เครื่องมือแปลงฐานเลข: ฐานสอง เลขฐานสิบหก เลขฐานสิบ และเลขฐานแปด

ตัวแปลงฐานตัวเลข

ตัวแปลงฐานตัวเลขเปลี่ยนวิธีเขียนตัวเลขจากระบบเลขฐานหนึ่งไปเป็นอีกระบบหนึ่ง โดยไม่เปลี่ยนค่าเดิม สามารถแปลงเลขฐานสองเป็นฐานสิบ ฐานสิบเป็นฐานสิบหก หรือแปลงระหว่างฐานใด ๆ ตั้งแต่ 2 ถึง 36

ฐานตัวเลขคืออะไร?

ฐานตัวเลข หรือเรียกอีกอย่างว่าระดิซ์ คือจำนวนเลขโดดที่แตกต่างกันซึ่งระบบใช้ก่อนจะเริ่มนำกลับมาใช้ซ้ำในตำแหน่งใหม่ ระบบฐานสิบที่ใช้ในการนับทั่วไปคือฐาน 10 ใช้เลขโดดสิบตัว ตั้งแต่ 0 ถึง 9 ฐานสองคือฐาน 2 และใช้เพียง 0 กับ 1 เมื่อฐานมีค่ามากกว่า 10 จะใช้ตัวอักษรแทนเลขโดดที่เหลือ โดย A แทน 10, B แทน 11 และต่อไปจนถึง Z ซึ่งแทน 35 วิธีนี้ทำให้ระบบใช้ได้ถึงฐาน 36 ซึ่งเป็นฐานสูงสุดที่ตัวแปลงส่วนใหญ่รองรับ โดยใช้เพียงตัวอักษรในอักษรละติน 26 ตัวกับเลขโดด 10 ตัว

เลขโดดแต่ละตัวในจำนวนมีค่าประจำหลักตามเลขยกกำลังของฐาน ในระบบฐานสิบ จำนวนที่เขียนเป็น "205" หมายถึงหลักร้อย 2 หลัก หลักสิบ 0 หลัก และหลักหน่วย 5 เนื่องจาก 100 และ 10 เป็นเลขยกกำลังของ 10 แนวคิดเดียวกันนี้ใช้ได้กับทุกฐาน โดยเลขโดดขวาสุดคูณด้วยฐาน⁰ ตัวถัดไปคูณด้วยฐาน¹ ตัวถัดไปคูณด้วยฐาน² และต่อไปเรื่อย ๆ

วิธีแปลงตัวเลขเป็นฐานอื่น

การแปลงตัวเลขเป็นฐานสิบ

หากต้องการแปลงจำนวนในฐานใด ๆ เป็นฐานสิบ ให้คูณเลขโดดแต่ละตัวด้วยฐานยกกำลังตามตำแหน่งของตัวนั้น โดยเริ่มนับจาก 0 ทางขวา แล้วนำผลลัพธ์มาบวกกัน

สูตร: ค่า = dₙ × ฐานⁿ + ... + d₁ × ฐาน¹ + d₀ × ฐาน⁰

ตัวอย่าง: แปลงจำนวนฐาน-5 101 เป็นฐานสิบ

• (1 × 5²) + (0 × 5¹) + (1 × 5⁰)
• = 25 + 0 + 1
• = 26

ดังนั้น 101 ในฐาน 5 จึงเท่ากับ 26 ในฐานสิบ

การแปลงฐานสิบเป็นฐานอื่น

หากต้องการแปลงจำนวนฐานสิบเป็นฐานอื่น ให้หารด้วยฐานเป้าหมายซ้ำ ๆ และเก็บเศษจากการหารแต่ละครั้ง หยุดเมื่อจำนวนมีค่าเป็น 0 จากนั้นอ่านเศษจากค่าที่ได้ครั้งสุดท้ายย้อนกลับไปหาค่าแรก

ตัวอย่าง: แปลงจำนวนฐานสิบ 26 เป็นฐาน 5

• 26 ÷ 5 = 5 เศษ 1
• 5 ÷ 5 = 1 เศษ 0
• 1 ÷ 5 = 0 เศษ 1
• อ่านเศษจากล่างขึ้นบน: 101

นี่เป็นการยืนยันตัวอย่างก่อนหน้าว่า 26 ในฐานสิบเท่ากับ 101 ในฐาน 5

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

ฐานสองเป็นฐานสิบ: จำนวนฐานสอง 1101 แปลงเป็นฐานสิบได้ดังนี้: (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

ฐานสิบเป็นฐานสิบหก: จำนวนฐานสิบ 202 แปลงเป็นฐานสิบหกได้ดังนี้: 202 ÷ 16 = 12 เศษ 10 จากนั้น 12 ÷ 16 = 0 เศษ 12 ในฐานสิบหก 10 เขียนเป็น A และ 12 เขียนเป็น C เมื่ออ่านเศษจากล่างขึ้นบนจะได้ CA ดังนั้น 202 ในฐานสิบจึงเท่ากับ CA ในฐานสิบหก

ฐานแปดเป็นฐานสอง: จำนวนฐานแปด 17 แปลงเป็นฐานสิบก่อนดังนี้: (1×8¹) + (7×8⁰) = 15 จากนั้นฐานสิบ 15 แปลงเป็นฐานสองได้เป็น 1111 ดังนั้น 17 ในฐานแปดจึงเท่ากับ 1111 ในฐานสอง

ฐานตัวเลขที่ใช้กันทั่วไป

ตัวเลขขนาดใหญ่มาก

การแปลงบางอย่างเกี่ยวข้องกับตัวเลขที่ใหญ่เกินกว่าคณิตศาสตร์แบบความแม่นยำสองเท่ามาตรฐานจะจัดการได้อย่างแม่นยำ เช่น ค่าฐานสิบหกขนาด 64 บิตอย่าง FFFFFFFFFFFFFFFF ตัวแปลงนี้ใช้การคำนวณจำนวนเต็มแบบความแม่นยำไม่จำกัดกับจำนวนเต็มทุกขนาด จึงไม่ปัดเศษหรือตัดเลขทิ้งเมื่อค่ามีความยาวมาก

ตัวแปลงรองรับอะไรบ้าง

เครื่องมือนี้อ่านจำนวนเต็มตั้งแต่ศูนย์ขึ้นไป ซึ่งเขียนด้วยเลขโดดของฐานต้นทาง ตัวอักษรจะพิมพ์เป็นตัวพิมพ์เล็กหรือตัวพิมพ์ใหญ่ก็ได้ ดังนั้น ff และ FF ต่างก็หมายถึง 255 ในฐาน 16 ระบบจะไม่นับช่องว่างก่อนหรือหลังจำนวน อักขระอื่นใด เช่น เครื่องหมายลบหรือจุดทศนิยม จะถูกปฏิเสธพร้อมข้อความ "ข้อมูลนำเข้ามีอักขระที่ไม่ถูกต้องสำหรับฐาน 16" โดยระบุฐานต้นทางที่ตั้งไว้

คำถามที่พบบ่อย

ฐานสองกับฐานสิบหกแตกต่างกันอย่างไร?

ฐานสองใช้เลขโดดเพียงสองตัว คือ 0 และ 1 ส่วนฐานสิบหกใช้สิบหกตัว ตั้งแต่ 0 ถึง 9 และ A ถึง F เนื่องจาก 16 เท่ากับ 2⁴ เลขโดดฐานสิบหกหนึ่งตัวจึงแทนเลขโดดฐานสองได้พอดีสี่ตัว นี่เป็นเหตุผลที่มักใช้ฐานสิบหกเป็นวิธีเขียนค่าฐานสองแบบย่อ

จะแปลงฐานสิบเป็นฐานสองด้วยมือได้อย่างไร?

หารจำนวนฐานสิบด้วย 2 ซ้ำ ๆ และจดเศษจากการหารแต่ละครั้ง อ่านเศษย้อนกลับจากการหารครั้งสุดท้ายไปยังครั้งแรก ตัวอย่างเช่น 13 ÷ 2 = 6 เศษ 1, 6 ÷ 2 = 3 เศษ 0, 3 ÷ 2 = 1 เศษ 1, 1 ÷ 2 = 0 เศษ 1 เมื่ออ่านจากล่างขึ้นบนจะได้ 1101 ซึ่งเท่ากับ 13 ในฐานสอง

ฐานสูงสุดที่เครื่องมือนี้รองรับคือเท่าใด?

เครื่องมือนี้รองรับฐานตั้งแต่ 2 ถึง 36 ฐาน 36 เป็นฐานสูงสุดที่ใช้ได้โดยมีเพียงเลขโดดสิบตัว 0–9 และตัวอักษรยี่สิบหกตัว A-Z เพราะรวมกันแล้วมีสัญลักษณ์ที่แตกต่างกันพอดี 36 ตัว

เครื่องมือนี้แปลงจำนวนติดลบได้หรือไม่?

ไม่ได้ เครื่องมือนี้รับเฉพาะศูนย์และจำนวนเต็มบวก หากต้องการแปลงจำนวนติดลบ ให้แปลงค่าสัมบูรณ์ของจำนวนนั้นก่อน แล้วเติมเครื่องหมายลบหน้าผลลัพธ์ด้วยมือ

เหตุใดจึงมีฐานสิบหกและฐานแปดในเมื่อคอมพิวเตอร์ใช้ฐานสองภายใน?

สตริงยาวของ 1 และ 0 อ่านได้ยากและนับผิดได้ง่าย เนื่องจาก 16 และ 8 ต่างก็เป็นเลขยกกำลังของ 2 เลขฐานสิบหกและฐานแปดจึงจับคู่กับกลุ่มเลขฐานสองที่มีขนาดคงที่ได้อย่างลงตัว โดยฐานสิบหกใช้สี่บิตและฐานแปดใช้สามบิต ทำให้ค่าฐานสองที่ยาวเขียนสั้นลงและตรวจสอบด้วยตาได้ง่ายขึ้น

เครื่องมือนี้มีข้อจำกัดเกี่ยวกับขนาดสูงสุดของจำนวนที่แปลงได้หรือไม่?

ไม่มีข้อจำกัดในทางปฏิบัติ เครื่องมือนี้ใช้การคำนวณแบบความแม่นยำไม่จำกัดแทนจำนวนแบบจุดลอยตัวมาตรฐาน จึงแปลงค่าที่ยาวมากได้ รวมถึงค่าที่ใหญ่เกินกว่าซึ่งเครื่องคิดเลขทั่วไปจะแทนได้อย่างแม่นยำ โดยไม่เกิดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ