Kemer Hesaplayıcı - Yarıçap, Açıklık ve Yükselişi Hesapla

Kemer hesaplayıcı nedir?

Kemer hesaplama aracı, dairesel bir kemerin boyutlarını — yarıçapını, açıklığını ve kemer yüksekliğini — bu değerlerden herhangi ikisini kullanarak hesaplar. Ayrıca yay uzunluğunu ve kemer alanını da hesaplar. Mimarlar, inşaatçılar ve hobiciler bu aracı kapı girişlerini, pencereleri, köprüleri ve eğri biçimli bahçe yapılarını planlamak için kullanır.

Temel kemer boyutları

Dairesel kemer, bir dairenin kenarından kesilmiş bir parçadır. Şeklini beş ölçü tanımlar:

• Yarıçap: Dairenin merkezinden kemerin eğrisi üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklık.
• Açıklık: Kemerin alttaki iki ucu arasındaki düz yatay uzaklık; genişlik olarak da adlandırılır.
• Kemer yüksekliği: mesnet çizgisinden (iki ucu birleştiren yatay çizgi) kemerin en yüksek noktasına kadar olan düşey uzaklık.
• Yay uzunluğu: Kemerin eğri çizgisi boyunca bir uçtan diğer uca olan uzaklık.
• Kemer alanı: kemer ile mesnet çizgisi arasında kalan eğri bölgenin alanı.

Kemer boyutu formülleri

Bu formüller, tek bir dairenin bir parçasından oluşturulan dairesel kemerler için geçerlidir. Yarıçapın iki katına kadar olan her kemer yüksekliği için geçerlidir. Bu aralık, çoğu kişinin hesapladığı kapı, pencere ve köprü kemerlerini kapsar; ayrıca eğrinin yarım daireyi aşarak devam ettiği at nalı kemerlerini de kapsar.

Kemer yüksekliği formülü (yarıçap ve açıklıktan)

$\text{Kemer yüksekliği} = \text{Yarıçap} - \sqrt{\text{Yarıçap}^2 - \left(\frac{\text{Açıklık}}{2}\right)^2}$

Yarıçap ve açıklık pozitif olduğunda ve açıklık ≤ 2 × yarıçap olduğunda geçerlidir.

Yarıçap formülü (açıklık ve kemer yüksekliğinden)

$\text{Yarıçap} = \frac{\text{Açıklık}^2}{8 \times \text{Kemer yüksekliği}} + \frac{\text{Kemer yüksekliği}}{2}$

Açıklık ve kemer yüksekliği pozitif olduğunda geçerlidir.

Açıklık formülü (yarıçap ve kemer yüksekliğinden)

$\text{Açıklık} = 2 \times \sqrt{2 \times \text{Yarıçap} \times \text{Kemer yüksekliği} - \text{Kemer yüksekliği}^2}$

Yarıçap ve kemer yüksekliği pozitif olduğunda ve kemer yüksekliği ≤ 2 × yarıçap olduğunda geçerlidir.

Yay uzunluğu formülü

$\text{Yay uzunluğu} = \text{Yarıçap} \times \theta$

Burada θ (teta), kemerin eğrisinin dairenin merkezinde taradığı radyan cinsinden merkez açısıdır. Kemer yüksekliği yarıçaptan büyük olmadığında kemer en fazla yarım daire olur ve θ şöyledir:

$\theta = 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Açıklık}}{2 \times \text{Yarıçap}}\right)$

Kemer yüksekliği yarıçaptan büyük olduğunda kemer yarım daireden daha büyüktür ve θ, çemberin geri kalan kısmı boyunca ölçülür:

$\theta = 2\pi - 2 \times \arcsin\left(\frac{\text{Açıklık}}{2 \times \text{Yarıçap}}\right)$

Hesaplayıcı her iki durumu tek adımda kapsar: θ = 2 × atan2(Açıklık ÷ 2, Yarıçap − Kemer yüksekliği). Bu ifade yarım daire durumunda da kesin sonuç verir.

Kemer alanı formülü

$\text{Kemer alanı} = \frac{1}{2} \times \text{Yarıçap}^2 \times \theta - \frac{1}{2} \times \text{Açıklık} \times (\text{Yarıçap} - \text{Kemer yüksekliği})$

Kemer hesaplayıcı nasıl kullanılır?

Hesaplayıcı, eksik olabilecek her boyut için birer tane olmak üzere üç mod sunar.

Kemer yüksekliğini hesapla: yarıçap ve açıklık biliniyorsa bu değerleri girin. Araç kemer yüksekliğini, yay uzunluğunu ve kemer alanını verir.

Yarıçapı hesapla: açıklık ve kemer yüksekliği biliniyorsa bu değerleri girin. Araç yarıçapı, yay uzunluğunu ve kemer alanını verir.

Açıklığı hesapla: yarıçap ve kemer yüksekliği biliniyorsa bu değerleri girin. Araç açıklığı, yay uzunluğunu ve kemer alanını verir.

Hesaplayıcı, gerçek bir kemer oluşturamayacak girdileri reddeder. Açıklık yarıçapın iki katını, kemer yüksekliği de yarıçapın iki katını aşamaz ve her boyut pozitif bir sayı olmalıdır. Bir değer bu kurallardan birini ihlal ettiğinde hata mesajı gösterilir.

Çözümlü örnek

Örnek 1: Kapı kemeri

Bir kapı kemerinin açıklığı 36 inç (91,4 cm) ve kemer yüksekliği 12 inç (30,5 cm) değerindedir.

Yarıçap = (36² ÷ (8 × 12)) + (12 ÷ 2) = (1296 ÷ 96) + 6 = 13,5 + 6 = 19,5 inç (49,5 cm)

θ = 2 × arcsin(18 ÷ 19,5) = 2 × arcsin(0,9231) = 2 × 1,176 = 2,352 radyan

Yay uzunluğu = 19,5 × 2,352 = 45,86 inç (116 cm)

Kemer alanı = (0,5 × 19,5² × 2,352) − (0,5 × 36 × (19,5 − 12)) = 447,18 − 135 = 312,18 inç kare (2.010 cm²)

Örnek 2: Bahçe kemeri

Bir bahçe kemerinin yarıçapı 4 fit (1,2 m) ve açıklığı 6 fit (1,8 m) değerindedir.

Kemer yüksekliği = 4 − √(4² − (6 ÷ 2)²) = 4 − √(16 − 9) = 4 − 2,6458 = 1,35 fit (0,411 m)

θ = 2 × arcsin(3 ÷ 4) = 2 × arcsin(0,75) = 2 × 0,848 = 1,696 radyan

Yay uzunluğu = 4 × 1,696 = 6,78 fit (2,07 m)

Kemer alanı = (0,5 × 4² × 1,696) − (0,5 × 6 × (4 − 1,3542)) = 13,57 − 7,94 = 5,63 fit kare (0,523 m²)

Örnek 3: Köprü kemeri

Bir köprü kemerinin açıklığı 50 fit (15 m) ve kemer yüksekliği 15 fit (4,57 m) değerindedir.

Yarıçap = (50² ÷ (8 × 15)) + (15 ÷ 2) = (2500 ÷ 120) + 7,5 = 20,83 + 7,5 = 28,33 fit (8,63 m)

θ = 2 × arcsin(25 ÷ 28,33) = 2 × arcsin(0,8824) = 2 × 1,081 = 2,162 radyan

Yay uzunluğu = 28,33 × 2,162 = 61,25 fit (18,7 m)

Kemer alanı = (0,5 × 28,33² × 2,162) − (0,5 × 50 × (28,33 − 15)) = 867,67 − 333,33 = 534,34 fit kare (49,6 m²)

Kemer hesaplamalarının yaygın kullanım alanları

İnşaatçılar, beton kemerler için kalıp kesmek, kagir kemerler için tuğla veya taş şablonları hazırlamak ve tonozlu tavanların eğriliğini planlamak için kemer boyutlarını kullanır. Köprü tasarımcıları, yük dağılımını geçiş yüksekliğiyle dengelemek için açıklık, kemer yüksekliği ve yarıçaptan yararlanır. Restorasyon çalışmaları, tarihi bir kemeri onarırken veya yeniden inşa ederken aynı formüllerle onun tam geometrisini eşleştirir. Bahçıvanlar ve kendin yap uygulamaları yapanlar bu ölçüleri kemerli kafesler, geçitler ve dekoratif açıklıklar için kullanır.

Bu hesaplayıcı yalnızca tek bir dairenin yayından oluşturulan dairesel kemerleri kapsar. Eliptik, parabolik, Gotik ve katenary kemerler farklı eğrileri izler ve farklı formüller gerektirir.

Kemerin kısa tarihi

Eski Mezopotamya'daki inşaatçılar, en eski kemer benzeri biçimleri MÖ 2500 kadar erken bir tarihte kullandı; ancak bunların çoğu gerçek bir eğri kemer yerine, her taş sırasının alttakinin üzerine taşacak şekilde taşların üst üste dizildiği bindirme tekniğiyle yapılmıştı. Romalılar, yarım daire kemerini standart bir yapı yöntemine dönüştürerek su kemerlerinde, köprülerde ve Kolezyum gibi yapılarda kullandı. Avrupa'daki Orta Çağ inşaatçıları, daha uzun ve daha hafif yapılar kurmalarını sağlayan sivri Gotik kemeri geliştirdi. Daha sonraki mimarlar, kesin oranlara dayanan yarım daire biçimlerine döndü; çelik ve betonarme gibi modern malzemeler ise kemerlerin çok daha büyük mesafeleri aşmasını sağlıyor.

Sık sorulan sorular

Bir kemerde kemer yüksekliği ile yükseklik arasındaki fark nedir?

Kemer yüksekliği, mesnet çizgisinden kemer eğrisinin tepe noktasına kadar olan düşey uzaklıktır. Yükseklik bazen, mesnet çizgisinin altındaki düz duvar bölümü de dahil olmak üzere bir açıklığın toplam yüksekliğini ifade eder.

Bu hesaplayıcı tüm kemer türlerinde çalışır mı?

Hayır. Yalnızca daire parçası biçimindeki dairesel kemerlerde çalışır. Eliptik, parabolik, Gotik ve katenary kemerler farklı eğrileri izler ve ayrı formüller gerektirir.

Yarım daire biçimli bir kemerde açıklık ile yarıçap arasındaki ilişki nedir?

Yarım daire biçimli bir kemerde yarıçap, açıklığın yarısına eşittir ve kemer yüksekliği yarıçapa eşittir. Kemer tam olarak bir dairenin yarısını oluşturur.

Açıklık neden yarıçapın iki katından büyük olamaz?

Açıklığın yarıçapın iki katına eşit olması, o yarıçap için mümkün olan en geniş kemer olan bir yarım daire oluşturur. Daha geniş bir açıklık daireye hiç sığmaz.

Kemer yüksekliği neden yarıçapın iki katından büyük olamaz (açıklığı hesapla modunda)?

Kemer yüksekliği, mesnet çizgisinden aynı daire üzerindeki kemerin en yüksek noktasına kadar ölçülür. İki yarıçap, o dairenin tam yüksekliğidir; dolayısıyla daha büyük bir kemer yüksekliği, kemerin tepe noktasını tamamen dairenin dışına çıkarır. Yarıçap ile iki yarıçap arasındaki bir kemer yüksekliği uygundur. Bu durumda kemer, at nalı kemerlerinde kullanılan biçim olan yarım daireden daha büyüktür.

Hesaplayıcı hangi birimleri kullanır?

Birbiriyle tutarlı herhangi bir birim kullanılabilir — inç, fit, metre veya santimetre. Her değeri aynı birimle girin; sonuçlar da aynı birimde, alan ise o birimin karesi cinsinden verilir.