பைனமியல் விநியோகக் கணக்கீட்டாளர்

அறிமுகம்

பைனமியல் விநியோகம் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான சுயாதீனமான பெர்னோலி சோதனைகளில் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை மாதிரியோட்டும் ஒரு புள்ளியியல் விநியோகமாகும். இது புள்ளியியல், வாய்ப்பு கோட்பாடு மற்றும் தரவியல் போன்ற பல துறைகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த கணக்கீட்டாளர், பயனர் வழங்கிய அளவுகோல்களின் அடிப்படையில் பைனமியல் விநியோகங்களுக்கு வாய்ப்புகளை கணக்கிட அனுமதிக்கிறது.

சூத்திரம்

பைனமியல் விநியோகத்திற்கான வாய்ப்பு மாஸ் செயல்பாடு:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

எங்கே:

• n என்பது சோதனைகளின் எண்ணிக்கையாகும்
• k என்பது வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையாகும்
• p என்பது ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றியின் வாய்ப்பு
• $\binom{n}{k}$ என்பது பைனமியல் கூட்டுத்தொகை, $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ எனக் கணக்கிடப்படுகிறது

இந்த கணக்கீட்டாளரை எப்படி பயன்படுத்துவது

1. சோதனைகளின் எண்ணிக்கையை (n) உள்ளிடவும்
2. ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றியின் வாய்ப்பை (p) உள்ளிடவும்
3. வெற்றிகளின் எண்ணிக்கையை (k) உள்ளிடவும்
4. வாய்ப்பைப் பெற "கணக்கீடு செய்" பொத்தானை அழுத்தவும்
5. முடிவு ஒரு தசம வாய்ப்பாகக் காண்பிக்கப்படும்

கணக்கீடு

இந்த கணக்கீட்டாளர் பயனர் உள்ளீட்டின் அடிப்படையில் வாய்ப்பைப் கணக்கிட பைனமியல் வாய்ப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. கணக்கீட்டின் படி, இது படி-by-படி விளக்கம்:

1. பைனமியல் கூட்டுத்தொகையை $\binom{n}{k}$ கணக்கிடவும்
2. $p^k$ ஐ கணக்கிடவும்
3. $(1-p)^{n-k}$ ஐ கணக்கிடவும்
4. 1, 2 மற்றும் 3 ஆம் படிகளில் உள்ள முடிவுகளைப் பெருக்கவும்

இந்த கணக்கீட்டாளர் துல்லியத்தை உறுதி செய்ய இரட்டைக்-துல்லிய மிதவியல் கணக்கீட்டை பயன்படுத்துகிறது.

உள்ளீட்டு சரிபார்ப்பு

இந்த கணக்கீட்டாளர் பயனர் உள்ளீடுகளில் கீழ்காணும் சரிபார்ப்புகளைச் செய்கிறது:

• n ஒரு நேர்மறை முழு எண் இருக்க வேண்டும்
• p 0 மற்றும் 1 (உள்ளடக்கம்) இடையே ஒரு எண்ணாக இருக்க வேண்டும்
• k n ஐ விட அதிகமாக இல்லாத ஒரு எதிர்மறை முழு எண் இருக்க வேண்டும்

தவறான உள்ளீடுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், ஒரு பிழை செய்தி காண்பிக்கப்படும், மற்றும் சரிசெய்யப்படும்வரை கணக்கீடு முன்னேறாது.

பயன்பாட்டு வழிகள்

பைனமியல் விநியோகக் கணக்கீட்டாளருக்கு பல துறைகளில் பயன்பாடுகள் உள்ளன:

1. தரம் கட்டுப்பாடு: உற்பத்தி தொகுப்பில் குறைபாடான உருப்படிகளின் வாய்ப்பை மதிப்பீடு செய்தல்.

2. மருத்துவம்: மருத்துவ பரிசோதனைகளில் சிகிச்சை வெற்றியின் வாய்ப்பைக் கணக்கிடுதல்.

3. நிதி: பங்குச் சந்தை விலைகளைப் பற்றிய வாய்ப்புகளை மாதிரியோட்டுதல்.

4. விளையாட்டு பகுப்பாய்வு: பல்வேறு முயற்சிகளில் வெற்றிகரமான முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையை கணிக்க.

5. பரவலாக்கம்: ஒரு மக்கள்தொகையில் நோயின் பரவலின் வாய்ப்பைப் மதிப்பீடு செய்தல்.

மாற்றுகள்

பைனமியல் விநியோகம் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் போதிலும், சில சந்தர்ப்பங்களில் அதிகரிக்கக்கூடிய பிற தொடர்புடைய விநியோகங்கள் இருக்கலாம்:

1. போய்சான் விநியோகம்: n மிகவும் பெரியது மற்றும் p மிகவும் சிறியது என்றால், போய்சான் விநியோகம் ஒரு நல்ல நிகர்வாக இருக்கலாம்.

2. சாதாரண நிகர்வு: பெரிய n க்காக, பைனமியல் விநியோகம் சாதாரண விநியோகத்தால் நிகர்வாகக் கணக்கிடலாம்.

3. எதிர்மறை பைனமியல் விநியோகம்: ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான வெற்றிகளை அடைய தேவையான சோதனைகளின் எண்ணிக்கையைப் பற்றிய விருப்பம்.

4. ஹைப்பர்ஜியோமெட்ரிக் விநியோகம்: ஒரு முடிவான மக்கள் தொகையிலிருந்து மாற்றம் செய்யாமல் மாதிரி எடுப்பது.

வரலாறு

பைனமியல் விநியோகம், ஜேகப் பெர்னோலியின் வேலைகளில் இருந்து தோன்றியது, இது 1713 இல் அவரது "ஆர்ஸ் கான்ஜெக்டாண்டி" என்ற புத்தகத்தில் வெளியிடப்பட்டது. பெர்னோலி பைனமியல் சோதனைகளின் பண்புகளைப் பற்றி ஆய்வு செய்து, பைனமியல் விநியோகங்களுக்கு பெரிய எண்ணிக்கையிலான சட்டத்தை உருவாக்கினார்.

18ஆம் மற்றும் 19ஆம் நூற்றாண்டுகளில், ஆபிரஹாம் டி மொயிர், பியர்-சிமான் லாப்லாஸ் மற்றும் சிமோன் டெனிஸ் போய்சான் போன்ற கணிதவியலாளர்கள் பைனமியல் விநியோகத்தின் கோட்பாடு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளை மேலும் வளர்த்தனர். டி மொயிரின் சாதாரண விநியோகத்துடன் பைனமியல் விநியோகத்தை நிகர்வாகக் கணக்கிடுவதில் உள்ள வேலை மிகவும் முக்கியமானது.

இன்று, பைனமியல் விநியோகம் வாய்ப்பு கோட்பாடு மற்றும் புள்ளியியல் என்ற அடிப்படையான கருத்தாகத் திகழ்கிறது, இது பரிசோதனை சோதனை, நம்பிக்கை இடைவெளிகள் மற்றும் பல்வேறு துறைகளில் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்

இங்கே பைனமியல் வாய்ப்புகளை கணக்கிடும் சில குறியீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

1' Excel VBA செயல்பாடு பைனமியல் வாய்ப்பு
2Function BinomialProbability(n As Integer, k As Integer, p As Double) As Double
3    BinomialProbability = Application.WorksheetFunction.Combin(n, k) * p ^ k * (1 - p) ^ (n - k)
4End Function
5' பயன்பாடு:
6' =BinomialProbability(10, 3, 0.5)
7

1import math
2
3def binomial_probability(n, k, p):
4    return math.comb(n, k) * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
5
6## எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
7n = 10
8k = 3
9p = 0.5
10probability = binomial_probability(n, k, p)
11print(f"Probability: {probability:.6f}")
12

1function binomialProbability(n, k, p) {
2  const binomialCoefficient = (n, k) => {
3    if (k === 0 || k === n) return 1;
4    return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
5  };
6  
7  return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
8}
9
10// எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
11const n = 10;
12const k = 3;
13const p = 0.5;
14const probability = binomialProbability(n, k, p);
15console.log(`Probability: ${probability.toFixed(6)}`);
16

1public class BinomialDistributionCalculator {
2    public static double binomialProbability(int n, int k, double p) {
3        return binomialCoefficient(n, k) * Math.pow(p, k) * Math.pow(1 - p, n - k);
4    }
5
6    private static long binomialCoefficient(int n, int k) {
7        if (k == 0 || k == n) return 1;
8        return binomialCoefficient(n - 1, k - 1) + binomialCoefficient(n - 1, k);
9    }
10
11    public static void main(String[] args) {
12        int n = 10;
13        int k = 3;
14        double p = 0.5;
15
16        double probability = binomialProbability(n, k, p);
17        System.out.printf("Probability: %.6f%n", probability);
18    }
19}
20

இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் பல்வேறு கணினி மொழிகளைப் பயன்படுத்தி பைனமியல் வாய்ப்புகளை கணக்கிடுவதைக் காட்டுகின்றன. நீங்கள் இந்த செயல்பாடுகளை உங்கள் குறிப்பிட்ட தேவைகளுக்கு ஏற்ப மாற்றலாம் அல்லது பெரிய புள்ளியியல் பகுப்பாய்வு முறைமைகளில் ஒருங்கிணைக்கலாம்.

எண் எடுத்துக்காட்டுகள்

1. நாணயங்கள்:

   • n = 10 (முழு)
   • p = 0.5 (நீதிமன்ற நாணயம்)
   • k = 3 (தலைகள்)
   • வாய்ப்பு ≈ 0.1172

2. தரம் கட்டுப்பாடு:

   • n = 100 (சோதிக்கப்படும் உருப்படிகள்)
   • p = 0.02 (குறைபாடு வாய்ப்பு)
   • k = 0 (குறைபாடுகள் இல்லை)
   • வாய்ப்பு ≈ 0.1326

3. பரவலாக்கம்:

   • n = 1000 (மக்கள்தொகை அளவு)
   • p = 0.001 (நோய் பரவல் வீதம்)
   • k = 5 (நோயாளிகள்)
   • வாய்ப்பு ≈ 0.0003

எல்லை சந்தர்ப்பங்கள் மற்றும் கருத்துகள்

1. பெரிய n: n மிகவும் பெரியதாக இருக்கும் போது (எடுத்துக்காட்டாக, n > 1000), கணக்கீட்டு திறன் ஒரு கவலை ஆகிறது. அந்நிலையில், சாதாரண விநியோகத்தைப் போன்ற நிகர்வுகள் மேலும் நடைமுறைப்படுத்தப்படலாம்.

2. தீவிர p மதிப்புகள்: p 0 அல்லது 1 க்கு மிகவும் அருகில் இருக்கும் போது, எண்ணியல் துல்லியப் பிரச்சினைகள் உருவாகலாம். துல்லியமான முடிவுகளை உறுதி செய்ய சிறப்பு கையாளல் தேவைப்படலாம்.

3. k = 0 அல்லது k = n: இந்த சந்தர்ப்பங்களை முழு பைனமியல் கூட்டுத்தொகை கணக்கீட்டு செய்யாமல் மிகவும் திறமையாகக் கணக்கிடலாம்.

4. கூட்டுத்தொகை வாய்ப்புகள்: பெரும்பாலும், பயனர் கூட்டுத்தொகை வாய்ப்புகளை (P(X ≤ k) அல்லது P(X ≥ k)) ஆர்வமாகக் காண்கிறார்கள். கணக்கீட்டாளரை இந்த கணக்கீடுகளை வழங்குவதற்கு விரிவாக்கலாம்.

5. காட்சிப்படுத்தல்: பைனமியல் விநியோகத்தின் காட்சிப்படுத்தல்களை (எடுத்துக்காட்டாக, வாய்ப்பு மாஸ் செயல்பாட்டு வரைபடம்) சேர்க்கும் போது, பயனர்கள் முடிவுகளை மேலும் புரிந்துகொள்ள உதவும்.

பிற விநியோகங்களுடன் தொடர்பு

1. சாதாரண நிகர்வு: பெரிய n க்காக, பைனமியல் விநியோகம் np என்ற மையத்துடன் மற்றும் np(1-p) என்ற மாறுபாட்டுடன் சாதாரண விநியோகத்தால் நிகர்வாகக் கணக்கிடலாம்.

2. போய்சான் நிகர்வு: n பெரியதாகவும் p சிறிதாகவும், np மிதமானதாக இருந்தால், பைனமியல் விநியோகம் போய்சான் விநியோகத்தால் நிகர்வாகக் கணக்கிடலாம்.

3. பெர்னோலி விநியோகம்: பைனமியல் விநியோகம் n சுயாதீன பெர்னோலி சோதனைகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

assumptions மற்றும் வரம்புகள்

1. நிலையான சோதனைகள் (n)
2. ஒவ்வொரு சோதனையிலும் வெற்றியின் நிலையான வாய்ப்பு (p)
3. சோதனைகளின் சுயாதீனத்தன்மை
4. ஒவ்வொரு சோதனையிலும் இரண்டு சாத்தியமான முடிவுகள் (வெற்றி அல்லது தோல்வி)

இந்த assumptions ஐப் புரிந்துகொள்வது, பைனமியல் விநியோக மாதிரியை உண்மையான பிரச்சினைகளில் சரியாகப் பயன்படுத்துவதற்கு மிகவும் முக்கியமாகும்.

முடிவுகளைப் புரிந்துகொள்வது

பைனமியல் விநியோக முடிவுகளைப் புரிந்துகொள்ளும் போது, கவனிக்கவும்:

1. எதிர்பார்க்கப்படும் மதிப்பு: E(X) = np
2. மாறுபாடு: Var(X) = np(1-p)
3. சாய்வு: p ≠ 0.5 என்றால், விநியோகம் சாய்வு உள்ளது; n அதிகரிக்கும்போது இது மேலும் சமமடைகிறது
4. சரியான முடிவுகள் மற்றும் வரம்புகளின் வாய்ப்பு: பெரும்பாலும், வரம்புகள் (எடுத்துக்காட்டாக, P(X ≤ k)) சரியான வாய்ப்புகளுக்கு விடுபட்டவையாக இருக்கின்றன

இந்த விரிவான தகவல்களை வழங்குவதன் மூலம், பயனர்கள் பைனமியல் விநியோகத்தை தங்களின் குறிப்பிட்ட பிரச்சினைகளுக்கு மேலும் புரிந்துகொண்டு பயன்படுத்த முடியும்.

மேற்கோள்கள்

1. "பைனமியல் விநியோகம்." விக்கிப்பீடியா, விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை, https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution. அணுகியது 2 ஆகஸ்ட் 2024.
2. ராஸ், ஷெல்டன் எம். "வாய்ப்பு மாதிரிகள் அறிமுகம்." அகாடமிக் ப்ரெஸ், 2014.
3. ஜான்சன், நோர்மன் எல்., மற்றும் பிற. "தரவியல் விநியோகங்கள்." விலி தொடர் வாய்ப்பு மற்றும் புள்ளியியல், 2005.