เครื่องคำนวณ Alligation — อัตราส่วนการผสม & ปริมาณ

เครื่องคำนวณอัลลิเกชันคืออะไร?

เครื่องคำนวณอัลลิเกชันคำนวณอัตราส่วนที่ต้องใช้ผสมส่วนผสมสองชนิดที่มีมูลค่าต่างกัน ให้ได้ส่วนผสมที่มีมูลค่าตามเป้าหมาย วิธีการเบื้องหลังเครื่องมือนี้เรียกว่าอัลลิเกชัน ใช้ได้กับส่วนผสมที่มีสองส่วนทุกชนิด เช่น การผสมวัตถุดิบราคาถูกกับวัตถุดิบราคาแพง หรือการเจือจางสารละลายเข้มข้นด้วยสารละลายเจือจาง ตราบใดที่วัดส่วนผสมทั้งสองด้วยมาตราส่วนเดียวกัน

สูตรอัลลิเกชัน

อัลลิเกชันเปรียบเทียบตัวเลขสามค่าบนมาตราส่วนเดียวกัน ได้แก่ ค่าที่ถูกกว่า C ค่าที่แพงกว่า D และค่าของส่วนผสมเป้าหมาย M โดย C น้อยกว่า M และ M น้อยกว่า D

$c : d = (D - M) : (M - C)$

โดย c คือจำนวนส่วนของส่วนผสมที่ราคาถูกกว่า และ d คือจำนวนส่วนของส่วนผสมที่ราคาแพงกว่า

สัดส่วนของส่วนผสมแต่ละชนิดมาจากส่วนต่างที่อยู่คนละด้านของค่าเป้าหมาย ยิ่งค่าเป้าหมายอยู่ใกล้ค่าของส่วนผสมชนิดใด ส่วนผสมชนิดนั้นก็ยิ่งต้องใช้มาก เพราะค่าเฉลี่ยต้องอยู่ใกล้ค่านั้น

หากทราบปริมาณรวม Q ด้วย ปริมาณของส่วนผสมแต่ละชนิดคือ:

$A_c = \frac{D - M}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

$A_d = \frac{M - C}{(D - M) + (M - C)} \times Q$

โดย $A_c$ คือปริมาณของส่วนผสมที่ราคาถูกกว่า $A_d$ คือปริมาณของส่วนผสมที่ราคาแพงกว่า และ Q คือปริมาณรวม

กากบาทอัลลิเกชัน

ตามธรรมเนียม สูตรนี้เขียนเป็นรูปกากบาท ค่าของส่วนผสมทั้งสองอยู่ด้านซ้าย ค่าเป้าหมายอยู่ตรงกลาง และเขียนผลต่างตามแนวทแยงไว้ที่มุมตรงข้าม

$\begin{matrix} D & \searrow & & \nearrow & M - C \\ & & M & & \\ C & \nearrow & & \searrow & D - M \end{matrix}$

ค่าของส่วนผสมที่ราคาแพงกว่าอยู่ด้านซ้ายบน ค่าของส่วนผสมที่ราคาถูกกว่าอยู่ด้านซ้ายล่าง และค่าเป้าหมายอยู่ตรงกลาง ผลต่างที่ด้านขวาบนคือจำนวนส่วนของส่วนผสมที่ราคาแพงกว่า ส่วนผลต่างที่ด้านขวาล่างคือจำนวนส่วนของส่วนผสมที่ราคาถูกกว่า

ตัวอย่างพร้อมวิธีทำ

ผสมส่วนผสมราคา US$10 กับส่วนผสมราคา US$30 เพื่อให้ได้ส่วนผสมราคา US$20

อัตราส่วนของส่วนผสมที่ราคาถูกกว่า : ส่วนผสมที่ราคาแพงกว่าคือ (30 − 20) : (20 − 10) = 10 : 10 = 1 : 1

ต้องใช้ส่วนผสมทั้งสองในปริมาณเท่ากัน ดังนั้นหากมีทั้งหมด 100 หน่วย จะต้องใช้ส่วนผสมราคา US$10 จำนวน 50 หน่วย และส่วนผสมราคา US$30 จำนวน 50 หน่วย มูลค่าเฉลี่ยของส่วนผสมนี้เท่ากับ US$20 พอดี

เมื่อย้ายค่าเป้าหมายไปเป็น US$25 อัตราส่วนจะเปลี่ยนเป็น: (30 − 25) : (25 − 10) = 5 : 15 ซึ่งลดรูปได้เป็น 1 : 3 ขณะนี้ค่าเป้าหมายอยู่ใกล้ค่าที่แพงกว่ามากกว่า ดังนั้นต้องใช้ส่วนผสมที่แพงกว่าเป็นสามเท่าของส่วนผสมที่ถูกกว่า

อัลลิเกชันแบบสลับและอัลลิเกชันแบบค่าเฉลี่ย

วิธีข้างต้นเรียกว่าอัลลิเกชันแบบสลับ โดยทราบค่าของส่วนผสมทั้งสองและค่าเป้าหมาย แต่ไม่ทราบอัตราส่วน ส่วนปัญหาย้อนกลับเรียกว่าอัลลิเกชันแบบค่าเฉลี่ย โดยทราบปริมาณและค่าของส่วนผสมแต่ละชนิด แต่ไม่ทราบค่าของส่วนผสมที่ได้ อัลลิเกชันแบบค่าเฉลี่ยคือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก:

$M = \frac{q_1 \times v_1 + q_2 \times v_2}{q_1 + q_2}$

โดย M คือค่าของส่วนผสม q คือปริมาณของส่วนผสมหนึ่งชนิด และ v คือค่าของส่วนผสมนั้น โดยตัวห้อยใช้ระบุส่วนผสมชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สอง

วิธีทั้งสองใช้ตรวจสอบกันได้ เมื่อนำปริมาณที่คำนวณได้จากอัลลิเกชันแบบสลับไปแทนในสูตรค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก ควรได้ค่าเป้าหมายเดิมกลับคืนมา

การใช้งานอัลลิเกชัน

• การปรุงตำรับยา การผสมตำรับเข้มข้นกับตำรับเจือจาง เช่น สารละลาย 70% กับสารละลาย 20% เพื่อให้ได้ความเข้มข้นตามที่กำหนด ค่าเหล่านี้เป็นเปอร์เซ็นต์หรือความเข้มข้นแทนที่จะเป็นราคา แต่การคำนวณเหมือนกัน
• การกำหนดราคาขายปลีกและสินค้าโภคภัณฑ์ การผสมวัตถุดิบราคาถูกกับวัตถุดิบเกรดพรีเมียมเพื่อให้ได้ราคาขายหรือราคาต่อหน่วยตามเป้าหมาย
• อาหาร เครื่องดื่ม และเคมี การเจือจางหรือเพิ่มความเข้มข้นของสารละลายให้ได้ความเข้มข้น ค่าแอลกอฮอล์ หรือปริมาณน้ำตาลตามเป้าหมาย

กฎนี้ต้องใช้เพียงคุณสมบัติที่วัดได้หนึ่งรายการบนมาตราส่วนเดียวกัน ดังนั้นตัวเลขสามค่าเดียวกันจึงครอบคลุมกรณีเหล่านี้ทั้งหมด

วิธีใช้เครื่องคำนวณอัลลิเกชัน

ป้อนค่าที่ถูกกว่า ค่าที่แพงกว่า และค่าของส่วนผสมเป้าหมาย โดยใช้หน่วยเดียวกันทั้งสามค่า ช่องป้อนข้อมูลไม่รับค่าที่ต่ำกว่าศูนย์ เพิ่มปริมาณรวมเพื่อดูปริมาณที่แน่นอนของส่วนผสมแต่ละชนิด ค่าเป้าหมายต้องอยู่ระหว่างค่าของส่วนผสมทั้งสองอย่างเคร่งครัด ค่าเป้าหมายที่อยู่นอกช่วงดังกล่าวไม่สามารถทำได้ด้วยการผสมส่วนผสมทั้งสอง และค่าเป้าหมายที่เท่ากับค่าของส่วนผสมชนิดใดชนิดหนึ่งก็ไม่ต้องผสมเลย ดังนั้นเครื่องคำนวณจะแสดงข้อความแสดงข้อผิดพลาดแทนที่จะแสดงอัตราส่วนในทั้งสองกรณี

คำถามที่พบบ่อย

จะเกิดอะไรขึ้นหากค่าเป้าหมายไม่อยู่ระหว่างค่าของส่วนผสมทั้งสองชนิด ไม่สามารถผสมส่วนผสมทั้งสองให้ได้ค่าดังกล่าว ส่วนผสมของสินค้าราคา US$10 กับสินค้าราคา US$30 จะมีมูลค่าเฉลี่ยอยู่ระหว่าง US$10 และ US$30 เสมอ ดังนั้นเครื่องคำนวณจะปฏิเสธค่าเป้าหมายที่อยู่นอกช่วงนี้ และยังปฏิเสธค่าเป้าหมายที่เท่ากับ US$10 หรือ US$30 ด้วย เพราะใช้ส่วนผสมเพียงชนิดเดียวก็ได้ค่าดังกล่าวแล้ว จึงไม่มีอัตราส่วนให้คำนวณ

หน่วยวัดมีผลหรือไม่ ไม่มี อัตราส่วนขึ้นอยู่กับผลต่างระหว่างค่าทั้งสามเท่านั้น ดังนั้นราคา เปอร์เซ็นต์ และความเข้มข้น เช่น mg/mL ล้วนใช้ได้ ตราบใดที่ข้อมูลนำเข้าทั้งสามค่าใช้หน่วยเดียวกัน

อัลลิเกชันรองรับส่วนผสมตั้งแต่สามชนิดขึ้นไปหรือไม่ เครื่องคำนวณนี้แก้โจทย์ที่มีส่วนผสมสองชนิด กรณีที่มีส่วนผสมสามชนิดขึ้นไปจะมีคำตอบที่ใช้ได้มากกว่าหนึ่งคำตอบ และโดยทั่วไปจะแก้โดยจับคู่ส่วนผสมทีละสองชนิดหรือจัดตั้งสมการเชิงเส้น

อัลลิเกชันเหมือนกับค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักหรือไม่ ทั้งสองเป็นการดำเนินการผกผันกัน ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักซึ่งเรียกอีกอย่างว่าอัลลิเกชันแบบค่าเฉลี่ย จะเปลี่ยนปริมาณที่ทราบให้เป็นค่าของส่วนผสม อัลลิเกชันแบบสลับใช้ค่าเป้าหมายเพื่อคำนวณปริมาณที่ต้องใช้ให้ได้ค่านั้น

เหตุใดวิธีนี้จึงเรียกว่าอัลลิเกชัน ชื่อนี้มาจากคำภาษาละติน alligare ซึ่งหมายถึง “ผูก” หรือ “มัดเข้าด้วยกัน” อันสื่อถึงวิธีที่เชื่อมค่าทั้งสองเข้ากับอัตราส่วนเป้าหมายหนึ่งค่า

แหล่งข้อมูล

• Alligation — Wikipedia
• Alligation Calculator — Omni Calculator