Gamma Distribution Calculator

Introduction

Gamma விநியோகம் என்பது பல்வேறு அறிவியல், பொறியியல் மற்றும் நிதி துறைகளில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் தொடர்ச்சியான வாய்ப்பு விநியோகம் ஆகும். இது இரண்டு அளவுகோல்களால் அடையாளம் காணப்படுகிறது: வடிவ அளவுகோல் (k அல்லது α) மற்றும் அளவுக்கோல் (θ அல்லது β). இந்த கணக்கீட்டாளர், இந்த உள்ளீட்டு அளவுகோல்களின் அடிப்படையில் gamma விநியோமத்தின் பல்வேறு பண்புகளை கணக்கிட அனுமதிக்கிறது.

Formula

Gamma விநியோமத்தின் வாய்ப்பு அடர்த்தி செயல்பாடு (PDF) இதற்கானது:

$f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}$

எங்கு:

• x > 0 என்பது சந்தர்ப்ப மாறி
• k > 0 என்பது வடிவ அளவுகோல்
• θ > 0 என்பது அளவுக்கோல்
• Γ(k) என்பது gamma செயல்பாடு

கூட்டு விநியோம செயல்பாடு (CDF) இதற்கானது:

$F(x; k, \theta) = \frac{\gamma(k, x/\theta)}{\Gamma(k)}$

எங்கு γ(k, x/θ) என்பது கீழ்காணும் முழுமை gamma செயல்பாடு.

Gamma விநியோமத்தின் முக்கிய பண்புகள்:

1. சராசரி: $E[X] = k\theta$
2. மாறுபாடு: $Var[X] = k\theta^2$
3. வளைவு: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
4. குர்டோசிஸ்: $3 + \frac{6}{k}$

How to Use This Calculator

1. வடிவ அளவுகோலை (k அல்லது α) உள்ளிடவும்
2. அளவுக்கோலை (θ அல்லது β) உள்ளிடவும்
3. "கணக்கீடு" பொத்தானை அழுத்தவும் gamma விநியோமத்தின் பல்வேறு பண்புகளை கணக்கிட
4. முடிவுகள் சராசரி, மாறுபாடு, வளைவு, குர்டோசிஸ் மற்றும் பிற தொடர்புடைய தகவல்களை காட்டும்
5. வாய்ப்பு அடர்த்தி செயல்பாட்டின் ஒரு காட்சியமைப்பு காணப்படும்

Calculation

கணக்கீட்டாளர் மேலே குறிப்பிடப்பட்டுள்ள சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி gamma விநியோமத்தின் பல்வேறு பண்புகளை கணக்கிடுகிறது. இதோ ஒரு படி-by-படி விளக்கம்:

1. உள்ளீட்டு அளவுகோல்களை சரிபார்க்கவும் (k மற்றும் θ இரண்டும் நேர்மறை இருக்க வேண்டும்)
2. சராசரியை கணக்கிடவும்: $k\theta$
3. மாறுபாட்டை கணக்கிடவும்: $k\theta^2$
4. வளைவினை கணக்கிடவும்: $\frac{2}{\sqrt{k}}$
5. குர்டோசிஸ் கணக்கிடவும்: $3 + \frac{6}{k}$
6. முறை: $(k-1)\theta$ க்கான k ≥ 1, இல்லையெனில் 0
7. மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி PDF வளைவுக்கான புள்ளிகளை உருவாக்கவும்
8. PDF வளைவைக் காட்சியமைக்கவும்

Numerical Considerations

Gamma விநியோம கணக்கீடுகளை செயல்படுத்தும்போது, பல்வேறு எண்கணித கருத்துகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்:

1. மிகவும் சிறிய வடிவ அளவுகோல்களுக்கான (k < 1), PDF x 0 ஐ அணுகும்போது முடிவற்றதாக மாறலாம், இது எண்கணித நிலைத்தன்மையை ஏற்படுத்தலாம்.
2. பெரிய வடிவ அளவுகோல்களுக்கு, gamma செயல்பாடு Γ(k) மிகவும் பெரியதாக மாறலாம், இது அதிகமாக மாறும். இவ்வாறான சந்தர்ப்பங்களில், gamma செயல்பாட்டின் லாகரிதம் உடன் வேலை செய்ய பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.
3. CDF ஐ கணக்கிடும் போது, PDF இன் நேரடி ஒருங்கிணைப்பின் பதிலாக, கீழ்காணும் gamma செயல்பாட்டிற்கான நிபுணத்துவ ஆல்கொரிதங்களைப் பயன்படுத்துவது பொதுவாக எண்கணித நிலைத்தன்மையுடன் இருக்கும்.
4. உச்ச அளவுகோல்களுக்கான, துல்லியத்தை பராமரிக்க நீட்டிக்கப்பட்ட துல்லிய கணக்கீட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

Use Cases

Gamma விநியோகம் பல்வேறு துறைகளில் பல்வேறு பயன்பாடுகளை கொண்டுள்ளது:

1. நிதி: வருமான விநியோகங்களை, காப்பீட்டு கோரிக்கைகள் மற்றும் சொத்து வரவுகளை மாதிரி செய்ய
2. வானிலை: மழை மாதிரிகளை மற்றும் பிற வானிலை தொடர்பான நிகழ்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்ய
3. பொறியியல்: நம்பகத்தன்மை பகுப்பாய்வு மற்றும் தோல்வி நேரத்தை மாதிரி செய்ய
4. இயற்பியல்: அணு சிதைவின் நிகழ்வுகளுக்கு இடையில் காத்திருப்பு நேரங்களை விவரிக்க
5. உயிரியல்: இனங்களின் வளம் மற்றும் ஜீன் வெளிப்பாடு அளவுகளை மாதிரி செய்ய
6. செயல்பாட்டு ஆராய்ச்சி: வரிசை கோட்பாடு மற்றும் கையிருப்பு மேலாண்மை

Alternatives

Gamma விநியோகம் பலவகையானது, ஆனால் சில சூழ்நிலைகளில் மேலும் பொருத்தமான தொடர்புடைய விநியோகங்கள் உள்ளன:

1. எக்ஸ்போனென்ஷியல் விநியோகம்: gamma விநியோமத்தின் ஒரு சிறப்பு வழிமுறை, k = 1 ஆக இருக்கும்போது
2. கி-சதவீத விநியோகம்: gamma விநியோமத்தின் ஒரு சிறப்பு வழிமுறை k = n/2 மற்றும் θ = 2 ஆக
3. வெய்புல் விநியோகம்: நம்பகத்தன்மை பகுப்பாய்வில் மாற்றாகப் பயன்படுத்தப்படும்
4. லாக்-நார்மல் விநியோகம்: வளைவான, நேர்மறை தரவுகளை மாதிரி செய்ய மற்றொரு பொதுவான தேர்வு

Parameter Estimation

உண்மையான உலக தரவுகளுடன் வேலை செய்யும்போது, gamma விநியோமத்தின் அளவுகோல்களை மதிப்பீடு செய்வது பொதுவாக தேவைப்படுகிறது. பொதுவான முறைகள்:

1. தரவுகளின் தரவுகளை தியோரித்திய தரவுகளுடன் சமமாக்குதல்
2. அதிகபட்ச வாய்ப்பு மதிப்பீடு (MLE): தரவுகளை காண்பிக்கும் அளவுகோல்களை அதிகரிக்கும்
3. பேசியன் மதிப்பீடு: அளவுகோல்களைப் பற்றிய முந்தைய அறிவை உள்ளடக்குதல்

Hypothesis Testing

Gamma விநியோகம் பல்வேறு உத்திகள் சோதனைகளில் பயன்படுத்தப்படலாம், அடிப்படையில்:

1. தரவுகள் gamma விநியோமத்தைப் பின்பற்றுமா என்பதை நிரூபிக்க நல்லதொரு சோதனைகள்
2. இரண்டு gamma விநியோமங்களுக்கிடையில் அளவுக்கோல்களின் சமத்துவத்திற்கு சோதனைகள்
3. இரண்டு gamma விநியோமங்களுக்கிடையில் வடிவ அளவுகோல்களின் சமத்துவத்திற்கு சோதனைகள்

History

Gamma விநியோகம் கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல் இல் ஒரு செழுமையான வரலாறு கொண்டது:

• 18வது நூற்றாண்டு: லியோன்ஹார்ட் யூலர் gamma செயல்பாட்டை அறிமுகம் செய்தார், இது gamma விநியோமத்துடன் நெருக்கமாக தொடர்புடையது
• 1836: சிமியான் டெனிஸ் பூயிசான் தனது வாய்ப்பு கோட்பாட்டில் gamma விநியோமத்தின் ஒரு சிறப்பு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தினார்
• 1920கள்: ரொனால்ட் பிஷர் புள்ளியியல் பகுப்பாய்வில் gamma விநியோமத்தின் பயன்பாட்டை பிரபலமாக்கினார்
• 20ஆம் நூற்றாண்டின் நடுவில்: gamma விநியோகம் நம்பகத்தன்மை பொறியியல் மற்றும் வாழ்க்கை சோதனையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது
• 20ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் முதல்: கணினி சக்தியில் முன்னேற்றங்கள் gamma விநியோமங்களுடன் வேலை செய்வதற்கான எளிதானதாக மாற்றியுள்ளது

Examples

இங்கே gamma விநியோமத்தின் பண்புகளை கணக்கிடுவதற்கான சில குறியீட்டு எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன:

1' Excel VBA செயல்பாடு gamma விநியோம PDF
2Function GammaPDF(x As Double, k As Double, theta As Double) As Double
3    If x <= 0 Or k <= 0 Or theta <= 0 Then
4        GammaPDF = CVErr(xlErrValue)
5    Else
6        GammaPDF = (x ^ (k - 1) * Exp(-x / theta)) / (WorksheetFunction.Gamma(k) * theta ^ k)
7    End If
8End Function
9' பயன்பாடு:
10' =GammaPDF(2, 3, 1)
11

1import numpy as np
2import matplotlib.pyplot as plt
3from scipy.stats import gamma
4
5def plot_gamma_distribution(k, theta):
6    x = np.linspace(0, 20, 1000)
7    y = gamma.pdf(x, a=k, scale=theta)
8    
9    plt.figure(figsize=(10, 6))
10    plt.plot(x, y, 'b-', lw=2, label='PDF')
11    plt.title(f'Gamma Distribution (k={k}, θ={theta})')
12    plt.xlabel('x')
13    plt.ylabel('Probability Density')
14    plt.legend()
15    plt.grid(True)
16    plt.show()
17
18## எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
19k, theta = 2, 2
20plot_gamma_distribution(k, theta)
21
22## பண்புகளை கணக்கிடவும்
23mean = k * theta
24variance = k * theta**2
25skewness = 2 / np.sqrt(k)
26kurtosis = 3 + 6 / k
27
28print(f"Mean: {mean}")
29print(f"Variance: {variance}")
30print(f"Skewness: {skewness}")
31print(f"Kurtosis: {kurtosis}")
32

1function gammaFunction(n) {
2    if (n === 1) return 1;
3    if (n === 0.5) return Math.sqrt(Math.PI);
4    return (n - 1) * gammaFunction(n - 1);
5}
6
7function gammaPDF(x, k, theta) {
8    if (x <= 0 || k <= 0 || theta <= 0) return NaN;
9    return (Math.pow(x, k - 1) * Math.exp(-x / theta)) / (Math.pow(theta, k) * gammaFunction(k));
10}
11
12function calculateGammaProperties(k, theta) {
13    const mean = k * theta;
14    const variance = k * Math.pow(theta, 2);
15    const skewness = 2 / Math.sqrt(k);
16    const kurtosis = 3 + 6 / k;
17
18    console.log(`Mean: ${mean}`);
19    console.log(`Variance: ${variance}`);
20    console.log(`Skewness: ${skewness}`);
21    console.log(`Kurtosis: ${kurtosis}`);
22}
23
24// எடுத்துக்காட்டு பயன்பாடு:
25const k = 2, theta = 2;
26calculateGammaProperties(k, theta);
27
28// PDF ஐ காட்சியமைக்கவும் (ஒரு கற்பனை காட்சியமைப்பு நூலகத்தைப் பயன்படுத்தி)
29const xValues = Array.from({length: 100}, (_, i) => i * 0.2);
30const yValues = xValues.map(x => gammaPDF(x, k, theta));
31// plotLine(xValues, yValues);
32

இந்த எடுத்துக்காட்டுகள் gamma விநியோமத்தின் பண்புகளை கணக்கிடுவது மற்றும் பல்வேறு நிரலாக்க மொழிகளைப் பயன்படுத்தி அதன் வாய்ப்பு அடர்த்தி செயல்பாட்டை காட்சியமைக்க எப்படி என்பதைக் காட்டுகின்றன. நீங்கள் இந்த செயல்பாடுகளை உங்கள் குறிப்பிட்ட தேவைகளுக்கு ஏற்றவாறு அல்லது பெரிய புள்ளியியல் பகுப்பாய்வு அமைப்புகளில் ஒருங்கிணைக்கலாம்.

References

1. "Gamma Distribution." Wikipedia, Wikimedia Foundation, https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution. Accessed 2 Aug. 2024.
2. Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, volume 1 (Vol. 1). John Wiley & Sons.
3. Forbes, C., Evans, M., Hastings, N., & Peacock, B. (2011). Statistical distributions. John Wiley & Sons.
4. Thom, H. C. S. (1958). A note on the gamma distribution. Monthly Weather Review, 86(4), 117-122.
5. Stacy, E. W. (1962). A generalization of the gamma distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33(3), 1187-1192.