePressureDifference(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
11        if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
12            throw new IllegalArgumentException("రేడియస్‌లు శూన్యం కావు");
13        }
14        
15        return surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
16    }
17    
18    public static void main(String[] args) {
19        // సబ్బు బుడగకు ఉదాహరణ
20        double surfaceTensionSoap = 0.025; // N/m
21        double bubbleRadius = 0.01; // 1 cm ని మీటర్లలో
22        
23        // గోళాకార బుడగ కోసం, రెండు రేడియస్‌లు సమానంగా ఉంటాయి
24        // గమనించండి: సబ్బు బుడగకు, రెండు ఇంటర్‌ఫేస్‌లు (లోపలి మరియు వెలుపల) ఉంటాయి,
25        // కాబట్టి మేము 2 తో గుణిస్తాము
26        double pressureDiff = 2 * calculatePressureDifference(surfaceTensionSoap, bubbleRadius, bubbleRadius);
27        
28        System.out.printf("సబ్బు బుడగలో ఒత్తడి తేడా: %.2f Pa%n", pressureDiff);
29    }
30}
31

1function deltaP = youngLaplacePressure(surfaceTension, radius1, radius2)
2    % యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపయోగించి ఒత్తడి తేడాను లెక్కించండి
3    %
4    % ఇన్‌పుట్స్:
5    %   surfaceTension - N/m లో ఉపరితల ఉద్రిక్తత
6    %   radius1 - m లో మొదటి ప్రధాన వక్రత రేడియస్
7    %   radius2 - m లో రెండవ ప్రధాన వక్రత రేడియస్
8    %
9    % అవుట్‌పుట్:
10    %   deltaP - Pa లో ఒత్తడి తేడా
11    
12    if radius1 == 0 || radius2 == 0
13        error('రేడియస్‌లు శూన్యం కావు');
14    end
15    
16    deltaP = surfaceTension * (1/radius1 + 1/radius2);
17end
18
19% వివిధ ద్రవాల కోసం ఒకే 1 mm రేడియస్ గల చుక్కల ఒత్తడి తేడాలను లెక్కించడానికి ఉదాహరణ స్క్రిప్ట్
20surfaceTension = 0.072; % 20°C వద్ద N/m
21radii = logspace(-6, -2, 100); % 1 µm నుండి 1 cm వరకు రేడియస్‌లు
22pressures = zeros(size(radii));
23
24for i = 1:length(radii)
25    % గోళాకార చుక్కలకు, రెండు ప్రధాన రేడియస్‌లు సమానంగా ఉంటాయి
26    pressures(i) = youngLaplacePressure(surfaceTension, radii(i), radii(i));
27end
28
29% లాగ్-లాగ్ ప్లాట్‌ను రూపొందించండి
30loglog(radii, pressures, 'LineWidth', 2);
31grid on;
32xlabel('చుక్క రేడియస్ (m)');
33ylabel('ఒత్తడి తేడా (Pa)');
34title('నీటి చుక్కల పరిమాణానికి యంగ్-లాప్లాస్ ఒత్తడి');
35

1#include <iostream>
2#include <stdexcept>
3#include <cmath>
4#include <iomanip>
5
6/**
7 * యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపయోగించి ఒత్తడి తేడాను లెక్కించండి
8 * 
9 * @param surfaceTension ఉపరితల ఉద్రిక్తత N/m లో
10 * @param radius1 మొదటి ప్రధాన వక్రత రేడియస్ m లో
11 * @param radius2 రెండవ ప్రధాన వక్రత రేడియస్ m లో
12 * @return Pa లో ఒత్తడి తేడా
13 */
14double youngLaplacePressure(double surfaceTension, double radius1, double radius2) {
15    if (radius1 == 0.0 || radius2 == 0.0) {
16        throw std::invalid_argument("రేడియస్‌లు శూన్యం కావు");
17    }
18    
19    return surfaceTension * (1.0/radius1 + 1.0/radius2);
20}
21
22int main() {
23    try {
24        // పెరుగుడు చుక్కకు ఉదాహరణ
25        double surfaceTensionMercury = 0.485; // 20°C వద్ద N/m
26        double dropletRadius = 0.002; // 2 mm ని మీటర్లలో
27        
28        // గోళాకార చుక్కకు, రెండు రేడియస్‌లు సమానంగా ఉంటాయి
29        double pressureDiff = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, dropletRadius, dropletRadius);
30        
31        std::cout << "పెరుగుడు చుక్కలో ఒత్తడి తేడా: " 
32                  << std::fixed << std::setprecision(2) << pressureDiff 
33                  << " Pa" << std::endl;
34                  
35        // కాపిలరీ ఇంటర్‌ఫేస్‌కు ఉదాహరణ (ఒక కాపిలరీ ట్యూబ్‌లో)
36        double tubeRadius = 0.0001; // 0.1 mm
37        double infiniteRadius = std::numeric_limits<double>::max();
38        
39        double capillaryPressure = youngLaplacePressure(surfaceTensionMercury, tubeRadius, infiniteRadius);
40        
41        std::cout << "పెరుగుడు కాపిలరీలో ఒత్తడి తేడా: " 
42                  << std::fixed << std::setprecision(2) << capillaryPressure 
43                  << " Pa" << std::endl;
44    }
45    catch (const std::exception& e) {
46        std::cerr << "లోపం: " << e.what() << std::endl;
47        return 1;
48    }
49    
50    return 0;
51}
52

1#' యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపయోగించి ఒత్తడి తేడాను లెక్కించండి
2#'
3#' @param surface_tension ఉపరితల ఉద్రిక్తత N/m లో
4#' @param radius1 మొదటి ప్రధాన వక్రత రేడియస్ m లో
5#' @param radius2 రెండవ ప్రధాన వక్రత రేడియస్ m లో
6#' @return Pa లో ఒత్తడి తేడా
7#' @examples
8#' young_laplace_pressure(0.072, 0.001, 0.001)
9young_laplace_pressure <- function(surface_tension, radius1, radius2) {
10  if (radius1 == 0 || radius2 == 0) {
11    stop("రేడియస్‌లు శూన్యం కావు")
12  }
13  
14  return(surface_tension * (1/radius1 + 1/radius2))
15}
16
17# వివిధ ద్రవాల కోసం ఒకే 1 mm రేడియస్ గల చుక్కల ఒత్తడి తేడాలను లెక్కించడానికి ఉదాహరణ స్క్రిప్ట్
18liquids <- data.frame(
19  name = c("నీరు", "ఎథనాల్", "పెరుగుడు", "బెంజీన్", "రక్త ప్లాస్మా"),
20  surface_tension = c(0.072, 0.022, 0.485, 0.029, 0.058)
21)
22
23# 1 mm గోళాకార చుక్కకు ఒత్తడి లెక్కించండి
24droplet_radius <- 0.001 # m
25liquids$pressure <- sapply(liquids$surface_tension, function(st) {
26  young_laplace_pressure(st, droplet_radius, droplet_radius)
27})
28
29# బార్ ప్లాట్‌ను రూపొందించండి
30barplot(liquids$pressure, names.arg = liquids$name, 
31        ylab = "ఒత్తడి తేడా (Pa)",
32        main = "వివిధ ద్రవాల 1 mm చుక్కల కోసం లాప్లాస్ ఒత్తడి",
33        col = "lightblue")
34
35# ఫలితాలను ముద్రించండి
36print(liquids[, c("name", "surface_tension", "pressure")])
37

తరచుగా అడిగే ప్రశ్నలు

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఏమి ఉపయోగించబడుతుంది?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపరితల ఉద్రిక్తత కారణంగా వక్ర ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ఒత్తడి తేడాను లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది కాపిలరీ చర్య, చుక్కల ఏర్పాట్లు, బుడగ స్థిరత్వం మరియు వివిధ మైక్రోఫ్లూడిక్ అప్లికేషన్ల వంటి ఫెనామెనాను అర్థం చేసుకోవడంలో ముఖ్యమైనది. ఈ సమీకరణం ఇంజనీర్లు మరియు శాస్త్రవేత్తలు ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యవస్థలను డిజైన్ చేయడానికి మరియు అవి వివిధ పరిస్థితులలో ఎలా ప్రవర్తిస్తాయో అంచనా వేయడానికి సహాయపడుతుంది.

చిన్న చుక్కలలో ఒత్తడి ఎందుకు ఎక్కువగా ఉంటుంది?

చిన్న చుక్కలలో అధిక అంతర్గత ఒత్తడి ఉంటుంది, ఎందుకంటే వాటి వక్రత ఎక్కువగా ఉంటుంది. యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ప్రకారం, ఒత్తడి తేడా వక్రత రేడియస్‌కు వ్యతిరేకంగా ఉంటుంది. రేడియస్ తగ్గినప్పుడు, వక్రత (1/R) పెరుగుతుంది, ఇది అధిక ఒత్తడి తేడాకు దారితీస్తుంది. ఇది చిన్న నీటి చుక్కలు పెద్దవల కంటే వేగంగా ఆవిరీభవించడానికి కారణమవుతుంది మరియు ఫోమ్‌లో చిన్న బుడగలు కుదించబడడం మరియు పెద్దవలు పెరగడం ఎందుకు జరుగుతుందో వివరిస్తుంది.

ఉష్ణోగ్రత యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణాన్ని ఎలా ప్రభావితం చేస్తుంది?

ఉష్ణోగ్రత ప్రధానంగా ఉపరితల ఉద్రిక్తతపై ప్రభావం చూపిస్తుంది. చాలా ద్రవాల కోసం, ఉపరితల ఉద్రిక్తత ఉష్ణోగ్రత పెరిగే కొద్దీ సుమారు రేఖీయంగా తగ్గుతుంది. అంటే, ఉష్ణోగ్రత పెరిగినప్పుడు, ఒక వక్ర ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ఒత్తడి తేడా కూడా తగ్గుతుంది, అనుకూలమైన జ్యామితి ఉండడం అనుకుంటే. ఒక ద్రవం యొక్క క్రిటికల్ పాయింట్ సమీపంలో, ఉపరితల ఉద్రిక్తత శూన్యానికి చేరుకుంటుంది, మరియు యంగ్-లాప్లాస్ ప్రభావం అస్పష్టంగా మారుతుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం అచ్ఛాదిత ఉపరితలాలకు వర్తించగలనా?

అవును, యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం సాధారణ రూపం ఏ వక్ర ఇంటర్‌ఫేస్‌కు వర్తిస్తుంది, కేవలం గోళాకారమైనవి మాత్రమే కాదు. ఈ సమీకరణం రెండు ప్రధాన వక్రత రేడియస్‌లను ఉపయోగిస్తుంది, ఇవి అచ్ఛాదిత ఉపరితలాలకు వేర్వేరు కావచ్చు. సంక్లిష్ట జ్యామితీ కోసం, ఈ రేడియస్‌లు ఉపరితలంలోని పాయింట్ నుండి పాయింట్ వరకు మారవచ్చు, ఇది మొత్తం ఇంటర్‌ఫేస్ ఆకారాన్ని లెక్కించడానికి మరింత క్లిష్టమైన గణిత శాస్త్రం లేదా సంఖ్యాత్మక పద్ధతులను అవసరం చేస్తుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం మరియు కాపిలరీ పెరుగుదల మధ్య సంబంధం ఏమిటి?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం కాపిలరీ పెరుగుదలని నేరుగా వివరిస్తుంది. ఒక సన్నని ట్యూబ్‌లో, వక్రమైన మెనిస్కస్ సమీకరణం ప్రకారం ఒత్తడి తేడాను సృష్టిస్తుంది. ఈ ఒత్తడి తేడా గురుత్వాకర్షణకు వ్యతిరేకంగా ద్రవాన్ని పైకి నడిపిస్తుంది, ఇది సమతుల్యతకు చేరుకునే వరకు కొనసాగుతుంది. కాపిలరీ పెరుగుదల ఎత్తును యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం నుండి ఉత్పత్తి చేయడం ద్వారా అంచనా వేయవచ్చు, ఇది ఒత్తడి తేడాను కాపిలరీ కాలమ్ యొక్క హైడ్రోస్టాటిక్ ఒత్తడికి (ρgh) సమానంగా ఉంచడం ద్వారా, h = 2γcosθ/(ρgr) అనే ప్రసిద్ధ సమీకరణాన్ని అందిస్తుంది.

చాలా చిన్న స్కేల్స్‌లో యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఎంత ఖచ్చితంగా ఉంటుంది?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం సాధారణంగా సూక్ష్మ స్కేల్స్ (మైక్రోమీటర్లు) వరకు ఖచ్చితంగా ఉంటుంది, కానీ నానోమీటర్ల వద్ద, అదనపు ప్రభావాలు ముఖ్యమైనవి అవుతాయి. వీటిలో పంక్తి కట్టడం (మూసి పాయింట్ వద్ద), డిస్జాయినింగ్ ఒత్తడి (సన్నని చిత్రాలలో), మరియు మాలిక్యులర్ పరస్పర చర్యలు ఉన్నాయి. ఈ స్కేల్స్ వద్ద, నిరంతర అనుమానాలు విరుగుడుగా మారడం ప్రారంభమవుతుంది, మరియు క్లాసికల్ యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం మార్పు పదాలను లేదా మాలిక్యులర్ డైనమిక్స్ దృక్పథాలను అవసరం చేస్తుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ మరియు యంగ్ సమీకరణాల మధ్య తేడా ఏమిటి?

సంబంధితమైనప్పటికీ, ఈ సమీకరణాలు ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్‌ల యొక్క విభిన్న అంశాలను వివరిస్తాయి. యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఒత్తడి తేడాను ఉపరితల వక్రత మరియు ఉద్రిక్తతకు సంబంధించి వివరిస్తుంది. యంగ్ సమీకరణం (కొన్నిసార్లు యంగ్ యొక్క సంబంధం అని పిలువబడుతుంది) ఒక ద్రవ-వాయువు ఇంటర్‌ఫేస్ ఒక ఘన ఉపరితలాన్ని కలవడంతో ఏర్పడే కాంటాక్ట్ కోణాన్ని వివరిస్తుంది, ఇది మూడు దశల మధ్య (ఘన-వాయువు, ఘన-ద్రవ, మరియు ద్రవ-వాయువు) మధ్య ఉత్పత్తి చేసే ఇంటర్‌ఫేసియల్ ఉద్రిక్తతలను సంబంధితంగా చూపిస్తుంది. ఈ రెండు సమీకరణలు థామస్ యంగ్ ద్వారా అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి మరియు ఇంటర్‌ఫేసియల్ ఫెనామెనాను అర్థం చేసుకోవడానికి ప్రాథమికమైనవి.

సర్ఫాక్టెంట్లు యంగ్-లాప్లాస్ ఒత్తడి మీద ఎలా ప్రభావితం చేస్తాయి?

సర్ఫాక్టెంట్లు ద్రవ ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ఆడ్సార్బ్ అవ్వడం ద్వారా ఉపరితల ఉద్రిక్తతను తగ్గిస్తాయి. యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ప్రకారం, ఇది నేరుగా ఇంటర్‌ఫేస్ వద్ద ఒత్తడి తేడాను తగ్గిస్తుంది. అదనంగా, సర్ఫాక్టెంట్లు అసమానంగా పంపిణీ చేసినప్పుడు ఉపరితల ఉద్రిక్తత గ్రేడియెంట్లను (మరంగోని ప్రభావాలు) సృష్టించగలవు, ఇది స్థిరమైన ప్రవాహాలు మరియు డైనమిక్ ప్రవర్తనలను సృష్టిస్తుంది, ఇది స్థిరమైన యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ద్వారా పట్టించుకోబడదు. ఇది ఎందుకు సర్ఫాక్టెంట్లు ఫోమ్‌లు మరియు ఎముల్షన్లను స్థిరంగా ఉంచుతాయో, అవి కుదించడానికి ఒత్తడి తేడాను తగ్గిస్తాయి.

పండెంట్ డ్రాప్ యొక్క ఆకారాన్ని యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం అంచనా వేయగలనా?

అవును, యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం, గురుత్వాకర్షణ ప్రభావాలతో కలిపి, పండెంట్ డ్రాప్ యొక్క ఆకారాన్ని అంచనా వేయగలదు. ఇలాంటి సందర్భాలలో, సమీకరణాన్ని సగటు వక్రతను ఉపయోగించి రాసి, సంఖ్యాత్మకంగా పరిష్కరించడానికి అవసరం ఉంటుంది. ఇది ఉపరితల ఉద్రిక్తతను కొలిచే పండెంట్ డ్రాప్ పద్ధతికి ఆధారం, ఇది గమనించిన డ్రాప్ ఆకారాన్ని యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ద్వారా లెక్కించిన సిద్ధాంత మోడల్‌లతో సరిపోల్చడం ద్వారా పనిచేస్తుంది.

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణం ఉపయోగించడానికి ఏ యూనిట్‌లను ఉపయోగించాలి?

యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణంతో సరైన ఫలితాలను పొందడానికి, SI యూనిట్‌లను ఉపయోగించండి:

• ఉపరితల ఉద్రిక్తత (γ): న్యూటన్‌లు ప్రతి మీటర్ (N/m)
• వక్రత రేడియస్‌లు (R₁, R₂): మీటర్లు (m)
• ఫలిత ఒత్తడి తేడా (ΔP): పాస్కల్స్ (Pa)

మీరు ఇతర యూనిట్ వ్యవస్థలను ఉపయోగిస్తుంటే, నిరంతరంగా ఉండాలి. ఉదాహరణకు, CGS యూనిట్‌లలో, ఉపరితల ఉద్రిక్తత కోసం డైన్/cm, రేడియస్‌ల కోసం cm, మరియు ఒత్తడి కోసం డైన్/cm² ఉపయోగించండి.

సూచనలు

1. డె గెన్నెస్, పి.జి., బ్రోచార్డ్-వాయర్ట్, ఎఫ్., & క్వెరే, డి. (2004). Capillarity and Wetting Phenomena: Drops, Bubbles, Pearls, Waves. స్ప్రింగర్.

2. అడమ్సన్, ఎ.వె., & గ్యాస్ట్, ఎ.పీ. (1997). Physical Chemistry of Surfaces (6వ ఎడిషన్). వైలీ-ఇంటర్సైన్స్.

3. ఇజ్రాయెలాచ్విలి, జే.ఎన్. (2011). Intermolecular and Surface Forces (3వ ఎడిషన్). అకాడమిక్ ప్రెస్.

4. రోవ్లిన్సన్, జే.ఎస్., & విడమ్, బి. (2002). Molecular Theory of Capillarity. డోవర్ పబ్లికేషన్స్.

5. యంగ్, టి. (1805). "An Essay on the Cohesion of Fluids". Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 95, 65-87.

6. లాప్లాస్, పి.ఎస్. (1806). Traité de Mécanique Céleste, Supplement to Book 10.

7. డెఫాయ్, ఆర్., & ప్రిగోగిన్, ఐ. (1966). Surface Tension and Adsorption. లాంగ్మన్స్.

8. ఫిన్, ఆర్. (1986). Equilibrium Capillary Surfaces. స్ప్రింగర్-వెర్గ్.

9. డెర్జాగిన్, బి.వి., చురావ్, ఎన్.వి., & ముల్లర్, వి.ఎం. (1987). Surface Forces. కన్సల్టెంట్స్ బ్యూరో.

10. లాట్రప్, బి. (2011). Physics of Continuous Matter: Exotic and Everyday Phenomena in the Macroscopic World (2వ ఎడిషన్). CRC ప్రెస్.

వక్ర ఇంటర్‌ఫేస్‌ల మధ్య ఒత్తడి తేడాలను లెక్కించడానికి సిద్ధంగా ఉన్నారా? మా యంగ్-లాప్లాస్ సమీకరణ పరిష్కర్తను ఇప్పుడు ప్రయత్నించండి మరియు ఉపరితల ఉద్రిక్తత ఫెనామెనాను అర్థం చేసుకోండి. మరింత ద్రవ యాంత్రికత సాధనాలు మరియు కేల్క్యులేటర్ల కోసం, మా ఇతర వనరులను అన్వేషించండి.