Quadratic Equation Solver

Introduction

Quadratic equation என்பது ஒரே மாறியில் இரண்டாம் நிலை பால் மாறுபாடு ஆகும். இதன் தரநிலைக் வடிவத்தில், ஒரு quadratic equation இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது:

$ax^2 + bx + c = 0$

எங்கு $a$, $b$, மற்றும் $c$ உண்மையான எண்கள் மற்றும் $a \neq 0$. $ax^2$ என்ற பகுதி quadratic term என்று அழைக்கப்படுகிறது, $bx$ என்பது linear term, மற்றும் $c$ என்பது constant term ஆகும்.

இந்த கணக்கீட்டாளர், $a$, $b$, மற்றும் $c$ என்ற கூட்டியல்களை உள்ளீடு செய்வதன் மூலம் quadratic equations ஐ தீர்க்க உதவுகிறது. இது quadratic சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் அடிப்படைகளை (தீர்வுகள்) கண்டுபிடிக்கிறது மற்றும் முடிவுகளை தெளிவான, வடிவமைக்கப்பட்ட வெளியீடாக வழங்குகிறது.

How to Use This Calculator

1. கூட்டியல் $a$ ஐ உள்ளீடு செய்யவும் (இது பூஜ்யம் அல்லாமல் இருக்க வேண்டும்)
2. கூட்டியல் $b$ ஐ உள்ளீடு செய்யவும்
3. கூட்டியல் $c$ ஐ உள்ளீடு செய்யவும்
4. முடிவுகளுக்கான தேவையான துல்லியத்தை (புள்ளிகள் எண்ணிக்கை) தேர்ந்தெடுக்கவும்
5. "Solve" பொத்தானை கிளிக் செய்யவும்
6. கணக்கீட்டாளர், அடிப்படைகள் (இவை உள்ளால்) மற்றும் தீர்வுகளின் இயல்பைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களை காட்டும்

Formula

Quadratic formula, quadratic equations ஐ தீர்க்க பயன்படுத்தப்படுகிறது. $ax^2 + bx + c = 0$ வடிவத்தில் உள்ள சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள்:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

சதுர மூலத்தின் கீழ் உள்ள பகுதி, $b^2 - 4ac$, discriminant என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது அடிப்படைகளின் இயல்பைப் தீர்மானிக்கிறது:

• $b^2 - 4ac > 0$ என்றால், இரண்டு மாறுபட்ட உண்மையான அடிப்படைகள் உள்ளன
• $b^2 - 4ac = 0$ என்றால், ஒரு உண்மையான அடிப்படை (மறுபடியான அடிப்படை)
• $b^2 - 4ac < 0$ என்றால், உண்மையான அடிப்படைகள் இல்லை (இரு சிக்கலான இணை அடிப்படைகள்)

Calculation

கணக்கீட்டாளர் quadratic equation ஐ தீர்க்க பின்வரும் படிகளை மேற்கொள்கிறது:

1. உள்ளீடுகளை சரிபார்க்கவும்:

   • $a$ பூஜ்யம் அல்ல என்பதை உறுதி செய்யவும்
   • கூட்டியல்கள் செல்லுபடியாகும் வரம்பில் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும் (எடுத்துக்காட்டாக, -1e10 மற்றும் 1e10 இடையே)

2. discriminant ஐ கணக்கிடவும்: $\Delta = b^2 - 4ac$

3. discriminant அடிப்படையில் அடிப்படைகளின் இயல்பைப் தீர்மானிக்கவும்

4. உண்மையான அடிப்படைகள் உள்ளால், quadratic formula ஐப் பயன்படுத்தி அவற்றைப் கணக்கிடவும்: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ மற்றும் $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

5. முடிவுகளை குறிப்பிடப்பட்ட துல்லியத்திற்கு சுற்றி விடவும்

6. முடிவுகளை காட்டு, இதில்:

   • அடிப்படைகளின் இயல்பு
   • அடிப்படைகளின் மதிப்புகள் (உண்மையானால்)
   • தரநிலைக் வடிவத்தில் உள்ள சமன்பாடு

Input Validation and Error Handling

கணக்கீட்டாளர் பின்வரும் சரிபார்ப்புகளை செயல்படுத்துகிறது:

• கூட்டியல் $a$ பூஜ்யம் அல்லாமல் இருக்க வேண்டும். $a = 0$ என்றால், ஒரு பிழை செய்தி காட்டப்படுகிறது.
• அனைத்து கூட்டியல்கள் செல்லுபடியாகும் எண்கள் ஆக இருக்க வேண்டும். எண்ணற்ற உள்ளீடுகள் நிராகரிக்கப்படுகின்றன.
• கூட்டியல்கள் ஒரு சீரான வரம்பில் இருக்க வேண்டும் (எடுத்துக்காட்டாக, -1e10 மற்றும் 1e10 இடையே) அடுத்தடுத்த பிழைகளைத் தவிர்க்க.

Use Cases

Quadratic equations பல துறைகளில் பல்வேறு பயன்பாடுகள் உள்ளன:

1. இயற்பியல்: திட்டமிடல் இயக்கத்தை விவரிக்க, பொருட்கள் விழும் நேரத்தை கணக்கிட மற்றும் எளிய அதிர்வியல் இயக்கத்தை பகுப்பாய்வு செய்ய.

2. பொறியியல்: ஒளி அல்லது தொலைக்காட்சிகள் க்கான parabolic பிரதிபலிப்புகளை வடிவமைக்க, கட்டுமான திட்டங்களில் பரப்பளவு அல்லது அளவைக் கட்டுப்படுத்த.

3. பொருளாதாரம்: வழங்கல் மற்றும் கோரிக்கைக் குவியல்களை மாதிரியாக்க, லாப செயல்பாடுகளை அதிகரிக்க.

4. கணினி கிராஃபிக்ஸ்: parabolic வளைவுகள் மற்றும் மேற்பரப்புகளை உருவாக்க, வடிவியல் வடிவங்கள் இடையே சந்திப்புகளை கணக்கிட.

5. நிதி: கூட்டுத்தொகை வட்டி, விருப்ப விலை மாதிரிகளை கணக்கிட.

6. உயிரியல்: வரம்பு காரியங்களுடன் மக்கள் வளர்ச்சியை மாதிரியாக்க.

Alternatives

Quadratic formula, quadratic equations ஐ தீர்க்க ஒரு சக்திவாய்ந்த கருவி ஆக இருந்தாலும், சில சூழ்நிலைகளில் மேலும் பொருத்தமான மாற்று முறைகள் உள்ளன:

1. காரிகை: எண்கள் கூட்டியல்களுடன் உள்ள சமன்பாடுகளை எளிதாக மற்றும் சிக்கலான பாகங்களை வழங்கலாம்.

2. சதுரத்தை முழுமைப்படுத்துதல்: இந்த முறை quadratic formula ஐ உருவாக்குவதற்கும் quadratic செயல்பாடுகளை vertex வடிவத்திற்கு மாற்றுவதற்கும் பயனுள்ளதாக உள்ளது.

3. வரைபட முறைகள்: quadratic செயல்பாட்டைப் வரைந்து அதன் x-intercepts ஐ கண்டுபிடிக்க, அடிப்படைகளைப் பற்றிய கண்ணோட்டத்தை வழங்கலாம்.

4. எண்ணியல் முறைகள்: மிகவும் பெரிய கூட்டியல்களுக்காக அல்லது அதிக துல்லியத்தைப் பெற, எண்ணியல் முறைகள், Newton-Raphson முறை போன்றவை மிகவும் நிலையானதாக இருக்கலாம்.

History

Quadratic equations இன் வரலாறு பழமையான நாகரிகங்களுக்கு திரும்புகிறது:

• பாபிலோனியர்கள் (கி.மு. 2000): சதுரத்தை முழுமைப்படுத்துவதற்கான நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி குறிப்பிட்ட quadratic equations ஐ தீர்த்தனர்.
• பழமையான கிரேக்கர்கள் (கி.மு. 400): சதுர சமன்பாடுகளை புவியியல் முறையில் தீர்த்தனர்.
• இந்திய கணிதவியலாளர்கள் (கி.மு. 600): Brahmagupta, quadratic equations ஐ தீர்க்க முதன்முதலில் வெளிப்படையான சூத்திரத்தை வழங்கினார்.
• இஸ்லாமிய பொன்னாட்டு காலம் (கி.மு. 800): Al-Khwarizmi, கணித முறைகளைப் பயன்படுத்தி systematic முறையில் quadratic equations ஐ தீர்த்தார்.
• புதுமை யூரோப்பா: பொதுவான கணித தீர்வு (quadratic formula) பரவலாக அறியப்பட்டு பயன்படுத்தப்பட்டது.

மூன்றாம் நூற்றாண்டில் quadratic formula இன் நவீன வடிவம் இறுதியாக முடிவுறுத்தப்பட்டது, ஆனால் அதன் கூறுகள் மிகவும் முந்தைய காலங்களில் அறியப்பட்டன.

Examples

இங்கே பல்வேறு நிரல் மொழிகளில் quadratic equations ஐ தீர்க்கக் குறியீட்டு உதாரணங்கள் உள்ளன:

1' Excel VBA Function for Quadratic Equation Solver
2Function SolveQuadratic(a As Double, b As Double, c As Double) As String
3    Dim discriminant As Double
4    Dim x1 As Double, x2 As Double
5    
6    discriminant = b ^ 2 - 4 * a * c
7    
8    If discriminant > 0 Then
9        x1 = (-b + Sqr(discriminant)) / (2 * a)
10        x2 = (-b - Sqr(discriminant)) / (2 * a)
11        SolveQuadratic = "Two real roots: x1 = " & x1 & ", x2 = " & x2
12    ElseIf discriminant = 0 Then
13        x1 = -b / (2 * a)
14        SolveQuadratic = "One real root: x = " & x1
15    Else
16        SolveQuadratic = "No real roots"
17    End If
18End Function
19' Usage:
20' =SolveQuadratic(1, 5, 6)
21

1import math
2
3def solve_quadratic(a, b, c):
4    discriminant = b**2 - 4*a*c
5    if discriminant > 0:
6        x1 = (-b + math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
7        x2 = (-b - math.sqrt(discriminant)) / (2*a)
8        return f"Two real roots: x₁ = {x1:.2f}, x₂ = {x2:.2f}"
9    elif discriminant == 0:
10        x = -b / (2*a)
11        return f"One real root: x = {x:.2f}"
12    else:
13        return "No real roots"
14
15# Example usage:
16print(solve_quadratic(1, 5, 6))
17

1function solveQuadratic(a, b, c) {
2  const discriminant = b * b - 4 * a * c;
3  if (discriminant > 0) {
4    const x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
5    const x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6    return `Two real roots: x₁ = ${x1.toFixed(2)}, x₂ = ${x2.toFixed(2)}`;
7  } else if (discriminant === 0) {
8    const x = -b / (2 * a);
9    return `One real root: x = ${x.toFixed(2)}`;
10  } else {
11    return "No real roots";
12  }
13}
14
15// Example usage:
16console.log(solveQuadratic(1, 5, 6));
17

1public class QuadraticSolver {
2    public static String solveQuadratic(double a, double b, double c) {
3        double discriminant = b * b - 4 * a * c;
4        if (discriminant > 0) {
5            double x1 = (-b + Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
6            double x2 = (-b - Math.sqrt(discriminant)) / (2 * a);
7            return String.format("Two real roots: x₁ = %.2f, x₂ = %.2f", x1, x2);
8        } else if (discriminant == 0) {
9            double x = -b / (2 * a);
10            return String.format("One real root: x = %.2f", x);
11        } else {
12            return "No real roots";
13        }
14    }
15
16    public static void main(String[] args) {
17        System.out.println(solveQuadratic(1, 5, 6));
18    }
19}
20

Numerical Examples

1. இரண்டு உண்மையான அடிப்படைகள்:

   • சமன்பாடு: $x^2 + 5x + 6 = 0$
   • கூட்டியல்கள்: $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
   • முடிவு: இரண்டு உண்மையான அடிப்படைகள்: $x_1 = -2.00$, $x_2 = -3.00$

2. ஒரு உண்மையான அடிப்படை (மறுபடியான):

   • சமன்பாடு: $x^2 + 4x + 4 = 0$
   • கூட்டியல்கள்: $a = 1$, $b = 4$, $c = 4$
   • முடிவு: ஒரு உண்மையான அடிப்படை: $x = -2.00$

3. உண்மையான அடிப்படைகள் இல்லை:

   • சமன்பாடு: $x^2 + x + 1 = 0$
   • கூட்டியல்கள்: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$
   • முடிவு: உண்மையான அடிப்படைகள் இல்லை

4. பெரிய கூட்டியல்கள்:

   • சமன்பாடு: $1000000x^2 + 5000000x + 6000000 = 0$
   • கூட்டியல்கள்: $a = 1000000$, $b = 5000000$, $c = 6000000$
   • முடிவு: இரண்டு உண்மையான அடிப்படைகள்: $x_1 = -1.00$, $x_2 = -4.00$

Graphing Quadratic Functions

Quadratic செயல்பாட்டின் வரைபடம் $f(x) = ax^2 + bx + c$ என்பது ஒரு parabol ஆகும். quadratic equation இன் அடிப்படைகள் இந்த parabol இன் x-intercepts க்கு ஒத்துபோகின்றன. வரைபடத்தில் முக்கிய புள்ளிகள் உள்ளன:

• Vertex: Parabol இன் மிக உயர்ந்த அல்லது மிகக் கீழ்ப்பட்ட புள்ளி, $(-b/(2a), f(-b/(2a)))$ மூலம் வழங்கப்படுகிறது
• Axis of symmetry: Vertex வழியாக செல்கின்ற ஒரு செங்குத்து கோடு, $x = -b/(2a)$ மூலம் வழங்கப்படுகிறது
• y-intercept: Parabol y-அச்சில் கடக்கும்போது உள்ள புள்ளி, $(0, c)$ மூலம் வழங்கப்படுகிறது

Parabol இன் திசை மற்றும் அகலம் $a$ கூட்டியலால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

• $a > 0$ என்றால், parabol மேலே திறக்கிறது
• $a < 0$ என்றால், parabol கீழே திறக்கிறது
• $a$ இன் பெரிய மாறுபாடுகள் நெருக்கமான parabol களை உருவாக்குகின்றன

வரைபடத்தைப் புரிந்துகொள்வது, கணக்கீட்டின் மூலம் அடிப்படைகளைப் பற்றிய புரிதலை வழங்கலாம்.

References

1. Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html
2. "Quadratic equation." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation
3. Larson, Ron, and Bruce Edwards. Calculus. 10th ed., Cengage Learning, 2014.
4. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed., Cengage Learning, 2015.
5. "The History of the Quadratic Equation." ThoughtCo, https://www.thoughtco.com/history-of-the-quadratic-equation-3126340